Calcolo delle probabilità e ragionamento bayesiano

Calcolo delle probabilità e
ragionamento bayesiano
Unit 5 – Corso di Logica e Teoria
dell’Argomentazione
Sommario
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Nozioni probabilistiche
Probabilità condizionata
Ragionamento bayesiano
Applicazioni a giochi e giochi equi
Nozione di probabilità
•  Dato un insieme di eventi, di cui un evento
A fa parte, con p(A) indichiamo la
probabilità che A accada (o che
l’asserzione A sia vera)
Interpretazioni per p
•  p(A) può essere interpretata in modo
–  Soggettivo, se p(A) misura il grado di credenza
di un agente razionale sul fatto che A accada
–  Logico, quando p(A) misura a priori il contenuto
informativo in modo inversamente
proporzionale (A debole ha probabilità alta)
–  Frequentista, se p(A) misura la frequenza con
cui A accade in relazione ad una certa classe
–  Classico, se p(A) misura a priori, ma solo in
contesti finiti equiprobabili, l’incidenza dei casi
favorevoli rispetto
a quelli possibili
Esempi – probabilità classica
•  Estrazione di una carta da un mazzo francese
(52 carte: ♠♥♦♣ semi; 1,2,…,10,J,Q,K per ogni seme)
–  E2=“esce un due”, EC=“esce un cuori”,
E2C=“esce il due di cuori”, ecc.
–  p(E2C)=
1/52=0.019
51/52=.981
–  p(~E2C)=
–  p(EA)=
4/52=.076
2/52=.038
–  p(EACvEAQ)=
13/52=.25
–  p(EC)=
Esempi - probabilità
•  Estrazione di una carta da un mazzo francese
(52 carte: ♠♥♦♣ semi; 1,2,…,10,J,Q,K per ogni seme)
–  p(E6)=
4/52=.076
–  p(E6vEK)=
8/52=.152
–  p(~E6vEK)=
48/52=.924
–  p(EACvE3QvE9F)= 3/52=.057
–  p((EAvE3)&EC)= 2/52=.038
–  p(EAC&EAQ)=
0/52=0
–  p(ECvEQvEFvEP)= 52/52=1
Esempi – altre interpretazioni
•  Sondaggio su una popolazione di 1000
studenti
•  Assegnazione delle quote delle scommesse
sportive
•  Quanto è probabile che io passi l’esame di
Logica?
•  Lancio un dado 50 volte, e 5 volte è uscito l’1.
Quanto è probabile l’uscita dell’1?
Calcolo delle probabilità
•  È un sistema teorico che consiste di tre
assiomi e delle loro conseguenze deduttive
•  Assiomi:
–  p(A)≥0
–  se A è un evento certo (ovvero una tautologia),
allora p(A)=1
–  se A e B sono mutuamente esclusivi (ovvero il
presentarsi dell’uno esclude il presentarsi
dell’altro), allora p(AvB)=p(A)+p(B)
Prime conseguenze
•  Se A è contraddittoria, p(A)=0
–  p(EAC&~EAC)=0
•  Per qualunque A, 0≤p(A)≤1
•  p(A)=1-p(~A)
–  p(E5F)=1-p(~E5F)=1-51/52=1/52
•  Se A e B sono verofunzionalmente
equivalenti, p(A)=p(B)
–  da cui possono derivarsi molte conseguenze,
ad es. p(A→B)=1-p(A&~B)
•  Dimostrazione: A→B equivalente a ~(A&~B), perciò
p(A→B)=p(~(A&~B))=1-p(A&~B)
Prime conseguenze teoriche
•  Per qualunque A e B
p(AvB)=p(A)+p(B)-p(A&B)
–  p(E5)=4/52, p(EC)=13/52, p(E5&EC)=1/52
p(E5vEC)=4/52+13/52-1/52=16/52
A
•  p(A&B)≤p(A), p(A&B)≤p(B)
B
Altre conseguenze
•  Se p(A)=p(B)=0 allora p(AvB)=0
•  Se p(A)=1 allora p(A&B)=p(B)
•  Se A è conseguenza logica di B
(cioè se p(B→A)=1)
allora p(A&B)=p(B)
–  Essendo E5C⊢E5 (ovvero ⊢ E5C→E5 )
p(E5&E5C)=p(E5C)=1/52
Probabilità condizionale
•  Con probabilità condizionale di A dato
B si intende la probabilità dell’asserzione A
data la verità dell’asserzione B, e si indica
con p(A|B)
•  È anche (banalmente) il rapporto tra casi
favorevoli per A&B e casi favorevoli per B
Esempi – prob. condizionali
•  Estrazione di una carta da un mazzo francese
(52 carte: ♠♥♦♣ semi; 1,2,…,10,J,Q,K per ogni seme)
–  E2=“esce un due”, EC=“esce un cuori”,
E2C=“esce il due di cuori”, ecc.
–  p(E2C|E2)=
1/4=.25
1/13=.076
–  p(E7C|EC)=
–  p(EAQ|~E2C)= 1/51=.001
0/13=0
–  p(E7C|EQ)=
1/1=1
–  p(EA|EAC)=
–  p(EACvE2C|(ECvEF)&E<6)= 2/10=.2
Conseguenze
•  p(A|A)=1
–  p(E5F|E5F)=1
•  p(~A|A)=0
–  p(~E4F|E4F)=0
•  Se B è certa (tautologica), p(A|B)=p(A)
•  Se A e B sono verofunzionalmente
equivalenti, allora
p(A|C)=p(B|C) e p(C|A)=p(C|B)
Conseguenze
•  p(A&B)=p(A|B)p(B)
–  Essendo EF&E5=E5F si ha p(EF&E5)=1/52
con questa relazione invece
p(EF&E5)=p(EF|E5)p(E5)=(1/4)(4/52)=1/52
•  p(A1&A2&B)=p(A1&A2|B)p(B)
Altre conseguenze
•  Se A e B sono indipendenti, allora
p(A&B)=p(A)p(B)
–  In quanto p(A|B)=p(A)
•  p(~A|B)=1-p(A|B)
–  p(~E7|EQ) =1-p(E7|EQ)=1-1/13=12/13
•  p(AvB|C)=p(A|C)+p(B|C)-p(A&B|C)
–  p(E6vE7|EQ)=p(E6|EQ)+p(E7|EQ)-p(E6&E7|EQ)=
=1/13+1/13-0/13=2/13
•  E molte altre ancora…
Teorema di Bayes
•  Permette di calcolare una probabilità
condizionale a partire dalla conversa
•  Se A1,A2,… An sono mutualmente esclusive
Esempio 1
“In Italia il 50% delle auto è una Fiat, ed il 25%
delle Fiat è di colore bianco. In generale, il 20%
delle auto è di colore bianco. Io stesso ho
un’auto bianca.”
“Be’, allora anche tu hai una Fiat”
• L’argomento è forte?
• A=“è una Fiat”, B=“è di colore bianco”
Perché?
•  il 50% delle auto è una Fiat,
il 20% delle auto è di colore bianco,
ed il 25% delle Fiat è di colore bianco.
•  Supponiamo che le auto siano
complessivamente 200, allora:
–  Le Fiat sono il 50%, ovvero 100
–  Le Fiat bianche sono il 25% di 100, cioè 25
–  Le auto bianche sono il 20% di 200, cioè 40
–  Dunque, data un’auto bianca (in totale sono
40), la probabilità che sia una Fiat è data da
25/40=0.625
Esempio 2
“Abbiamo una lampadina difettosa. Le lampadine
sono prodotte da tre macchine A, B e C, che
producono il 25%, il 35%, ed il 40% delle lampadine
totali. Le lampadine difettose prodotte sono, in
percentuale: il 5% per A, il 15% per B, il 12% per C.
Quale macchina l’ha prodotta?”
“Be’, penso sia stata prodotta da A.”
• Com’è l’argomento?
• A=“prodotta da A”, B=“prodotta da B”,
C=“prodotta da C”, D=“difettosa”
–  Noi dobbiamo calcolare p(A|D)
–  p(A)=.25; p(B)=.35; p(C)=.4
–  p(D|A)=.05; p(D|B)=.15; p(D|C)=.12
Esempio 2 (cont.) - calcolo
p(A)=.25; p(B)=.35; p(C)=.4
p(D|A)=.05; p(D|B)=.15; p(D|C)=.12
p(A)p(D | A)
p(A | D) =
=
p(A)p(D | A) + p(B)p(D | B) + p(C)p(D | C)
.25⋅.05
=
= .11
.25⋅.05 +.35⋅.15 +.4 ⋅.12
•  Dunque abbiamo l’11% che sia sta prodotta da A:
l’argomento è debole.
•  Ugualmente possiamo calcolare p(B|D)=...=.46
e p(C|D)=...=.42
Esempio 3
Il medico al paziente: “Vediamo… sospettavo che lei
avesse contratto questa malattia e le avevo chiesto
di effettuare il test diagnostico. Si tratta di una
malattia che colpisce l’1% della popolazione. Questo
test dà risultato positivo nel 90% dei malati e nel
5% dei non malati. A lei ha dato esito positivo.
Dunque i miei sospetti erano fondati: lei ha
contratto questa malattia.”
• Com’è l’argomento?
Esempio 3 (cont.) - calcolo
Siano M=”malato”,
P=“positivo al test”
Voglio conoscere p(M|P)
Dunque l’argomento è debole, perché la probabilità
di aver contratto la malattia è solo del 15.38%
Esempio 3 (cont.) - perché?
Supponiamo la popolazione sia composta da 100000
individui.
Malati: 1000
Malati positivi al test: 900
Non Malati: 99000
Non Malati positivi al test: 4950
Quanti sono i malati positivi rispetto a tutti i positivi?
900/(900+4950)=15.4%
Esempio 3 (cont.) - conclusioni
Valutiamo invece l’argomento:
“[…] Il test diagnostico ha dato esito negativo:
dunque non ha contratto la malattia”
•  Dobbiamo calcolare p(~M|~P)
L’argomento è forte! (dunque, occorre fare
attenzione a cosa si sa e cosa si conclude!)