Analisi matematica I - Corsi di Laurea a Distanza

Analisi matematica I
Primitive e integrali indefiniti
Analisi matematica I
Calcolo integrale
Primitive e integrali indefiniti
Regole di integrazione
Integrali definiti secondo Riemann
Teorema fondamentale del calcolo integrale
Integrali impropri
2
© 2006 Politecnico di Torino
1
Analisi matematica I
Primitive e integrali indefiniti
Calcolo integrale
Primitive e integrali indefiniti
Definizione di primitiva
Caratterizzazione delle primitive
Integrale indefinito
Definizione di primitiva generalizzata
4
© 2006 Politecnico di Torino
2
Analisi matematica I
Primitive e integrali indefiniti
Primitive e integrali indefiniti
Definizione di primitiva
Sia f definita su un intervallo
I⊆R
Si dice primitiva di f in I (o su I ) ogni
funzione F derivabile in I e tale che
F 0 (x) = f (x), ∀x ∈ I
Chiameremo integrabili (in senso indefinito)
sull’intervallo I, le funzioni che ammettono una
primitiva su I
6
© 2006 Politecnico di Torino
3
Analisi matematica I
Primitive e integrali indefiniti
Esempio 1
Sia
f (x) = x su I = R
La funzione
F (x) =
1 2
x
2
è una primitiva di f
Ogni funzione della forma
1 2
x + c, c ∈ R
2
è una primitiva di f , in quanto la derivata di una
G(x) =
costante è nulla
7
Esempio 2
Sia
f (x) =
Le funzioni
1
su I = (−∞, 0)
x
F (x) = log |x| + c ,
sono primitive di
f su I
c∈R
8
© 2006 Politecnico di Torino
4
Analisi matematica I
Primitive e integrali indefiniti
Primitive e integrali indefiniti
Proposizione
Siano
F e G due primitive di f sull’intervallo I
⇒ esiste una costante c tale che
G(x) = F (x) + c,
∀x ∈ I
10
© 2006 Politecnico di Torino
5
Analisi matematica I
Primitive e integrali indefiniti
Dimostrazione
Introduciamo la funzione ausiliaria
H(x) = G(x) − F (x)
Derivandola, si ha
H 0 (x) = G0 (x) − F 0 (x) = f (x) − f (x) = 0, ∀x ∈ I
Ricordando la Proprietà
H 0 (x) = 0, ∀x ∈ I
⇔
H(x) = costante, ∀x ∈ I
si ottiene la tesi
11
Teorema
Sia
f una funzione integrabile (in senso
indefinito) su I e sia F una sua primitiva
⇒ le primitive di f sono tutte e sole le funzioni
F (x) + c , c ∈ R
12
© 2006 Politecnico di Torino
6
Analisi matematica I
Primitive e integrali indefiniti
Primitive e integrali indefiniti
Definizione
L’insieme di tutte le primitive di
f in un intervallo
I ⊆ R viene indicato con il simbolo
Z
f (x) dx
Si legge integrale indefinito di
f , oppure
“integrale di
f (x) in dx ”.
Se F è una primitiva di f , avremo
Z
©
ª
f (x) dx = F (x) + c : c ∈ R = F (x) +14c
© 2006 Politecnico di Torino
7
Analisi matematica I
Primitive e integrali indefiniti
Esempio 1
Sia
f (x) = x3
Ricordando che
Dx4 = 4x3 , una primitiva di f
è data dalla funzione
F (x) =
1 4
x
4
Dunque
Z
x3 dx =
1 4
x + c,
4
c∈R
15
Esempio 2
Sia
f (x) = e5x
Ricordando che
De5x = 5e5x , si ha
F (x) =
1 5x
e
5
Dunque
Z
© 2006 Politecnico di Torino
e5x dx =
1 5x
e + c,
5
c∈R
16
8
Analisi matematica I
Primitive e integrali indefiniti
Esempio 3
Sia
f (x) = sin 4x
Ricordando che
D cos 4x = −4 sin 4x, si ha
1
F (x) = − cos 4x
4
Dunque
Z
1
sin 4x dx = − cos 4x + c , c ∈ R
4
17
Interpretazione geometrica
Il Teorema di caratterizzazione delle primitive
afferma che
I grafici di tutte le primitive di una funzione
integrabile
f si ottengono l’uno dall’altro per
traslazione verticale
18
© 2006 Politecnico di Torino
9
Analisi matematica I
Primitive e integrali indefiniti
Interpretazione geometrica
Le primitive di una stessa funzione differiscono
per una costante additiva
19
Interpretazione geometrica
Per selezionare una particolare primitiva di f
si assegna il suo valore
y0 in un punto x0 ∈ I
Conoscendo una particolare primitiva
F (x) di
f (x) in I si vuole determinare la primitiva
G(x) = F (x) + c0 di f (x) che vale y0 in x0
Scriviamo
G(x0 ) = F (x0 ) + c0 = y0
da cui ricaviamo c0 = y0 − F (x0 ) e dunque
abbiamo G(x) = F (x) − F (x0 ) + y0
20
© 2006 Politecnico di Torino
10
Analisi matematica I
Primitive e integrali indefiniti
Interpretazione geometrica
21
Tabella
Z
Z
Z
xα+1
x dx =
+ c (α 6= −1)
α+1
α
1
dx = log |x| + c ( per x > 0 oppure x < 0)
x
ex dx = ex + c
22
© 2006 Politecnico di Torino
11
Analisi matematica I
Primitive e integrali indefiniti
Tabella
Z
Z
Z
Z
sin x dx = − cos x + c
cos x dx = sin x + c
1
dx = arctan x + c
1 + x2
1
√
dx = arcsin x + c
1 − x2
23
Esempio 1
Cerchiamo la primitiva G(x) di f (x)
= cos x
24
© 2006 Politecnico di Torino
12
Analisi matematica I
Primitive e integrali indefiniti
Esempio 1
Cerchiamo la primitiva G(x) di f (x)
= cos x
tale che
π
G(x0 ) = G( ) = 5 = y0
2
Una primitiva di f (x) è F (x) = sin x
25
Esempio 1
Cerchiamo
G(x) nella forma G(x) = sin x + c0
π
Dalla condizione G( ) = 5 otteniamo
2
π
5 = sin + c0 da cui c0 = 4
2
La primitiva cercata è
G(x) = sin x + 4
© 2006 Politecnico di Torino
26
13
Analisi matematica I
Primitive e integrali indefiniti
Esempio 2
Cerchiamo il valore in
x1 = 3 della primitiva G di
f (x) = 6x2 + 5x che si annulla in x0 = 1
Una primitiva di
f (x) è
5
F (x) = 2x3 + x2
2
27
Esempio 2
Imponendo la condizione
0=2+
5
+ c0
2
G(1) = 0, otteniamo
9
da cui c0 = −
2
La primitiva cercata è
5
9
G(x) = F (x) + c0 = 2x3 + x2 −
2
2
© 2006 Politecnico di Torino
28
14
Analisi matematica I
Primitive e integrali indefiniti
Esempio 2
La primitiva cercata è
5
9
G(x) = F (x) + c0 = 2x3 + x2 −
2
2
Il suo valore in
x1 = 3 è G(3) = 72
29
Esempio 3
Sia
f (x) = sin |x| =
− sin x
se
x<0
sin x
se
x≥0
Vogliamo determinare tutte le primitive di f (x)
su R
Ragioniamo dapprima sugli intervalli I1
e I2 = (0, +∞) separatamente
= (−∞, 0)
30
© 2006 Politecnico di Torino
15
Analisi matematica I
Primitive e integrali indefiniti
Esempio 3
f (x) = − sin x
se
x ∈ I1
Nell’intervallo I1 , tutte le primitive di
della forma
f (x) sono
F1 (x) = cos x + c1 con c1 ∈ R
se
f (x) = sin x
x ∈ I2
Nell’intervallo I2 , tutte le primitive di
della forma
f (x) sono
F2 (x) = − cos x + c2 con c2 ∈ R
31
Esempio 3
La generica primitiva
F (x) di f (x) su R si scrive
come
F1 (x)
se
x<0
F2 (x)
se
x>0
F (x) =
cos x + c1
se
x<0
− cos x + c2
se
x>0
=
© 2006 Politecnico di Torino
32
16
Analisi matematica I
Primitive e integrali indefiniti
Esempio 3
F deve essere continua in x = 0
Dobbiamo raccordare le primitive trovate,
imponendo la condizione
lim F (x) = lim+ F (x)
x→0−
Ciò equivale a
x→0
F1 (0) = F2 (0), ossia
1 + c1 = −1 + c2
33
Esempio 3
Ad esempio, sia
c1 = c, otteniamo c2 = 2 + c
In conclusione la generica primitiva di
f (x) su R
è
cos x + c
se
x < 0,
F (x) =
− cos x + 2 + c se x ≥ 0
© 2006 Politecnico di Torino
34
17
Analisi matematica I
Primitive e integrali indefiniti
Esempio 4
Si consideri la funzione continua definita a tratti
f (x) =
x
se
(x − 2)2
se
x ≤ 1,
x>1
Procedendo come nell’Esempio precedente
otteniamo
F (x) =
1 2
x + c1
se x < 1,
2
1
(x − 2)3 + c2 se x > 1
3
35
Esempio 4
Imponendo la continuità in
x = 1, si ha
1
1
+ c1 = − + c2
2
3
36
© 2006 Politecnico di Torino
18
Analisi matematica I
Primitive e integrali indefiniti
Esempio 4
1
1
+ c1 = − + c2
2
3
Da tale relazione, ponendo c1
c2 =
= c si ha
5
+c
6
37
Esempio 4
Da tale relazione, ponendo c1 = c si ha c2 =
5
+c
6
Dunque
F (x) =
© 2006 Politecnico di Torino
1 2
x +c
2
se
x ≤ 1,
5
1
(x − 2)3 + + c se x > 1
3
6
38
19
Analisi matematica I
Primitive e integrali indefiniti
Esempio 4
Vogliamo determinare la primitiva di
annulla in
f (x) che si
x0 = 3
Poiché
x0 > 1, usiamo la seconda espressione di
F (x) e imponiamo la condizione F (3) = 0
5
7
1
F (3) = (3 − 2)3 + + c = 0 da cui c = −
3
6
6
Esempio 4
F (3) = 0 ⇒ c = −
7
6
Ne segue che la primitiva cercata è
F (x) =
© 2006 Politecnico di Torino
1 2 7
x −
2
6
1
1
(x − 2)3 −
3
3
se
x ≤ 1,
se
x>1
40
20
Analisi matematica I
Primitive e integrali indefiniti
Esempio 4
Se vogliamo determinare la primitiva di
si annulla in
f (x) che
x0 = 1, possiamo imporre
l’annullamento dell’una o dell’altra espressione
di
F (x), in quanto esse coincidono in tale punto
41
Esempio 4
lim F (x) = lim+ F (x) = 0
x→1−
x→1
La primitiva cercata è
F (x) =
© 2006 Politecnico di Torino
1 2 1
x −
2
2
1
1
(x − 2)3 +
3
3
se x ≤ 1,
se x > 1
42
21
Analisi matematica I
Primitive e integrali indefiniti
Primitive e integrali indefiniti
Definizione
Sia
f definita su un intervallo I
Si dice primitiva generalizzata di
ogni funzione
f in I (o su I )
F
Continua in I
Derivabile in I tranne al più un numero finito di
punti
x1 , . . . , xn e tale che
F 0 (x) = f (x),
∀x ∈ I \ {x1 , . . . , xn }
44
© 2006 Politecnico di Torino
22
Analisi matematica I
Primitive e integrali indefiniti
Esempio
Si consideri la funzione definita a tratti
f (x) =
1
+ 1 se x < 0,
x2 + 1
√
x+1
se
x≥0
45
Esempio
Procedendo come in precedenza otteniamo
arctan x + x + c1 se x < 0,
F (x) =
2
(x + 1)3/2 + c2
3
se
x>0
46
© 2006 Politecnico di Torino
23
Analisi matematica I
Primitive e integrali indefiniti
Esempio
Imponendo la continuità in
x = 0, si ha
2
+ c2
3
Da tale relazione, ponendo c2 = c, si ha
2
c1 = + c
3
c1 =
47
Esempio
c2 = c,
c1 =
2
+c
3
Risulta
arctan x + x +
F (x) =
© 2006 Politecnico di Torino
2
(x + 1)3/2 + c
3
2
+ c se x < 0,
3
se x ≥ 0
48
24