Coniche e quadriche
Una quadrica è il luogo degli zeri in En , lo spazio euclideo di dimensione n, di
un polinomio di grado 2 nelle variabili x1 , . . . , xn . Polinomi proporzionali danno
luogo alla stessa quadrica. Se n = 2 una quadrica viene anche detta conica.
Esempi.
• x2 + y 2 − 1 = 0.
• x2 + y 2 + 1 = 0.
• (x + y + z + 1)2 = 0.
Per ogni polinomio di grado 2 in n
simmetrica (ai j ) con indici 0 ≤ i, j ≤ n
seguente
a0 0
a0 1
1 x1 . . . x n .
..
variabili esiste una e una sola matrice
tale che il polinomio si scrive nel modo
a0 n
a0 1
a1 1
..
.
...
...
a0 n
a1 n
..
.
a1 n
...
an n
1
x1
..
.
xn
cioè
X
1≤i≤n
ai i x2i
+
X
2ai j xi xj
1≤i<j≤n
+
X
2a0 j xj
+ a0 0 .
1≤j≤n
Esempio: L’equazione x2 + xy − yz − z 2 − x − z + 2 = 0 diventa
1
2 −1/2
0 −1/2
−1/2
1
1/2
0
x = 0.
1 x y z
0
1/2
0 −1/2 y
z
−1/2
0 −1/2
−1
La proprietà di essere una quadrica non dipende dal sistema di riferimento
affine scelto.
Denotiamo con x il vettore colonna delle variabili x1 , . . . , xn ,
x1
x = ... .
xn
Se x = Bx0 + c, passando dalle coordinate x1 , . . . , xn alle coordinate x01 , . . . , x0n ,
la quadrica associata alla matrice simmetrica A diventa la quadrica associata
alla matrice
T 1 0
1 0
0
A
A =
c B
c B
1
infatti
1
x
1
Bx0 + c
=
=
1
c
0
B
1
x0
Teorema 1 (Classificazione delle coniche). L’equazione di ogni conica si può
scrivere, in un opportuno sistema di riferimento cartesiano, in una e una sola
delle seguenti forme (dette forme canoniche).
•
x2
a2
+
y2
b2
− 1 = 0, a ≥ b > 0 (ellisse reale)
•
x2
a2
+
y2
b2
+ 1 = 0, a ≥ b > 0 (ellisse immaginaria)
•
x2
a2
−
y2
b2
− 1 = 0, a, b > 0 (iperbole)
•
x2
a2
− y = 0, a > 0 (parabola)
•
x2
a2
− y 2 = 0, a ≥ 1 (rette reali incidenti)
•
x2
a2
+ y 2 = 0, a ≥ 1 (rette immaginarie incidenti)
•
x2
a2
− 1 = 0, a > 0 (rette reali parallele)
•
x2
a2
+ 1 = 0, a > 0 (rette immaginarie parallele)
• x2 = 0 (rette coincidenti)
In generale una quadrica si dice degenere se il determinante della sua matrice simmetrica associata è zero. Una conica è degenere se e solo se la sua
equazione si fattorizza (a coefficienti complessi).
Mostriamo come partendo da una equazione generica si costruisce il cambiamento di sistema di riferimento cartesiano che mette l’equazione in forma
canonica.
1. Sia A = (ai j ) una matrice simmetrica con 0 ≤ i, j ≤ 2. In particolare
la sottomatrice A0 0 , ottenuta da A eliminando la prima riga e la prima
colonna, è simmetrica. Prendiamo una matrice B, 2 × 2, ortogonale e tale
che B T A0 0 B sia diagonale. Ponendo
0
A =
1
0
0
B
abbiamo A00 0 diagonale.
2. Abbiamo due casi.
2
T
A
1
0
0
B
(a) Se esiste c0 ∈ R2 tale che la sostituzione x0 = x00 +c0 elimina i termini
di primo grado, scriviamo
00
A =
0
I2
1
c0
T
A
0
1
c0
0
I2
e abbiamo A00 diagonale.
Ora:
i. se a000 0 =
6 0, abbiamo un’ellisse, un’iperbole o due rette parallele,
00
ii. se a0 0 = 0, abbiamo due rette incidenti o coincidenti.
(b) Se non esiste c0 ∈ R2 tale che la sostituzione x0 = x00 + c0 elimina i
termini di primo grado, abbiamo una parabola.
Se c0 ∈ R2 come sopra esiste e è univocamente determinato, la conica
si dice a centro, e le componenti di c0 sono le coordinate del centro nel
sistema di riferimento delle x0 .
Esercizio: Mettere in forma canonica la conica di equazione
xy + 2x − y − 2 = 0.
Risolviamo l’esercizio. Riscriviamo l’equazione in forma matriciale
−2
1 −1/2
1
1
0
1/2 x = 0.
1 x y
−1/2 1/2
0
y
Consideriamo la sottomatrice 2×2, ottenuta eliminando la prima riga e la prima
colonna,
0 1/2
A0 0 =
.
1/2
0
Cerchiamo una matrice B ortogonale tale che B T A0 0 B sia diagonale.
Scriviamo il polinomio caratteristico:
1
1
1
−λ
1/2
2
λ+
.
det(A0 0 − λI2 ) = det
=λ − = λ−
1/2 −λ
4
2
2
Calcoliamo gli autospazi:
V 21 = Span{
1
1
V− 12 = V 1⊥ = Span{
2
3
},
1
−1
}.
Abbiamo una base ortogonale di R2 diagonalizzante:
1
1 ,
.
1
−1
Normalizzando otteniamo una base ortonormale:
!
!
√1
2
√1
2
,
√1
2
− √12
√1
2
√1
2
√1
2
− √12
.
Possiamo prendere
B=
!
.
Utilizziamo quindi il cambiamento di coordinate
!
√1
√1
x
x0
2
2
.
=
√1
y
y0
− √12
2
Sostituendo nell’equazione di partenza otteniamo
1 1
1 1
1 1
1 1
√ x0 + √ y 0 √ x0 − √ y 0 + 2 √ x0 + √ y 0 − √ x0 − √ y 0 − 2 = 0,
2
2
2
2
2
2
2
2
cioè
1 0 2 1 0 2
1
3
(x ) − (y ) + √ x0 + √ y 0 − 2 = 0.
2
2
2
2
Ora eliminiamo i termini di primo grado, con il metodo di completamento
del quadrato di un binomio. Cominciamo con i termini nella variabile x0 ,
1
1 0 2
1 0 2 √ 0
(x ) + √ x0
(x ) + 2x =
=
2
2
2
1 1 2
1 2
1
0 2
0
√
√
√
(x ) + 2(x )
+
−
=
=
2
2
2
2
1 2
1
1 2
=
x0 + √
− √
=
2
2
2
1 2 1
1
− .
= x0 + √
2
4
2
Analogamente procediamo con i termini nella variabile y 0 ,
√ 3
1 0 2
1
=−
(y ) − 3 2y 0 =
− (y 0 )2 + √ y 0
2
2
2
1
3 3 2
3 2
0 2
0
=−
(y ) + 2(y ) − √ + − √
− −√
=
2
2
2
2
1
3 2
3 2
=−
y0 − √
− −√
=
2
2
2
1
3 2 9
= − y0 − √
+ .
2
4
2
4
L’equazione diventa
1 0
1 2 1
1 0
3 2 9
−
+
x +√
+ − y −√
− 2 = 0,
2
4
2
4
2
2
cioè
1 2 1 0
3 2
1 0
− y −√
= 0.
x +√
2
2
2
2
Utilizziamo quindi il cambiamento di coordinate
√ 0 00 x
x
−1/√2
=
+
y0
y 00
3/ 2
e otteniamo
1 00 2 1 00 2
(x ) − (y ) = 0,
2
2
o equivalentemente la forma canonica
(x00 )2 − (y 00 )2 = 0.
Si tratta dell’equazione di due rette incidenti, infatti si può anche scrivere come
(x00 − y 00 )(x00 + y 00 ) = 0,
e l’esercizio è concluso.
Ellisse: in E2 , siano F1 e F2 due punti e a > 21 dist(F1 , F2 ) un numero reale.
Il luogo dei punti P tali che
dist(P, F1 ) + dist(P, F2 ) = 2a
è un’ellisse. I punti F1 e F2 si dicono fuochi. I numeri a e b, tale che b2 = a2 − c2
dove 2c = dist(F1 , F2 ), si dicono semiassi. Il centro dell’ellisse è il punto medio
tra i fuochi.
Un caso particolare di ellisse è la circonferenza. L’ellisse è una circonferenza
se e solo se F1 = F2 , se e solo se a = b. L’equazione di una circonferenza di
centro (cx , cy ) e raggio r è (x − cx )2 + (y − cy )2 = r2 , cioè
x2 + y 2 − 2cx x − 2cy y + c2x + c2y − r2 = 0.
Se l’ellisse non è una circonferenza la retta passante per i fuochi e la sua
ortogonale si dicono assi dell’ellisse, le intersezioni degli assi con l’ellisse si dicono
vertici.
Prendendo il riferimento cartesiano dato dai suoi assi l’equazione dell’ellisse
2
2
diventa quella canonica xa2 + yb2 − 1 = 0. In tale sistema di riferimento una
parametrizzazione dell’ellisse è la seguente.
x = a cos(t)
y = b sin(t)
5
Iperbole: in E2 , siano F1 e F2 due punti e 0 < a < 12 dist(F1 , F2 ) un numero
reale. Il luogo dei punti P tali che
|dist(P, F1 ) − dist(P, F2 )| = 2a
è un’iperbole. I punti F1 e F2 si dicono fuochi. I numeri a e b, tale che b2 = c2 −a2
dove 2c = dist(F1 , F2 ), si dicono semiassi. Il centro dell’iperbole è il punto medio
tra i fuochi. La retta passante per i fuochi e la sua perpendicolare passante per
il centro si dicono assi dell’iperbole, le intersezioni della prima con l’iperbole si
dicono vertici. Le due rette (che passano per il centro) a cui l’iperbole tende
all’infinito si dicono asintoti.
Prendendo il riferimento cartesiano dato dai suoi assi l’equazione dell’iper2
2
bole diventa quella canonica xa2 − yb2 − 1 = 0. Gli asintoti hanno equazione
rispettivamente
x y
x y
− = 0,
+ = 0.
a
b
a
b
In tale sistema di riferimento una parametrizzazione dei due rami dell’iperbole
è la seguente.
x = ±a cosh(t)
y = b sinh(t)
Parabola: in E2 , sia r una retta e F 6∈ r un punto. Il luogo dei punti P tali
che dist(P, F ) = dist(P, r) è una parabola. Il punto F si dice fuoco. La retta r
si dice direttrice. La retta passante per il fuoco e perpendicolare alla direttrice
si dice asse della parabola, l’intersezione dell’asse con la parabola si dice vertice.
Prendendo il riferimento cartesiano dato dalla retta parallela alla direttrice
passante per il vertice e dall’asse (scegliendo il verso che va dalla direttrice
2
al fuoco) l’equazione della parabola diventa quella canonica xa2 − y = 0, dove
a2 = 2dist(F, r).
Teorema 2 (Classificazione delle quadriche nello spazio). L’equazione di ogni
quadrica nello spazio si può scrivere, in un opportuno sistema di riferimento
cartesiano, in una e una sola delle seguenti forme.
•
x2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
− 1 = 0, a ≥ b ≥ c > 0 (ellissoide reale)
•
x2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
+ 1 = 0, a ≥ b ≥ c > 0 (ellissoide immaginario)
2
2
2
•
x
a2
+
y
b2
−
z
c2
+ 1 = 0, a ≥ b > 0, c > 0 (iperboloide ellittico)
•
x2
a2
+
y2
b2
−
z2
c2
− 1 = 0, a ≥ b > 0, c > 0 (iperboloide iperbolico)
•
x2
a2
+
y2
b2
− z = 0, a ≥ b > 0 (paraboloide ellittico)
•
x2
a2
−
y2
b2
− z = 0, a ≥ b > 0 (paraboloide iperbolico)
•
x2
a2
+
y2
b2
− z 2 = 0, a ≥ b > 0 (cono reale)
6
•
x2
a2
+
y2
b2
+ z 2 = 0, a ≥ b > 0 (cono immaginario)
•
x2
a2
+
y2
b2
− 1 = 0, a ≥ b > 0 (cilindro ellittico)
•
x2
a2
−
y2
b2
− 1 = 0, a, b > 0 (cilindro iperbolico)
•
x2
a2
− y = 0, a > 0 (cilindro parabolico)
•
x2
a2
+
•
x2
a2
− y 2 = 0, a ≥ 1 (piani reali incidenti)
•
x2
a2
+ y 2 = 0, a ≥ 1 (piani immaginari incidenti)
•
x2
a2
− 1 = 0, a > 0 (piani reali paralleli)
•
x2
a2
+ 1 = 0, a > 0 (piani immaginari paralleli)
y2
b2
+ 1 = 0, a ≥ b > 0 (cilindro immaginario)
• x2 = 0 (piani coincidenti)
Le quadriche del piano si chiamano coniche poiché si possono ottenere nello
spazio come intersezione di un piano con un cono reale.
Se la quadrica è degenere la sua equazione non necessariamente si fattorizza.
Se la matrice simmetrica associata ha rango 3 abbiamo un cono o un cilindro. Se
ha rango ≤ 2 una coppia di piani, quindi in questo caso l’equazione si fattorizza
(a coefficienti complessi).
7
