Le coniche File - La casa degli insegnanti

Le coniche
Vincenzo Giordano
Prefazione
In questo libro, vengono elencati e dimostrati numerosi teoremi sulle coniche per via completamente sintetica, a partire dalla definizione delle stesse come luogo fuoco-direttrice.
Certamente non voglio disdegnare il metodo analitico, che comunque resta uno strumento potente e, in certi casi, indispensabile. Tuttavia, è mio obiettivo mostrare la bellezza e l’eleganza
(nonchè la semplicità) delle dimostrazioni ottenute sfruttando semplici nozioni di geometria
euclidea. Testo di riferimento sarà quello di Besant, Conic sections treated geometrically reperebile on-line su DML (Digital Mathematics Library); ho attinto anche a vari altri testi
che menzionerò di volta in volta(il materiale esistente sulle coniche è davvero sterminato!!).
Per la comprensione del testo, non sono necessari particolari requisiti: come direbbe Besant,
una buona conoscenza dei primi sei libri degli Elementi di Euclide (e cioè le nozioni di geometria elementare che si imparano alla scuola superiore) è tutto ciò che basta per addentrarsi
nel meraviglioso mondo delle coniche. Naturalmente, non posso fare a meno di citare il grande geometra Apollonio, cioè colui che ha trattato sistematicamente le coniche, utilizzando
esclusivamente metodi sintetici (la sua opera sulle coniche si contraddistingue per chiarezza
e profondità), intuendo numerose proprietà delle stesse, proprietà che successivamente sono
state dimostrate (magari con meno dispendio di energie mentali) adoperando metodi analitici
o proiettivi.
Vincenzo Giordano
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Capitolo 1
Le sezioni coniche
1.1
Definizioni
Definizione 1.1.1 Siano assegnati nel piano un punto F e una retta d non passante per F . Si
dice sezione conica il luogo geometrico dei punti del piano la cui distanza da F è in rapporto
costante con la distanza dalla retta d. Il punto F è detto fuoco, la retta d direttrice, e il
valore costante del rapporto di cui sopra, è detto eccentricità e denotato con e. Se e = 1, la
conica è chiamata parabola, se e > 1, iperbole, se e < 1, ellisse.
Per il fuoco F si conduca la perpendicolare alla retta d; denotato con X il loro punto di
intersezione, sul segmento XF si prenda un punto A tale che
AF : AX = e.
Tale punto, che chiaramente appartiene alla conica, è detto vertice e la retta F X che lo
contiene è chiamata asse(principale) della conica. Si prenda un punto E sulla direttrice e si
traccino le rette congiungenti E ed F , E ed A. Per il fuoco F si conduca una semiretta che
intersechi la retta EA in P in modo che
P F̂ N ∼
= N F̂ R
dove N denota il punto di intersezione della retta per P parallela all’asse con la retta EF
ed R un punto dell’asse esterno al segmento F X, situato a destra del fuoco. Allora, P è un
punto della conica. Sia K il punto di intersezione della direttice d con la retta P N . Allora
P N̂ F ∼
= P F̂ N e pertanto P F ∼
= P N . Dalla similitudine dei triangoli EN P ed EF A, e dei
triangoli EP K ed EAX segue che
P N : AF = EP : EA = P K : AX;
∴ P N : P K = AF : AX
e
∴ P F : P K = AF : AX = e.
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1.1 Definizioni
Le sezioni coniche
Quindi, P è un punto della conica. Chiaramente, al variare del punto E sulla direttrice, si
ottengono tutti i punti della conica. In particolare, se si prende il punto E 0 simmetrico di E
rispetto a X, si ottiene un punto P 0 della conica che risulta evidentemente simmetrico di P
rispetto all’asse AX. Ne segue che una conica è una curva simmetrica rispetto al suo asse.
Figura 1.1: Costruzione di una conica
Definizione 1.1.2 Si dice corda di una conica, ogni segmento che congiunge due punti distinti della medesima. Nel caso in cui tale segmento o la retta che lo contiene, passa per il
fuoco, si parla di corda focale. La corda focale perpendicolare all’asse è chiamata il Latus
Rectum della conica.
Nel seguito, risulteranno particolarmente utili i due seguenti celebri teoremi della bisettrice
interna ed esterna di un triangolo.
Teorema 1.1.3 (della bisettrice dell’angolo interno) La bisettrice di un angolo interno
di un triangolo divide il lato opposto in parti proporzionali agli altri due lati. Viceversa, se
un punto interno ad un lato di un triangolo divide questo lato in parti proporzionali agli altri
due lati, allora la congiungente questo punto col vertice dell’angolo opposto è la bisettrice di
questo angolo del triangolo.
Teorema 1.1.4 (della bisettrice dell’angolo esterno) La bisettrice di un angolo esterno
di un triangolo incontra il prolungamento del lato opposto, qualora non sia ad esso parallela,
in un punto le cui distanze dagli estremi di quel lato sono proporzionali agli altri due lati.
Viceversa, se un punto del prolungamento di un lato di un triangolo è tale che le sue distanze
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1.2 Proprietà corda-direttrice
Le sezioni coniche
dagli estremi di quel lato sono proporzionali agli altri due lati, allora la congiungente questo
punto col vertice opposto è la bisettrice del corrispondente angolo esterno del triangolo.
Figura 1.2: Teorema della bisettrice
In riferimento alla Fig. 1.2, dai due teoremi della bisettrice applicati al triangolo ABC,
segue che:
AD : DB = AC : CB
e
AE : BE = AC : CB.
Ne segue che
AD : DB = AE : BE.
(1.1)
Quando due punti D ed E dividono un segmento AB, internamente ed esternamente, in modo
che valga la (1.1), si dice che D ed E dividono armonicamente il segmento stesso (e anche
che il punto D è il coniugato armonico del punto E rispetto ad A e B). Il concetto di
divisione armonica giocherá un ruolo fondamentale nello studio delle coniche, soprattutto in
relazione alla definizione di polo e di polare.
1.2
Proprietà corda-direttrice
Proposizione 1.2.1 Se la retta congiungente due punti distinti P e Q di una conica incontra
la direttrice nel punto S, allora la retta F S biseca l’angolo compreso tra P F e QF .
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1.2 Proprietà corda-direttrice
Le sezioni coniche
Dimostrazione. Si traccino per i punti P e Q le perpendicolari alla direttrice d; siano J e
K i piedi di tali perpendicolari.
Figura 1.3: Proprietà corda-direttrice
Allora, dalla similitudine dei triangoli P JS e QKS, segue che
P F : QF = P J : QK = P S : QS.
Pertanto F S biseca l’angolo esterno del triangolo P F Q (teorema della bisettrice dell’angolo
esterno). Osservazione 1.2.2 Vedremo che nel caso in cui l’eccentricità è maggiore di 1, la conica
(iperbole) consta di due rami. In questo caso, se i punti P e Q appartengono a rami distinti
(si veda la Figura 1.4), la retta F S biseca l’angolo interno P F̂ Q (la dimostrazione è del tutto
analoga e consegue dal teorema della bisettrice dell’angolo interno).
Corollario 1.2.3 Con riferimento alla Fig. 1.3, se F U biseca l’angolo P F̂ Q, allora S F̂ U ∼
=
90◦ .
Corollario 1.2.4 Con riferimento alla Fig. 1.3, se S F̂ U ∼
= 90◦ , allora F U biseca l’angolo
P F̂ Q.
Proposizione 1.2.5 Ogni retta non può avere in comune con una conica più di due punti.
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1.2 Proprietà corda-direttrice
Le sezioni coniche
Figura 1.4: Proprietà corda-direttrice
Dimostrazione. Sia P un punto della conica ed S un punto della direttrice; si tracci la
retta SP e, congiunto S con F , si tracci F U ad angolo retto con F S (S F̌ U ∼
= 90◦ ) e la
∼
semiretta F Q tale che U F̂ Q = U F̂ P (si veda la Fig. 1.3). Allora Q è un punto della conica.
Infatti, poichè SF biseca l’angolo esterno del triangolo P F Q (Prop. 1.2.1) e per la similitudine
dei triangoli SQK e SP J, si ha che:
F Q : F P = QS : P S = QK : P J
o
F Q : QK = F P : P J
cioè Q è un punto della conica. Si supponga che esista un altro punto R della conica sulla
retta SP . Allora, per il Cor. 1.2.4, F U biseca l’angolo P F̂ R; ma F U biseca anche l’angolo
P F̂ Q, quindi R e Q sono coincidenti. Definizione 1.2.6 Dati una retta ed una conica, la prima si dice secante, tangente o esterna rispetto alla seconda, se con quest’ultima ha due punti, uno solo o nessun punto in comune,
rispettivamente.
Osservazione 1.2.7 Con riferimento alla Fig. 1.3, la tangente in P alla conica può essere
definita come la posizione limite assunta dalla retta P Q, quando Q tende a sovrapporsi al
punto P , muovendosi lungo la curva.
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1.3 Tangenti ad una conica
1.3
Le sezioni coniche
Tangenti ad una conica
Proposizione 1.3.1 Se la retta tangente alla conica in un suo punto P incontra la direttrice
nel punto S, allora l’angolo S F̂ P è retto.
Dimostrazione. Si faccia sempre riferimento alla Fig. 1.3. Per il Cor. 1.2.3, F U è
perpendicolare a SF . Se Q coincide con P , F U coincide con F P e pertanto, in tale posizione
limite, F P è perpendicolare a SF . Figura 1.5: Proprietà tangente-direttrice
Definizione 1.3.2 Un punto si dice esterno ad una conica, se da esso possono condursi due
tangenti alla medesima. Si dice interno ad una conica, se da esso non si può condurre alcuna
tangente.
Proposizione 1.3.3 Se la tangente ad una conica in un suo punto P incontra la direttrice
nel punto S e il prolungamento del Latus Rectum nel punto D, allora:
F D : F S = AF : AX = e.
Dimostrazione. Detto K il piede della perpendicolare per P alla direttrice d, si congiunga
F con K. Per la Prop. 1.3.1, S F̂ P è un angolo retto al pari dell’angolo S K̂P . Ne segue che
il quadrilatero KSF P (avendo due angoli opposti supplementari) è inscrivibile in una circonferenza, e quindi gli angoli F ŜP e F K̂P sono congruenti (in quanto angoli alla circonferenza
che insistono sullo stesso arco). Inoltre, gli angoli S F̂ D e K P̂ F sono congruenti perchè complementari dello stesso angolo P F̂ D. Allora, per il I criterio di similitudine, i due triangoli
SF D e F P K sono simili, e quindi:
F D : F S = P F : P K = AF : AX = e.
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1.3 Tangenti ad una conica
Le sezioni coniche
Figura 1.6: Proprietà tangente-Latus Rectum
Resta cosı̀ provata la proposizione. Proposizione 1.3.4 Se da un punto T esterno ad una conica si conducono le due tangenti,
detti P e Q i due punti di contatto, allora la retta T F biseca l’angolo P F̂ Q.
Dimostrazione. La tangente T P incontri la direttrice in S e il Latus Rectum ( eventualmente prolungato) in E; la tangente T Q incontri la direttrice in R e il Latus Rectum
(eventualmente prolungato) in D. Si congiunga F con T e si prolunghi tale segmento fino ad
incontrare la direttrice in K.
Poichè KRT ∼ F DT e KT S ∼ T EF (il simbolo ∼ denota la relazione di similitudine), si
ha che:
KR : F D = KT : F T = KS : F E
quindi
KR : KS = F D : F E.
Per la Prop. 1.3.3
FD : FR = FE : FS
cioè
FD : FE = FR : FS
da cui
KR : KS = F R : F S.
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1.3 Tangenti ad una conica
Le sezioni coniche
Figura 1.7: Tangenti condotte da un punto esterno
Per il teorema della bisettrice dell’angolo interno (applicato al triangolo RF S), F K biseca
l’angolo RF̂ S, cioè
RF̂ K ∼
= K F̂ S.
Per la Prop. 1.3.1 P F̂ S e RF̂ Q sono angoli retti; pertanto gli angoli P F̂ R e QF̂ S, in quanto
complementari dello stesso angolo RF̂ S, sono congruenti. Ne segue che
P F̂ T ∼
= T F̂ Q
in quanto angoli somma di angoli congruenti. Corollario 1.3.5 Con le stesse notazioni della Prop. precedente, il punto T è equidistante
dalle rette P F e F Q.
Proposizione 1.3.6 Da un punto T esterno ad una conica si conducano le due tangenti; detti
P e Q i due punti di contatto, si tracci una retta tangente alla conica parallela alla corda P Q.
Detti R il punto di contatto di tale tangente, D ed E i punti d’intersezione della medesima
tangente con le due rette tangenti T P e T Q, allora
DR ∼
= ER.
Inoltre, la retta T R dimezza la corda P Q.
Dimostrazione. Poichè la retta DE è parallela a P Q, per il teorema di Talete si ha che:
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1.3 Tangenti ad una conica
Le sezioni coniche
T P : DP = T Q : EQ.
(1.2)
Dal punto D si conducano le perpendicolari DM e DG alle rette RF e F P ; dal punto E
si conducano le perpendicolari EN ed EI alle rette RF e F Q; dal punto T si conducano le
perpendicolari T H e T L alle rette F P e F Q.
Dalla similitudine dei triangoli rettangoli P DG e P T H, segue che:
T P : DP = T H : DG.
(1.3)
Dalla similitudine dei triangoli rettangoli T QL ed EQI, segue che:
T Q : EQ = T L : EI.
(1.4)
Dalle (1.2), (1.3) e (1.4) per transitività segue che:
T H : DG = T L : EI.
(1.5)
Per il Cor. 1.3.5 T H ∼
= T L. La (1.5) implica, pertanto, che DG ∼
= EI. Sempre per lo stesso
Corollario, risulta EN ∼
= EI e DG ∼
= DM .
∴ EN ∼
= DM.
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1.3 Tangenti ad una conica
Le sezioni coniche
Dunque, i due triangoli rettangoli DRM e RN E avendo congruenti un cateto e i due angoli
acuti, sono congruenti. Ne segue che DR ∼
= ER.
Se la retta T R interseca in V la corda P Q, poichèT P V ∼ T DR e T QV ∼ T ER, si ha:
P V : DR = T V : T R
QV : ER = T V : T R
∴ P V : DR = QV : ER.
Poichè è stato appena dimostrato che DR ∼
= ER, l’ultima proporzione implica che P V ∼
= QV .
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1.3 Tangenti ad una conica
Le sezioni coniche
Definizione 1.3.7 Siano P un punto della conica e t la retta tangente in P alla medesima.
Si definisce normale in P la retta passante per P e perpendicolare a t.
Proposizione 1.3.8 Se la normale nel punto P alla conica incontra l’asse nel punto G, allora
F G : F P = AF : AX = e.
Dimostrazione. Si supponga che la tangente nel punto P alla conica incontri la direttrice
nel punto S e il Latus Rectum (eventualmente prolungato) nel punto D. Allora, per la
Prop. 1.3.1, l’angolo S F̂ P è retto. Ne segue che gli angoli F P̂ G e P ŜF sono congruenti
perchè complementari dello stesso angolo S P̂ F ; gli angoli P F̂ G e S F̂ D sono congruenti perchè
complementari dello stesso angolo DF̂ P .
∴ SF D ∼ F P G.
Dalla similitudine di tali triangoli si deduce che:
F G : F P = F D : SF = AF : AX
( nell’ultima uguaglianza si è applicata la Prop. 1.3.3). Vincenzo Giordano
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