Programma di Analisi Matematica I
previsto per l’A.A. 2013/14
Corso di Laurea in Ingegneria Civile
1. I numeri reali. Presentazione in forma descrittiva ed in forma
assiomatica. Insiemi limitati e illimitati, maggiorante e minorante, massimo
e minimo, esistenza di estremo superiore ed inferiore. Cenni di topologia
della retta reale: il concetto di intorno, di punto di accumulazione, isolato,
interno e di frontiera. Insiemi finiti, numerabili e non numerabili.
2. Principio di induzione, calcolo combinatorio. Il principio di
induzione, esempi - cenni di calcolo combinatorio: disposizioni semplici, permutazioni, combinazioni semplici - il triangolo di Tartaglia ed il binomio di
Newton.
3. I numeri complessi. Presentazione dei numeri complessi in forma
cartesiana, e delle relative operazioni algebriche - coniugato e reciproco di
un numero complesso - rappresentazione in forma polare: prodotto, potenze
e radice ennesima in forma polare, formula di De Moivre - risoluzione di
equazioni in campo complesso - il teorema fondamentale dell’algebra e sue
conseguenze in campo reale.
4. Funzioni reali di variabile reale. Richiami sulle nozioni di base:
iniettività, suriettività, biunivocità, monotonia, limitatezza, estremi relativi
ed assoluti - il concetto di limite per una funzione, dapprima nel caso di valori
finiti, poi nel caso di valori estesi - limiti destro e sinistro - asintoti verticali
ed orizzontali - unicità del limite, teorema della limitatezza locale, comportamento del limite rispetto alle operazioni elementari, teoremi di confronto,
limite di una funzione composta, alcuni limiti notevoli del tipo 0/0, calcolo
dei limiti nelle varie forme indeterminate - confronto tra infiniti - l’andamento
esponenziale e logaritmico - forme indeterminate dell’esponenziale - il limite
di Nepero.
5. Successioni numeriche. Limitatezza, monotonia, successioni convergenti e divergenti, il concetto di valore limite, successioni indeterminate limite di una successione monotona - confronto asintotico tra alcune successioni notevoli - caratterizzazione sequenziale del limite di una funzione.
6. Serie numeriche. Serie convergenti, divergenti, indeterminate - la
serie geometrica - carattere delle serie a termini positivi - la serie armonica
classica - la condizione necessaria di convergenza - la serie armonica generalizzata - criterio del confronto: diretto ed in forma asintotica - criterio della
radice e del rapporto - criterio di Leibniz - convergenza assoluta, e sue relazioni con la convergenza semplice - proprietà commutativa ed associativa
delle serie - un esempio di serie telescopica - cenni sull’espansione decimale
di un numero reale, e sulle serie in campo complesso.
7. Continuità. Definizione, proprietà delle funzioni continue: i teoremi
di Weierstrass, degli zeri, dei valori intermedi - classificazione delle discontinuità - continuità di una funzione monotona - conservazione della continuità
tramite le operazioni elementari e la composizione - continuità delle funzioni
fondamentali.
8. Calcolo differenziale. Definizione di derivata e suo significato geometrico, retta tangente al grafico di una funzione, relazione tra continuità e
derivabilità, la funzione derivata - derivate delle funzioni fondamentali, regole di derivazione: derivata di una somma, di un prodotto, della funzione
reciproca, composta, inversa - punti di estremo relativo ed assoluto, i teoremi di Fermat, di Rolle e di Lagrange - relazione tra monotonia e segno
della derivata prima - funzioni concave e convesse - relazione tra convessità
e monotonia della derivata prima - derivata seconda, punti di flesso, derivate
successive - studio dell’andamento grafico di una funzione - asintoti obliqui.
9. Calcolo integrale. Definizione di integrale secondo Riemann di una
funzione limitata su un intervallo limitato e suo significato geometrico - proprietà dell’integrale, criteri di integrabilità, teorema della media, la funzione
integrale, sue proprietà di continuità e derivabilità, il concetto di primitiva,
il teorema fondamentale del calcolo integrale - l’integrale indefinito - metodi
di calcolo per gli integrali definiti ed indefiniti: integrazione per sostituzione
e per parti, integrazione delle funzioni razionali - applicazione dell’integrale
definito al calcolo di aree - il teorema di Heine-Cantor, integrabilità delle
funzioni continue - integrale generalizzato di una funzione limitata su una
semiretta: condizione necessaria di convergenza, criterio del confronto (anche
in forma asintotica) - integrali generalizzati di funzioni illimitate su intervalli
limitati, e relativi criteri di confronto - test integrale per le serie numeriche,
e sua applicazione allo studio della serie armonica generalizzata.
10. Formule e serie di Taylor. Teorema di Cauchy, regola di de
L’Hôpital - confronto tra infinitesimi, ordine di un infinitesimo e sua valutazione tramite le derivate successive - formula di Taylor del I ordine: differenziabilità - formula di Taylor di ordine n col resto in forma infinitesimale
- polinomi di McLaurin delle funzioni fondamentali - determinazione della
parte principale di un infinitesimo, sua applicazione nel calcolo dei limiti
- classificazione dei punti critici di una funzione tramite le derivate successive - formula di Taylor col resto in forma integrale - serie di Taylor l’equilimitatezza delle derivate come criterio per la sviluppabilità - serie di
McLaurin delle funzioni fondamentali - l’esponenziale complesso, e relativa
formula.
Testi di riferimento
P. Marcellini, C. Sbordone,
Elementi di Analisi uno, Ed. Liguori.
M. Bramanti, C. D. Pagani, S. Salsa,
Matematica (Calcolo infinitesimale e Algebra lineare), Ed. Zanichelli.
Testi di esercizi
S. Salsa, A. Squellati,
Esercizi di Matematica (Calcolo infinitesimale e Algebra lineare),
Vol. 1, Ed. Zanichelli.
