PROGRAMMA DEFINITIVO C.P.S.M.
Compilato da Daniele Cancelliere, Margherita D'Ovidio, Francesco Russo
[email protected]
Docente: Diego De Falco
Corso di Laurea in Informatica – anno 2003/2004 – primo semestre
Testo di riferimento: “Introduzione alla statistica” – Mood, Graybill, Boes
CAPITOLO 1: PROBABILITA’
PAR.
1.1
NOME PARAGRAFO
INTRODUZIONE
1.2
CONCETTO DI PROBABILITA’
1.2.2
1.2.3
1.3
1.3.1
Probabilià classica
Probabilità frequentista
DEFINIZIONE ASSIOMATICA DI PROBABILITA’
Modelli di probabilità
1.3.2
Una parentesi: la teoria degli insiemi
1.3.3
Definizioni di spazio campionario e di evento
1.3.4
Definizione di probabilità
1.3.5
Spazi campionari finiti
1.3.6
Probabilità condizionata e indipendenza
PAROLE CHIAVE / CONCETTI
Probabilità classica, probabilità a
priori
Punto campionario, spazio
campionario
Punto campionario, spazio
campionario
Punto o elemento, sottoinsieme,
insiemi uguali, insieme vuoto, insieme
complementare, unione, intersezione,
insieme differenza; leggi
commutative, associative, distributive,
leggi di De Morgan; unione e
intersezione di insiemi
Spazio campionario, evento, spazio
degli eventi; evento elementare, certo
ed impossibile; assiomi spazio di
probabilità
Definizione di funzione, funzione
caratteristica (funzione indicatrice del
successo), funzione di probabilità con
rispettivi assiomi; teorema “del
piastrellista” : P[A ∪ B]= P[A] +
P[B]- P[A ∩B]; spazio di probabilità
Funzione di probabilità uniforme,
campione, estrazioni con e senza
reimmissione; formula binomiale e
formula ipergeometrica, numero di
sottoinsiemi di un insieme di ampiezza
M
Definizione di probabilità
condizionata, assiomi, teorema delle
PAG.
15
16
16
19
21
21
22
27
31
37
44
probabilità totali, formula di Bayes;
eventi indipendenti
CAPITOLO 2: VARIABILI CASUALI, FUNZIONI DI RIPARTIZIONE E VALORE
ATTESO
PAR.
2.1
2.2
NOME PARAGRAFO
2.2.1
2.2.2.
INTRODUZIONE
VARIABILI CASUALI E FUNZIONE DI
RIPARTIZIONE
Introduzione
Definizioni
2.3
2.3.1
FUNZIONI DI DENSITA’
Variabili casuali discrete
2.3.2
Variabili casuali continue
2.4
2.4.1
VALORI ATTESI E MOMENTI
Media
2.4.2
Varianza
2.4.3
Valore atteso di una funzione di una variabile casuale
2.4.4
Disuguaglianza di Tchebycheff
2.4.5
Disuguaglianza di Jensen
2.4.6
Momenti e funzione generatrice dei momenti
PAROLE CHIAVE / CONCETTI
PAG.
65
64
Variabile casuale, funzione di
ripartizione (o cumulativa delle
frequenze), proprietà della funzione di
ripartizione
Variabile casuale discreta, funzione di
densità discreta di una v.c. discreta,
punti di massa;
Definizione di variabile casuale
continua, funzione di densità di
probabilità di una v.c. continua;
legame tra funzione di densità e
funzione di ripartizione di una v.c.
continua
Media (valore atteso) di v.c. discreta e
continua, centro di gravità
Varianza di v.c. discreta e continua,
misura di dispersione, deviazione
standard
Valore atteso nel discreto e nel
continuo, proprietà del valore atteso,
varianza
Disuguaglianza di Tchebyceff e
corollario. Il teorema 2.5 è noto come
disuguaglianza di Markov.
Definizione di funzione convessa e
disuguaglianza di Jensen (accennata
ad esercitazione)
Definizione di momento; funzione
generatrice dei momenti per il calcolo
del valore atteso e della varianza di
una v.c. (nel discreto e nel continuo);
il teorema 2.7 ci dice ce conoscendo la
f.g. dei momenti è possibile risalire
alla distribuzione della v.c; definizione
di quantile, mediana, moda
64
64
68
68
71
75
75
77
79
81
82
83
CAPITOLO 3: PARTICOLARI FAMIGLIE PARAMETRICHE DI DISTRIBUZIONI
UNIDIMENSIONALI
PAR.
3.1
3.2
3.2.1
3.2.2
NOME PARAGRAFO
INTRODUZIONE
DISTRIBUZIONI DISCRETE
Distribuzione uniforme discreta
Distribuzione di Bernulli e distribuzione binomiale
3.2.3
Distribuzione ipergeometrica
3.2.4
Distribuzione di Poisson
3.2.5
Distribuzione geometrica e binomiale negativa
3.2.6
Altre distribuzioni discrete
3.3
3.3.1
DISTRIBUZIONI CONTINUE
Distribuzione uniforme o rettangolare
3.3.2
Distribuzione normale
PAROLE CHIAVE / CONCETTI
Famiglie parametriche
Densità uniforme discreta
Densità, valore atteso, varianza e f.g.
dei momenti di distribuzione
bernulliana, esperimento di tipo
bernulliano; densità, valore atteso e
varianza della distribuzione binomiale;
legame tra distribuzione binomiale e
distribuzione bernulliana
Funzione massa di probabilità di una
v.c avente distribuzione
ipergeometrica, suo valore atteso e
varianza; legame tra distribuzione
ipergeometrica e binomiale
Funzione massa di probabilità di una
v.c. avente distribuzione di Poisson,
suo valore atteso, varianza e f.g. dei
momenti; esempi di situazioni
modellabili con tale v.c.
Funzione massa di probabilità di una
v.c avente distribuzione geometrica,
suo valore atteso, varianza e f.g. dei
momenti; Il teorema 3.10 descrive la
proprietà di “assenza di memoria” di
tale v.c.
Si dà cenno della procedura di
“troncamento”. Il paragrafo la applica
alla distribuzione di Poisson. Noi in
classe la abbiamo vista applicata alla
distribuzione geometrica
PAG.
95
95
96
97
100
102
108
113
115
115
Funzione densità di probabilità di una
v.c. con distribuzione uniforme
nell’intervallo [a,b]
Funzione densità di probabilità di una 117
v.c. con distribuzione normale;
variabile casuale standardizzata;
valore atteso, varianza e f.g. dei
momenti di una v.c. normale; richiamo
3.3.3
Distribuzioni gamma ed esponenziale
3.4.1
Approssimazioni
3.4.2
Relazione tra esponenziale e poissoniana
PAR.
4.2.1
4.2.3
4.4.2
4.4.5
al teorema del limite centrale
Funzione di densità di probabilità di
una v.c. avente distribuzione
esponenziale, suo valore atteso,
varianza e f.g. dei momenti; cosa
modella una distribuzione
esponenziale e suo legame con la
legge di Poisson; il teorema 3.18
dimostra la la proprietà di “assenza di
memoria” per una v.c. avente legge
esponenziale
Approssimazione della binomiale con
la poissoniana
Il paragrafo evidenzia che ogni
successo, preso singolarmente, in uno
schema di poisson, è una v.c. avente
distribuzione esponenziale
CAPITOLO 4: DISTRIBUZIONI CONGIUNTE E CONDIZIONATE,
INDIPENDENZA STOCASTICA E VALORE ATTESO
NOME PARAGRAFO
PAROLE CHIAVE / CONCETTI
Funzione di ripartizione
Funzione di ripartizione congiunta di k
v.c. (noi l’abbiamo vista nel caso k=2)
Funzioni di densità congiunte per v.c. continue
Definizione di v.c. continua kdimensionale e sua funzione di densità
congiunta
Covarianza e coefficiente di correlazione
Definizione di covarianza, cosa misura
la covarianza, quando la covarianza
assumerà valori positivi/negativi,
proprietà della covarianza
Indipendenza e valore atteso
Variabili casuali non correlate; legame
tra indipendenza di v.c. e non
correlazione
121
129
131
PAG.
140
148
164
170
CAPITOLO 5: DISTRIBUZIONI DI FUNZIONI DI VARIABILI CASULALI
PAR.
5.2.2
NOME PARAGRAFO
SOMMA DI VARIABILI CASUALI
PAROLE CHIAVE / CONCETTI
Valore atteso di una somma, varianza
di una somma
PAG.
187
CAPITOLO 6: CAPIONAMENTO E DISTRIBUZIONI CAMPIONARIE
PAR.
6.1
6.2
6.2.1
6.2.2
6.2.4
NOME PARAGRAFO
INTRODUZIONE
CAMPIONAMENTO
Inferenza induttiva
Popolazioni e campioni
Statistiche e momenti campionari
6.3
6.3.1
MEDIA CAMPIONARIA
Media campionaria e varianza
6.3.2
Legge dei grandi numeri
6.3.3
Teorema limite centrale
PAROLE CHIAVE / CONCETTI
Inferenza (induttiva e deduttiva)
Campione casuale
Definizione di Statistica;media
campionaria; varianza campionaria,
suo valore atteso e varianza
Valore atteso e varianza della media
campionaria
Legge debole dei grandi numeri e
dimostrazione della stessa; esempi di
applicazione
Enunciato del teorema del limite
centrale e cenno di dimostrazione
PAG.
227
228
228
230
233
238
238
240
241
CAPITOLO 7: STIMA PUNTUALE DI PARAMETRI
PAR.
7.2
7.3.2
NOME PARAGRAFO
METODI DI RICERCA DEGLI STIMATORI
Errore quadratico medio
7.3.3
Consistenza e ban
PAROLE CHIAVE / CONCETTI
Definizione di stimatore
Errore quadratico medio; stimatore
non distorto
Proprietà di consistenza di uno
stimatore
NOTE:
•
•
Il “teorema del limite centrale” è proposto anche nel paragrafo 5.4.2
“Distribuzione della somma di variabili casuali indipendenti”. Ma, non essendo il
teorema stato affrontato a lezione in tal contesto, il paragrafo non è stato inserito
nel programma.
E’ stato ampiamente trattato a lezione lo schema di “estrazioni con contagio” o
schema di Polya, che non trova trattazione nel testo.
PAG.
280
299
301
Il programma è stato redatto da Daniele Cancelliere, Margherita D’Ovidio, Francesco Russo.
