(2011-2012 MATEMATICA - 15 Calcolo Integrale Indefinito

Integrale Indefinito e l’Antiderivata 1
Il processo inverso della derivazione si chiama integrazione.
Nota la variazione istantanea di una grandezza (p.es. la velocità) è necessario
sapere come si comporta tale grandezza istante per istante (p.es. la posizione) .
Nota allora una funzione f(x) il problema consiste nel trovare un’altra funzione F(x)
tale che F’(x)=f(x)
Ad es. se f(x)=x^2, potrebbe essere F(x)=(x^3)/3
Def.
Data la funzione f , si chiama anti-derivata o primitiva di f in un intervallo I una
funzione F tale che per ogni x di I vale: F’(x)=f(x)
Nota 1.
Una funzione primitiva deve essere una funzione derivabile sull’intervallo I.
Nota 2.
Si mostrerà in seguito che una funzione f continua in un intervallo [a;b] ammette
sempre una primitiva (magari non esprimibile elementarmente).
Nota 3.
Una conseguenza dei corollari del teorema di Lagrange afferma che la funzione
primitiva di una data funzione f non è unica. Le primitive sono infatti infinite e
differiscono una dall’altra per una costante addivita. (Cfr. il secondo corollario 1al
teorema di Lagrange).
Integrale Indefinito e l’Antiderivata 2
Es.
Sia f(x)=x^2. Allora:
x3
F1 ( x) = + 1
3
x3
F ( x) =
3
x3
F2 ( x) = + 2
3
È una primitiva. Ma lo sono anche:
x3
x3
F3 ( x) = + 3 Fk ( x) = + k
3
3
In quanto:
F ' ( x) = F '1 ( x) = F '2 ( x) = F '3 ( x) = F 'k ( x) = f ( x) = x 2
Def.
Si chiama integrale indefinito della funzione f l’insieme delle primitive in un
intervallo I.
Notare:
• Simbolo di integrale
f ( x)dx
Si indica con:
•Funzione integranda
f
oppure
•Variabile di integrazione
•Differenziale della variabile di integrazione
∫
∫
Ed è costituito da tutte le funzione della forma F(x)+c con c=costante ed F primitiva di f
Nota
Vale per definizione:
∫ f '( x)dx = f ( x) + c
Nota
Variabile di integrazione muta:
∫ f ( x)dx = ∫ f (t )dt = ∫ f ( y)dy
2
Integrale Indefinito e l’Antiderivata 3
Nota.
Mentre nell’operazione di derivazione di associa ad una funzione un’altra
funzione (la sua derivata), nell’integrale indefinito si associa ad una
funzione una classe (insieme) di funzioni.
Il calcolo integrale risulta “più difficile” rispetto al calcolo delle derivate…
Nota: Esistenza dell’integrale indefinito.
Per alcune funzioni (anche abbastanza “semplici”) non esiste la forma analitica
“semplice” per l’integrale indefinito: ad es.:
x
− x2
e
1
ln( x)
e
x
Inoltre, non tutte le funzioni ammettono una primitiva su un determinato intervallo I
(una condizione sufficiente è che siano continue). Una funzione primitiva deve essere
una funzione derivabile e quindi deve possedere alcune proprietà di regolarità. Allo
scopo vale il seguente teorema:
3
Integrale Indefinito e l’Antiderivata 4
Teorema.
Sia f derivabile in un intervallo I, allora f’ può avere discontinuità solo di II° specie:
Nota.
Non ogni funzione definita in un intervallo é una funzione derivata.
Ad esempio funzioni con discontinuità eliminabili o di I° specie in determinato
intervallo, non sono derivate di nessuna funzione.
As es.
I = [−1,1]
1
f ( x) = 
− 1
per 0 < x ≤ 1
per - 1 ≤ x ≤ 0
Nota.
Alla funzione f(x)=|x| non si può applicare il teorema precedente relativamente
all’intervallo I=[-1,1] in quanto la funzione non è derivabile in x=0 e quindi non lo è in
tutto l’intervallo I.
4
La Tabella delle antianti-derivate immediate 1
a +1
x
a
x
∫ dx = a + 1 + c a ≠ -1
1
∫ xdx = ln x + c
x
x
e
dx
=
e
+c
∫
x
a
x
a
∫ dx = ln(a) + c
∫ sen( x)dx = − cos( x) + c
∫ cos( x)dx = sen( x) + c
1
2
dx
=
(
1
+
tan
( x))dx = tan( x) + c
∫ cos2 ( x) ∫
1
∫ 1 + x 2 dx = arctan(x) + c
∫
∫ Sh( x)dx = Ch( x) + c
∫ Ch( x)dx = Sh( x) + c
1
1− x
2
dx = arcsen( x) + c
5
La Tabella delle antianti-derivate immediate 2
∫ Sh( x)dx = Ch( x) + c
∫
∫
∫
1
1+ x
2
1
x −1
2
1
1− x
2
∫ Ch( x)dx = Sh( x) + c
(
)
(
)
dx = SettSh( x) + c = ln x + 1 + x 2 + c
dx = SettCh( x) + c = ln x + x 2 − 1 + c
dx = arcsen( x) + c
6
Proprietà Integrale Indefinito
Dalle proprietà della derivata discende:
∫ ( f ( x) + g ( x))dx = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx
p. di addivitità (*)
∫ k ⋅ f ( x)dx = k ⋅ ∫ f ( x)dx
Es. Integrazione polinomi
∫ (− 2 x
p. di omogeneità (**)
4
)
2
1
+ 3x 2 − x + 3 dx = − x 5 + x 3 − x 2 + 3x + c
5
2
1 3
2 3
3

 − 2 x 4 + 3x 2 − x + 3 
2
−
x
+
−
+
dx
=
2
3
−
x
+
3
x
−
ln
|
x
|
−
+c


dx = ∫
2
2
∫ 
x x 
3
x

x

(*) H = ∫ ( f + g ) ⇒ H ' = f + g
F = ∫ ( f ) ⇒ F'= f
⇒ H ' = f + g = F '+G ' = ( F + G )' ⇒ H = F + G + (c)
(**)H = ∫ (kf ) ⇒ H ' = kf
F = ∫ ( f ) ⇒ F'= f
H ' = kF ' = (kF )' ⇒ H = kF + (c)
G = ∫ ( g ) ⇒ G' = g
7
Antiderivate quasi immediate 1
Consideriamo:
∫
f ' ( x)
dx = ln f ( x) + c
f ( x)
 2x +1 
2
2
ln
x
+
x
+
1
+
c
=
ln(
x
+ x + 1) + c
dx
=


∫  x2 + x +1
 1 
∫  x ln( x) dx = ln ln( x) + c
 (1 + e x ) 
x
ln
x
+
e
+c


dx
=
∫  ( x + e x ) 
1  2x 
1
 x 
2
dx
=
dx
=
ln
x
−1 + c




∫  x2 −1  2 ∫  x2 −1  2
∫ tan( x)dx = ∫
sin( x)
− sin( x)
dx = − ∫
dx = − ln cos( x) + c
cos( x)
cos( x)
8
Antiderivate quasi immediate 2
Consideriamo:
k +1
[
f ( x)]
+c
∫ [ f ( x)] f ' ( x)dx =
k
con k ≠ -1
k +1
sin 2 ( x)
∫ sin( x) cos( x)dx = 2 + c
cos 2 ( x)
∫ sin( x) cos( x)dx = −∫ [− sin( x)]cos( x)dx = − 2 + c
Nota: sin 2 ( x)  cos 2 ( x)  sin 2 ( x) + cos 2 ( x) 1
 =
−  −
= = costante
2
2 
2
2

ln 2 ( x)
ln 3 ( x)
∫ x dx = 3 + c
(
)
6
(
)
6
5
1
1 x2 +1
x2 +1
2
2
x + 1 xdx = ∫ x + 1 2 xdx =
+c =
+c
2
2
6
12
∫(
)
5
(
)
9
Antiderivate quasi immediate 3
[ f ( x)]
f ( x)
e
f
'
(
x
)
dx
=
e
+c
∫
f ( x)
a
[ f ( x)]
a
f ' ( x)dx =
+c
∫
ln(a)
sin( x )
sin( x )
e
cos(
x
)
dx
=
e
+c
∫
∫e
−x2
1 −x2
1 −x2
xdx = − ∫ e (−2) xdx = − e + c
2
2
−x
2
−x
−x
dx
=
−
2
2
∫
∫ (−1)dx = − ln(2) + c
10
Antiderivate quasi immediate 4
∫ sen[ f ( x)]f ' ( x)dx = − cos( f ( x)) + c
∫ cos[ f ( x)]f ' ( x)dx = sen( f ( x)) + c
1
∫ cos2 ( f ( x)) f ' ( x)dx = tan( f ( x)) + c
3
1
−
cos(
x
)
3
2
3
2
∫ sen( x ) x dx = 3 ∫ sen( x )3x dx = 3 + c
∫
1
1
dx = 2 ∫
dx = 2 tan( x ) + c
2
2
x cos ( x )
2 x cos ( x )
11
Antiderivate quasi immediate 5
∫
1
1 − f ( x)
2
f ' ( x)dx = arcsen( f ( x)) + c
1
∫ 1 + f 2 ( x) f ' ( x)dx = arctan( f ( x)) + c
∫
1
1
1
1
xdx = ∫
2 xdx = arcsen( x 2 ) + c
2 1− x4
2
1− x4
1
1
1
1
 x
∫ 9 + x 2 dx = 3∫   x  2  3dx = 3 arctan 3  + c
91 +   
  3  
12
Riassunto: cambiamento di variabili
Quanto sinora fatto può essere così riassunto:
NOTO : ∫ g ( x)dx = G ( x) + c
Possiamo calcolare:
∫ g ( f ( x)) ⋅ f ' ( x)dx = G( f ( x)) + c
Poiché:
D[G ( f ( x))] = G ' ( f ( x)) ⋅ f ' ( x) = g ( f ( x)) ⋅ f ' ( x)
Possiamo anche usare un cambiamento di variabili nell’integrale indefinito:
 y = f ( x)
⇒ ∫ g ( f ( x)) ⋅ f ' ( x)dx = ∫ g ( y )dy = G ( y ) y = f ( x ) +c

dy = f ' ( x)dx
= G( f ( x)) + c
13
Integrazione Funzioni Razionali
Consideriamo ora integrali del tipo:
N ( x)
∫ D( x) dx
Con N(x) e D(x) polinomi nella variabile x.
Se n è il grado di N(x) e d il grado di D(x) e n≥d, l’algoritmo di divisione dei
polinomi permette di scrivere attraverso il quoziente Q(x) ed il resto R(x)
della divisione come segue:
N ( x)
R( x)
= Q( x) +
D( x)
D( x)
Allora Q(x) ha grado q=n-d ed il resto R(x) ha grado r<d. In tutta
generalità supporremo che n<d, potendoci ridurre a questo caso.
Ci occuperemo in particolare dei casi n≤1 e d ≤2 (sempre con n<d) per
semplicità.
14
Integrazione Funzioni Razionali :
denominatore di primo grado
Consideriamo integrali del tipo:
k
∫ ax + b dx
k
k
b
1
k
1
∫ ax + b dx = k ∫  b  dx = a ∫  b dx = a ln x + a + c
a x + 
x+ 
a
a


k
= ln ax + b + c
a
Es.
2
2
1
2
1
∫ 5x − 1 dx = 5 ∫ 1 dx = 5 ln x − 5 + c
x−
5
15
Integrazione Funzioni Razionali ∆>0
(1)
Consideriamo ora integrali del tipo:
mx + q
2
dx
con
∆
=
b
− 4ac > 0
∫ ax 2 + bx + c
( Il procedimento vale
anche per m=0 )
Se x1 ed x2 sono le soluzioni reali e distinte dell’eq. di 2° grado associata al
denominatore vale:
ax 2 + bx + c = a( x − x1 )( x − x2 )
La funzione integranda viene così riscritta:
mx + q
1
mx + q
=
2
ax + bx + c a ( x − x1 )( x − x2 )
Si procede poi allo sviluppo in frazioni parziali del secondo fattore:
mx + q
A
B
=
+
( x − x1 )( x − x2 ) ( x − x1 ) ( x − x2 )
16
Integrazione Funzioni Razionali ∆>0
(2)
Ax − Ax2 + Bx − Bx1 x( A + B) − Ax2 − Bx1
=
=
( x − x1 )( x − x2 )
( x − x1 )( x − x2 )
Grazie al principio di identità dei polinomi, il seguente sistema lineare permette di
trovare i valori di A e B:
A + B = m

− Ax2 − Bx1 = q
In conclusione:

mx + q
1
A
B
∫ ax 2 + bx + c dx = a ∫ x − x1 dx + ∫ x − x2 dx =
A
B
= ln x − x1 + ln x − x2 + c
a
a
17
Integrazione Funzioni Razionali ∆>0
(3)
1
∫ x 2 − 5x + 4 dx
1
1
dx
=
∫ x 2 − 5x + 4 ∫ (x − 4)( x − 1) dx
1
A
B
( A + B) x − A − 4 B
=
+
=
(x − 4)( x − 1) (x − 4) ( x − 1)
(x − 4)( x − 1)
A + B = 0
 A = 1/ 3
⇒

− A − 4 B = 1  B = −1 / 3
1
1 1
1

∫ x 2 − 5x + 4 dx = 3  ∫ x − 4 dx − ∫ x − 1 dx  =
x−4
1
= (ln x − 4 − ln x − 1 ) + c = ln 3
+c
3
x −1
18
Integrazione Funzioni Razionali ∆>0
(4)
5x −1
∫ 2 x 2 + x − 1 dx
5x − 1
1
5x − 1
dx
∫ 2 x 2 + x − 1 dx = 2 ∫  1 
 x − ( x + 1)
2

( A + B) x + A −
B
2
5x −1
A
B
=
+
=
1
1  ( x + 1)
1



 x − ( x + 1)  x − 
 x − ( x + 1)
2
2
2



A + B = 5
A = 1
⇒

 A − B / 2 = −1  B = 4
5x −1
1
1
4

∫ 2 x 2 + x − 1 dx = 2  ∫ x − 1 / 2 dx + ∫ x + 1 dx  =
1
= ln x − 1 / 2 + 2 ln x + 1 + c
2
19
Integrazione Funzioni Razionali ∆=0 (1)
Consideriamo ora integrali del tipo:
q
2
dx
con
∆
=
b
− 4ac = 0
∫ ax 2 + bx + c
In questo caso, se x0 é la radice doppia del denominatore abbiamo:
ax 2 + bx + c = a( x − x0 ) 2
q
q
1
q
1 
dx
=
dx
=
 −
 + c
2
∫ ax 2 + bx + c
∫
a ( x − x0 )
a  ( x − x0 ) 
Es.
1
3
1
3
∫ 4 x 2 − 4 x + 1 dx = 3∫ (2 x − 1) 2 dx = 4 ∫ ( x − 1 / 2) 2 dx =

3
1
3
 + c = −
=  −
+c
4  ( x − 1 / 2) 
4x − 2
20
Integrazione Funzioni Razionali ∆=0 (2)
Consideriamo ora integrali del tipo:
mx + q
2
dx
con
∆
=
b
− 4ac = 0
∫ ax 2 + bx + c
mx + q
1 mx + q
∫ ax 2 + bx + c dx = a ∫ ( x − x0 ) 2 dx =(*)
Si procede allo sviluppo in frazione parziali della funzione integranda:
A + B( x − x0 ) Bx + A − Bx0
mx + q
A
B
=
+
=
=
2
2
2
( x − x0 )
( x − x0 ) ( x − x0 )
( x − x0 )
( x − x0 ) 2
B = m

 A − Bx0 = q

1
A
1 
A
B 
+ B ln x − x0  + c
dx =  −
(*) = ∫ 
+
2
a  ( x − x0 )
a  ( x − x0 ) ( x − x0 ) 

Il seguente sistema lineare permette di determinare A e B:
21
Integrazione Funzioni Razionali ∆=0 (3)
Es.
x+5
∫ 9 x 2 + 6 x + 1 dx
1
x+5
dx
2
∫
9 ( x + 1 / 3)
x+5
A
B
A + B( x + 1 / 3)
Bx + A + 1 / 3B
=
+
=
=
2
2
2
( x + 1 / 3)
( x + 1 / 3) ( x + 1 / 3)
( x + 1 / 3)
( x + 1 / 3) 2
B = 1

 A + B / 3 = 5 ⇒ A = 14 / 3

1
14 / 3
1

1  14
1
= ∫
dx
+
dx
=
+ ln ( x + 1 / 3)  + c
∫ ( x + 1 / 3)  = −
9  ( x + 1 / 3) 2
9  3 ( x + 1 / 3)

22
Integrazione Funzioni Razionali ∆=0 (4)
Un metodo alternativo consiste nel far comparire al numeratore, con opportune
trasformazioni algebriche, la derivata del denominatore:
Es.
x+5
∫ 9 x 2 + 6 x + 1 dx
1
18( x + 5)
1
18 x + 90
1 18 x + 6 + 84
dx = ∫ 2
dx = ∫ 2
dx =
2
∫
18 9 x + 6 x + 1
18 9 x + 6 x + 1
18 9 x + 6 x + 1

1 
1
1  18 x + 6
84
2

x
+
+
dx
=
ln
(
3
1
)
84
= ∫ 2
dx + ∫ 2
dx =


2
∫
9( x + 1 / 3)
18  9 x + 6 x + 1
9 x + 6 x + 1  18 

=

1 
84 
1

1 
84 
1
2
ln(
3
x
+
1
)
+
−
+
c
= 2 ln 3x + 1 + −
+c






18 
9  ( x + 1 / 3)  
18 
9  ( x + 1 / 3)  
1
14  1 
 + c
=  ln 3x + 1 − 
9  (3x + 1) 
9
23
Integrazione Funzioni Razionali ∆<0 (1)
Consideriamo ora integrali del tipo:
1
2
dx
con
∆
=
b
− 4ac < 0
∫ ax 2 + bx + c
Si deve ottenere il completamento del quadrato dei primi due termini (ax2+bx)
al denominatore e poi integrare in arcotangente.
1
1
1
1
dx =
=
dx
=
=
dx
dx
∫
2
2
∫ 1 3
∫ 4x2 + 2x +1 ∫  2

3 4 
1
1 1
 4x + 2x +  − +1
  2 x +  + 1
2x +  +

4  3 
2
4 4


2 4

=
4
1
4
1
dx
=
dx =
∫
∫
2
2
3  2 
3  4


1 
1 
x+
 + 1


 2 x +   + 1
2
3

 3 

 3

=
y=
dy =
4
1
x+
3
3
4
dx
3
1
1
4
1
3
=
dy = 3 arctan y + c = 3 arctan 4 x + 1  + c
dy
2
∫
2
∫
3 y +1
3 y +1 4
3
3
3
 3
24
Integrazione Funzioni Razionali ∆<0 (2)
Consideriamo ora integrali del tipo:
mx + q
2
dx
con
∆
=
b
− 4ac < 0
∫ ax 2 + bx + c
Si lavora in modo da fare comparire a numeratore la derivata del
denominatore; quello che rimane si integra in arcotangente come nel caso
precedente:
x+2
∫ x 2 + x + 1 dx
=
=
1 2(x + 2)
1 2x + 4
1 2x +1 + 3
dx
=
dx
=
dx
2
2
2
∫
∫
∫
2 x + x +1
2 x + x +1
2 x + x +1
1  2x +1
1

dx
+
3
dx
∫ x 2 + x + 1 
2  ∫ x 2 + x + 1



1
1
= ln x 2 + x + 1 + 3∫
dx = (*)
1 1
2
x2 + x + − +1 
4 4


25
Integrazione Funzioni Razionali ∆<0 (3)
1
1
dx
=
∫ 2
∫  1 2 3 dx
1 1
x + x + − +1
x+  +
4 4
2 4

=
4
1
dx
2
∫
3  2
1 
x+

 +1
3
 3
=
4
1
dx
2
∫
2
3  2  
1

  x +  +1
2
 3 
2
4 3
1
=
arctan( y) + c =
=
dy
2
∫
3
3 2 y +1
2
1 
 2
=
arctan
x+
+c
3
31 
 3
y=
dy =
2
1
x+
3
3
2
dx
3
1
6
1 
 2
2
(*) = ln x + x + 1 +
arctan
x+
 + c
2
3
3 
 3
26
Integrazione Funzioni Razionali ∆<0 (2bis)
Consideriamo ora integrali del tipo:
mx + q
2
dx
con
∆
=
b
− 4ac < 0
∫ ax 2 + bx + c
Si lavora in modo da fare comparire a numeratore la derivata del
denominatore; quello che rimane si integra in arcotangente come nel caso
precedente:
2x −1
∫ 3x 2 + x + 1 dx
=
1 3(2 x − 1)
1
6x − 3
1 6x + 1 − 4
dx
=
dx
=
dx
2
2
2
∫
∫
∫
3 3x + x + 1
3 3x + x + 1
3 3x + x + 1



1
6x +1
1

1
1
= ∫ 2
dx - 4∫ 2
dx  = ln 3x 2 + x + 1 - 4∫
dx = (*)
1 1
3  3x + x + 1
3x + x + 1 
3
3x 2 + x + − + 1 
12 12


27
Integrazione Funzioni Razionali ∆<0 (3bis)
12
1
1
1
=
dx
dx
=
dx
2
2
∫ 2
∫
∫
2
1 1
11  12  
1  11

1 
3x + x + − + 1
3
x
+
+




3
x
+

 +1
12 12


12
2
3
11


2 3

 
12
1
2
12 11
1
= ∫
dx
=
arctan( y) + c =
6
1
=
dy
2
2
∫
11  6
y
=
x
+
1 
11
11 6 y + 1
x+

 +1
11
11
11 
 11
6
2
1 
 6
dy
=
dx
=
arctan
x+
+c
11
11
11 
 11
1 
1
8
 6
2
(*) = ln 3x + x + 1 arctan
x+
 + c
3
11
11 
 11
28
Integrazione per Parti (1)
Particolare tecnica di integrazione. Date due funzione f,g continue con derivata continua :
( fg )' =
f'g + fg'
∫ ( fg )' = ∫ ( f'g + fg ') = ∫ f'g + ∫ fg '
∫ f'g = fg − ∫ fg '
fg = ∫ f'g + ∫ fg '
∫ f' ( x) g ( x)dx = f ( x) g ( x) − ∫ f ( x) g ' ( x)dx
Applicata all’integrale del prodotto di due funzioni di cui deve essere nota, in
partenza, una primitiva di una delle due (nell’es. la f).
Spesso ci si riferisce alla f’ ( f’(x)dx ) come “fattor differenziale” ed alla g come
“fattor finito”
Nota
In alcuni casi è vantaggioso considerare anche f’=1
Es. L’integrale del logaritmo
1
∫ ln( x)dx = ∫ (1) ⋅ ln( x)dx = x ln( x) − ∫ x x dx = x ln( x) − x + c
29
Integrazione per Parti (2)
Es.
2

g
x
x
(
)
=
∫ x cos( x)dx = 
 f ' ( x) = cos( x)
2
= sen( x) x 2 − ∫ sen( x)2 xdx = sen( x) x 2 − 2∫ sen( x) xdx =
(
= sen( x) x 2 − 2 − cos( x) x − ∫ (− cos( x))dx
)
 g ( x) = x

 f ' ( x) = sen( x)
= sen( x) x 2 + 2 cos( x) x − 2sen( x) + c
In generale si usa [ P(x) polinomio ] :
∫ P( x)h( x)dx
∫ h( x) ⋅ l ( x)dx
 g ( x) = P ( x)

cos(bx)



=
=
f
'
(
x
)
h
(
x
)
sen(bx)

e ax



h( x) = sen(bx), cos(bx), e ax

l ( x) = sen(bx), cos(bx), e ax

ln( x)
 g ( x ) = h( x ) = 

arctan( x)
 f ' ( x) = P ( x)

La scelta di f’ e g è
indifferente
30
Integrazione per Parti (3)
Es.
∫ x e dx =
2 x
(
 g ( x) = x 2

 f ' ( x) = e x
)
e x x 2 − 2 ∫ e x xdx = e x x 2 − 2 xe x − ∫ e x dx = e x x 2 − 2 xe x + 2e x + c =
= e x ( x 2 − 2 x + 2) + c
Es.
∫ sen( x)e dx =
x
 g ( x) = sen( x)

x
f
'
(
x
)
=
e

= sen( x)e x − ∫ cos( x)e x dx =
[
]
sen( x)e x − cos( x)e x + ∫ sen( x)e x dx =
= sen( x)e x − cos( x)e x − ∫ sen( x)e x dx ⇒ 2∫ sen( x)e x dx = sen( x)e x − cos( x)e x
x
(
e
sen( x) − cos( x) )
x
+c
∫ sen( x)e dx =
2
31
Integrazione per Parti (4)
Es.
2
sen
∫ ( x)dx =
 g ( x) = sen( x)

 f ' ( x) = sen( x)
= − cos( x) sen( x) − ∫ (− cos( x)) cos( x)dx = − cos( x) sen( x) + ∫ cos 2 ( x)dx =
= − cos( x) sen( x) + ∫ (1 − sen 2 ( x))dx = − cos( x) sen( x) + x − ∫ sen 2 ( x)dx =
x − cos( x) sen( x)
+c
2 ∫ sen ( x)dx = x − cos( x) sen( x) ∫ sen ( x)dx =
2
2
2
Alternativa:
1
1 sen(2 x)
1 − cos(2 x)
1
1
+c =
sen ( x)dx = ∫
dx = x − ∫ cos(2 x)dx= x −
2
2
2
2
2
2
1
sen(2 x)
= x−
+c =
2
4
32
∫
2
Integrazione per Parti (5)
Es.
2
cos
∫ ( x)dx =
 g ( x) = cos( x)

 f ' ( x) = cos( x)
= sen( x) cos( x) − ∫ sen( x)(− sen( x))dx = sen( x) cos( x) + ∫ sen 2 ( x)dx =
= sen( x) cos( x) + ∫ (1 − cos 2 ( x))dx =sen( x) cos( x) + x − ∫ cos 2 ( x)dx =
x + cos( x) sen( x)
+c
2 ∫ cos ( x)dx = x + sen( x) cos( x) ∫ cos ( x)dx =
2
2
2
Es.
2
2
cos
(
x
)
dx
=
(
1
−
sen
( x))dx =
∫
∫
x − sen( x) cos( x)
x + sen( x) cos( x)
+c =
+c
2
2
1
sen(2 x)
1 + cos(2 x)
2
+c =
cos ( x)dx = ∫
dx = .... = x +
2
4
2
= x−
Es.
∫
Integrazione per Parti (6)
Es.
 g ( x) = Ch( x)

 f ' ( x) = Ch( x)
2
Ch
∫ ( x)dx =
= Sh( x)Ch( x) − ∫ Sh( x) Sh( x)dx = Sh( x)Ch( x) − ∫ Sh 2 ( x)dx =
(
)
(
)
= Sh( x)Ch( x) − ∫ Ch 2 ( x) − 1 dx = Sh( x)Ch( x) + x − ∫ Ch 2 ( x) dx =
Sh( x)Ch( x) + x
+c
∫ Ch ( x)dx =
2
2
Es.
 g ( x) = Sh( x)

 f ' ( x) = Sh( x)
2
Sh
∫ ( x)dx =
= Ch( x) Sh( x) − ∫ Ch( x)Ch( x)dx =
(
)
Ch( x) Sh( x) − ∫ Ch 2 ( x)dx =
(
)
= Ch( x) Sh( x) − ∫ Sh 2 ( x) + 1 dx = Ch( x) Sh( x) − x − ∫ Sh 2 ( x) dx =
2
Sh
∫ ( x)dx =
Sh( x)Ch( x) − x
+c
2
Integrazione per Sostituzione (1)
E’ la tecnica più difficile e generale. Per applicarla bisogna infatti sostituire
nell’integrale indefinito alla variabile x un’altra funzione con l’obiettivo non di
risolvere immediatamente il calcolo ma di semplificarlo.
 x = g (t )

dx = g ' (t )dt
∫ f ( x)dx = ∫ f ( g (t )) g ' (t )dt
È necessario alla fine del calcolo dell’integrale a secondo membro (nella
variabile t) ritornare alla valutazione dell’integrale a primo membro (nella
variabile x) mediante l’inversione della relazione x=g(t). Perciò, più
precisamente, la relazione precedente diventa:
∫ f ( x)dx = ∫ f ( g (t )) g ' (t )dt
t = g −1 ( x )
35
Integrazione per Sostituzione: applicazioni
simili al cambiamento di variabile (2)
ax
F
(
e
)dx
∫
Tipologia
Es.
t = e ax


dt
ax
dt = ae dx ⇒ dx =
a ⋅t

Sostituzione
t = e x


dt
x
dt = e dx ⇒ dx =
t

t +1
e2 x + e x
t 2 + t dt
∫ e 2 x + 1 dx = ∫ t 2 + 1 t = ∫ t 2 + 1 dt
t +1
=∫ 2
dt
t +1
(
t
1
=∫ 2
dt + ∫ 2
dt
t +1
t +1
)
1 2t
= ∫ 2
dt + arctan(t ) =
2 t +1
(
)
1
1
2
= ln t + 1 + arctan(t ) + c t =e x = ln e 2 x + 1 + arctan(e x ) + c
2
2
36
Integrazione per Sostituzione: applicazioni
simili al cambiamento di variabile (3)
Tipologia
Es.
∫ F ( x,
ax + b )dx
5−t
5− x +3
∫ x + 3 dx = ∫ t 2tdt =

t2 
= 2 ∫ (5 − t)dt = 2 5t −  + c t =
2

Sostituzione:
t = ax + b


a
2t
dx ⇒ dx = dt
dt =
a
2 ax + b

t = x + 3


1
dx ⇒ dx = 2tdt
dt =
2 x+3

x +3
= 10 x + 3 −
(
)
2
x+3 +c
= 10 x + 3 − x + c
37
Integrazione per Sostituzione: applicazioni
simili al cambiamento di variabile (4)
Tipologia
∫ F (sen(bx), cos(bx))dx
Sostituzione :
t = cos( x)

dt = − sen( x)dx = − 1 − t 2 dx ⇒ dx = − 1 dt

1− t 2

Es.
(3 + cos( x)) sen( x)
(3 + t )
3
dx
2
∫
=
(
−
dt
)
=
− ln t + c =
cos ( x)
∫ t2
t
3
=
− ln cos( x) + c =
cos( x)
t = cos( x)

dt = − sen( x)dx
38
Integrazione per Sostituzione: applicazioni
simili al cambiamento di variabile (4)
Es.
∫
∫
e x − 1dx
t = e x − 1

2

1
t
+1
x
e dx =
dx
dt =
x
2t
2 e −1

2t
2t 2
e − 1dx = ∫ t 2
dt = ∫ 2
dt =
t +1
t +1
x
t 2 + 1 −1
1
= 2∫ 2
dt =2∫ dt − 2∫ 2 dt =2t − 2 arctan(t ) + c =
t +1
t +1
= 2 e x − 1 − 2 arctan( e x − 1) + c
39
Integrazione per Sostituzione: Esempi
particolari (1)
∫
Es.
∫
1 − x 2 dx
 x = cos(t )

dx = − sen(t )dt
1 − cos 2 (t ) (− sen(t ))dt = ∫ sen(t )(− sen(t ))dt = − ∫ sen 2 (t )dt =
=−
t − sen(t ) cos(t )
sen(arccos( x)) x − arccos( x)
+ c t =arccos( x ) =
+c
2
2
x 1 − x 2 − arccos(x)
=
+c
2
Se effettuo la sostituzione
 x = sen(t )

dx = cos(t )dt
x 1 − x 2 + arcsen( x)
=
+c
2
40
Integrazione per Sostituzione: Esempi
particolari (2)
Es.
∫
∫
1 + Sh 2 (t ) Ch(t )dt
1 + x 2 dx
 x = Sh(t )

dx = Ch(t )dt
= ∫ Ch(t )(Ch(t ))dt = ∫ Ch 2 (t )dt =
Sh(t )Ch(t ) + t
x 1 + x 2 + SettSh( x)
=
+ c t = SettSh( x ) =
+c
2
2
(
SettSh( x) := ln x + x 2 + 1
)
41
Integrazione per Sostituzione: Esempi
particolari (3)
Es.
∫
∫
Ch 2 (t ) − 1 Sh(t )dt
x 2 − 1dx
 x = Ch(t )

dx = Sh(t )dt
= ∫ Sh(t )( Sh(t ))dt = ∫ Sh 2 (t )dt =
Sh(t )Ch(t ) − t
x x 2 − 1 − SettCh( x)
=
+ c t = SettCh( x ) =
+c
2
2
(
SettCh( x) := ln x + x 2 − 1
)
42
Integrazione per Sostituzione: Esempi
particolari (4)
∫
∫
∫
1
1+ x
2
1
x −1
2
1
1− x
2
(
)
(
)
dx = SettSh( x) + c = ln x + 1 + x 2 + c
dx = SettCh( x) + c = ln x + x 2 − 1 + c
dx = arcsen( x) + c
43