COMPITO DI ANALISI STOCASTICA – 20 Luglio 2010 1. Si lancino contemporaneamente due dadi equilibrati e sia X 1 la variabile casuale che denota il risultato del primo lancio e X 2 la variabile casuale che denota il risultato del secondo lancio. a) Determinare la funzione di probabilità di X 1 . b) Determinare la funzione di probabilità di Y = min( X 1 , X 2 ) . c) Calcolare valore atteso e varianza di Y . 2. Sia ( X ,Y ) una variabile casuale doppia con funzione di densità congiunta ⎧2( x + y ) 0 < x < y < 1 f ( x, y ) = ⎨ altrove ⎩ 0 a) Rappresentare graficamente il supporto di ( X ,Y ) . b) Determinare le funzioni di densità marginale di X e Y. c) Determinare P(Y < 1 / 2) . 3. Data la variabile casuale X con funzione di densità ⎧1 / 2 0 < x < 2 f ( x) = ⎨ altrove ⎩ 0 a) Determinare la funzione di ripartizione di X e rappresentarla graficamente. b) Determinare la funzione di ripartizione e la funzione di densità di Y = X 2 . 4. Dato il processo stocastico a media mobile di ordine 1 1 X t = U t −1 + U t 4 t = 1,2,K dove U t sono variabili casuali normali, indipendenti e identicamente distribuite con valore atteso 0 e varianza 12. a) Determinare la funzione media, la funzione varianza e la funzione di autocovarianza del processo. b) Dire se il processo è stazionario in senso debole (motivando la risposta). c) Determinare la distribuzione di probabilità del vettore ( X 1 , X 2 , X 3 ) . 5. Si consideri la successione di variabili casuali {X n } tale che Xn = Y + 4n 2 n2 + 1 n = 1,2,K dove Y è una variabile casuale con valore atteso 0 e varianza 1. a) Studiare la convergenza in probabilità e in distribuzione della successione. 6. Data la variabile casuale X con funzione di densità ⎧1 f ( x) = ⎨ ⎩0 0 < x <1 altrove a) Determinare la funzione caratteristica di X . b) Determinare la funzione caratteristica di Z = X + Y , sapendo che Y = 1 + 2 X .