PROGRAMMA DI C
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PROGRAMMA DEFINITIVO C.P.S.M. Compilato da Daniele Cancelliere, Margherita D'Ovidio, Francesco Russo [email protected] Docente: Diego De Falco Corso di Laurea in Informatica – anno 2003/2004 – primo semestre Testo di riferimento: “Introduzione alla statistica” – Mood, Graybill, Boes CAPITOLO 1: PROBABILITA’ PAR. 1.1 NOME PARAGRAFO INTRODUZIONE 1.2 CONCETTO DI PROBABILITA’ 1.2.2 1.2.3 1.3 1.3.1 Probabilià classica Probabilità frequentista DEFINIZIONE ASSIOMATICA DI PROBABILITA’ Modelli di probabilità 1.3.2 Una parentesi: la teoria degli insiemi 1.3.3 Definizioni di spazio campionario e di evento 1.3.4 Definizione di probabilità 1.3.5 Spazi campionari finiti 1.3.6 Probabilità condizionata e indipendenza PAROLE CHIAVE / CONCETTI Probabilità classica, probabilità a priori Punto campionario, spazio campionario Punto campionario, spazio campionario Punto o elemento, sottoinsieme, insiemi uguali, insieme vuoto, insieme complementare, unione, intersezione, insieme differenza; leggi commutative, associative, distributive, leggi di De Morgan; unione e intersezione di insiemi Spazio campionario, evento, spazio degli eventi; evento elementare, certo ed impossibile; assiomi spazio di probabilità Definizione di funzione, funzione caratteristica (funzione indicatrice del successo), funzione di probabilità con rispettivi assiomi; teorema “del piastrellista” : P[A ∪ B]= P[A] + P[B]- P[A ∩B]; spazio di probabilità Funzione di probabilità uniforme, campione, estrazioni con e senza reimmissione; formula binomiale e formula ipergeometrica, numero di sottoinsiemi di un insieme di ampiezza M Definizione di probabilità condizionata, assiomi, teorema delle PAG. 15 16 16 19 21 21 22 27 31 37 44 probabilità totali, formula di Bayes; eventi indipendenti CAPITOLO 2: VARIABILI CASUALI, FUNZIONI DI RIPARTIZIONE E VALORE ATTESO PAR. 2.1 2.2 NOME PARAGRAFO 2.2.1 2.2.2. INTRODUZIONE VARIABILI CASUALI E FUNZIONE DI RIPARTIZIONE Introduzione Definizioni 2.3 2.3.1 FUNZIONI DI DENSITA’ Variabili casuali discrete 2.3.2 Variabili casuali continue 2.4 2.4.1 VALORI ATTESI E MOMENTI Media 2.4.2 Varianza 2.4.3 Valore atteso di una funzione di una variabile casuale 2.4.4 Disuguaglianza di Tchebycheff 2.4.5 Disuguaglianza di Jensen 2.4.6 Momenti e funzione generatrice dei momenti PAROLE CHIAVE / CONCETTI PAG. 65 64 Variabile casuale, funzione di ripartizione (o cumulativa delle frequenze), proprietà della funzione di ripartizione Variabile casuale discreta, funzione di densità discreta di una v.c. discreta, punti di massa; Definizione di variabile casuale continua, funzione di densità di probabilità di una v.c. continua; legame tra funzione di densità e funzione di ripartizione di una v.c. continua Media (valore atteso) di v.c. discreta e continua, centro di gravità Varianza di v.c. discreta e continua, misura di dispersione, deviazione standard Valore atteso nel discreto e nel continuo, proprietà del valore atteso, varianza Disuguaglianza di Tchebyceff e corollario. Il teorema 2.5 è noto come disuguaglianza di Markov. Definizione di funzione convessa e disuguaglianza di Jensen (accennata ad esercitazione) Definizione di momento; funzione generatrice dei momenti per il calcolo del valore atteso e della varianza di una v.c. (nel discreto e nel continuo); il teorema 2.7 ci dice ce conoscendo la f.g. dei momenti è possibile risalire alla distribuzione della v.c; definizione di quantile, mediana, moda 64 64 68 68 71 75 75 77 79 81 82 83 CAPITOLO 3: PARTICOLARI FAMIGLIE PARAMETRICHE DI DISTRIBUZIONI UNIDIMENSIONALI PAR. 3.1 3.2 3.2.1 3.2.2 NOME PARAGRAFO INTRODUZIONE DISTRIBUZIONI DISCRETE Distribuzione uniforme discreta Distribuzione di Bernulli e distribuzione binomiale 3.2.3 Distribuzione ipergeometrica 3.2.4 Distribuzione di Poisson 3.2.5 Distribuzione geometrica e binomiale negativa 3.2.6 Altre distribuzioni discrete 3.3 3.3.1 DISTRIBUZIONI CONTINUE Distribuzione uniforme o rettangolare 3.3.2 Distribuzione normale PAROLE CHIAVE / CONCETTI Famiglie parametriche Densità uniforme discreta Densità, valore atteso, varianza e f.g. dei momenti di distribuzione bernulliana, esperimento di tipo bernulliano; densità, valore atteso e varianza della distribuzione binomiale; legame tra distribuzione binomiale e distribuzione bernulliana Funzione massa di probabilità di una v.c avente distribuzione ipergeometrica, suo valore atteso e varianza; legame tra distribuzione ipergeometrica e binomiale Funzione massa di probabilità di una v.c. avente distribuzione di Poisson, suo valore atteso, varianza e f.g. dei momenti; esempi di situazioni modellabili con tale v.c. Funzione massa di probabilità di una v.c avente distribuzione geometrica, suo valore atteso, varianza e f.g. dei momenti; Il teorema 3.10 descrive la proprietà di “assenza di memoria” di tale v.c. Si dà cenno della procedura di “troncamento”. Il paragrafo la applica alla distribuzione di Poisson. Noi in classe la abbiamo vista applicata alla distribuzione geometrica PAG. 95 95 96 97 100 102 108 113 115 115 Funzione densità di probabilità di una v.c. con distribuzione uniforme nell’intervallo [a,b] Funzione densità di probabilità di una 117 v.c. con distribuzione normale; variabile casuale standardizzata; valore atteso, varianza e f.g. dei momenti di una v.c. normale; richiamo 3.3.3 Distribuzioni gamma ed esponenziale 3.4.1 Approssimazioni 3.4.2 Relazione tra esponenziale e poissoniana PAR. 4.2.1 4.2.3 4.4.2 4.4.5 al teorema del limite centrale Funzione di densità di probabilità di una v.c. avente distribuzione esponenziale, suo valore atteso, varianza e f.g. dei momenti; cosa modella una distribuzione esponenziale e suo legame con la legge di Poisson; il teorema 3.18 dimostra la la proprietà di “assenza di memoria” per una v.c. avente legge esponenziale Approssimazione della binomiale con la poissoniana Il paragrafo evidenzia che ogni successo, preso singolarmente, in uno schema di poisson, è una v.c. avente distribuzione esponenziale CAPITOLO 4: DISTRIBUZIONI CONGIUNTE E CONDIZIONATE, INDIPENDENZA STOCASTICA E VALORE ATTESO NOME PARAGRAFO PAROLE CHIAVE / CONCETTI Funzione di ripartizione Funzione di ripartizione congiunta di k v.c. (noi l’abbiamo vista nel caso k=2) Funzioni di densità congiunte per v.c. continue Definizione di v.c. continua kdimensionale e sua funzione di densità congiunta Covarianza e coefficiente di correlazione Definizione di covarianza, cosa misura la covarianza, quando la covarianza assumerà valori positivi/negativi, proprietà della covarianza Indipendenza e valore atteso Variabili casuali non correlate; legame tra indipendenza di v.c. e non correlazione 121 129 131 PAG. 140 148 164 170 CAPITOLO 5: DISTRIBUZIONI DI FUNZIONI DI VARIABILI CASULALI PAR. 5.2.2 NOME PARAGRAFO SOMMA DI VARIABILI CASUALI PAROLE CHIAVE / CONCETTI Valore atteso di una somma, varianza di una somma PAG. 187 CAPITOLO 6: CAPIONAMENTO E DISTRIBUZIONI CAMPIONARIE PAR. 6.1 6.2 6.2.1 6.2.2 6.2.4 NOME PARAGRAFO INTRODUZIONE CAMPIONAMENTO Inferenza induttiva Popolazioni e campioni Statistiche e momenti campionari 6.3 6.3.1 MEDIA CAMPIONARIA Media campionaria e varianza 6.3.2 Legge dei grandi numeri 6.3.3 Teorema limite centrale PAROLE CHIAVE / CONCETTI Inferenza (induttiva e deduttiva) Campione casuale Definizione di Statistica;media campionaria; varianza campionaria, suo valore atteso e varianza Valore atteso e varianza della media campionaria Legge debole dei grandi numeri e dimostrazione della stessa; esempi di applicazione Enunciato del teorema del limite centrale e cenno di dimostrazione PAG. 227 228 228 230 233 238 238 240 241 CAPITOLO 7: STIMA PUNTUALE DI PARAMETRI PAR. 7.2 7.3.2 NOME PARAGRAFO METODI DI RICERCA DEGLI STIMATORI Errore quadratico medio 7.3.3 Consistenza e ban PAROLE CHIAVE / CONCETTI Definizione di stimatore Errore quadratico medio; stimatore non distorto Proprietà di consistenza di uno stimatore NOTE: • • Il “teorema del limite centrale” è proposto anche nel paragrafo 5.4.2 “Distribuzione della somma di variabili casuali indipendenti”. Ma, non essendo il teorema stato affrontato a lezione in tal contesto, il paragrafo non è stato inserito nel programma. E’ stato ampiamente trattato a lezione lo schema di “estrazioni con contagio” o schema di Polya, che non trova trattazione nel testo. PAG. 280 299 301 Il programma è stato redatto da Daniele Cancelliere, Margherita D’Ovidio, Francesco Russo.
