Ipotesi di Goldbach (di Cristiano Armellini [email protected])
LA CONGETTURA: Ogni numero pari maggiore di due è somma al più di due numeri primi non
necessariamente diversi tra loro
Sia data la funzione Phi di Eulero
(q ) che mi dà il numero di primi con q minori di q.
E’ facile provare che
a)
(q ) è sempre pari qualunque sia q
b)
(q ) q 1 sse q è primo
c)
se MCD(a,b)=1
d)
, p primo
(dimostrazione della congettura)
Sia n = p * q con p, q primi di versi da 2. Possiamo anche considerare n = 2pq perché
(q ) è sempre pari e ( pq) ( p) (q) perché MCD(p,q) = 1
(2 pq) ( pq)
( pq) ( p) (q) ( p 1)( q 1) pq ( p q) 1
(n) 2k pq ( p q) 1 (qui si può scrivere 4K al posto di 2k perché prodotto di due numeri pari cioè
è il prodotto di (p-1)(q-1)). Nel caso particolare che p = q
generale possiamo dire che
per un certo k. In
quando n è un quadrato di un numero primo, mentre
quando n = p * q con p, q primi diversi tra loro.
pq+1-2k = p + q e dato che pq+1 è pari perché p * q è dispari pq+1-2k è pari perché differenza
di numeri pari, quindi pq+1-2k (o pq+1-4K) è un generico numero pari che è somma di due
primi p, e q. In particolare pq+1-2k o (pq+1-4K) al variare di k (o K) mi dà un insieme di
numeri pari minori o uguali a pq+1 ma dato che p,q sono primi e i primi sono infiniti pq+1-2k
(pq+1-4K) al variare di k mi dà l’insieme di tutti i numeri pari. Ovvero pq+1-2k mi dà sempre
tutti i numeri pari minori o uguali a pq+1 mentre pq+1-4K mi dà esattamente la metà ma basta
porre K = k/2 o variare p, q per raggiungere i numeri pari mancanti. Questo vuol dire che dato
un qualunque numero pari esistono p,q primi e esiste un k (o un K) tale che 2a=pq+1-2k
(oppure 2a=pq+1-4K) ma in entrambi i casi il membro di destra è = p+q. C.V.D.
Dimostrazione per induzione:
1) assumiamo che 2a = p + q vera, p, q primi
2)
2a ( p1 ) (q1 ) un numero pari è sempre la somma di due numeri pari
( p1 ) p1 1 sse p1
è primo;
3)
2a p1 1 q1 1
4)
2(a 1) p1 q1 vera
(q1 ) q1 1 sse q1
è primo. Allora
5) per induzione 2a = p + q per ogni a (ad ogni a cambieranno p, q)
DIMOSTRAZIONE PER ASSURDO
consideriamo l'approccio della dimostrazione per assurdo. supponiamo cioè di negare la tesi ovvero che
esiste un numero pari che non può essere somma di due numeri primi. Sia allora 2a il più piccolo numero
pari che non può essere scritto come 2a = p + q con p, q primi. Dunque 2a-2 è pari e può essere scritto
come 2a-2 = p + q con p, q primi, allora 2a = 2+p+q
caso 1) 2+p è primo, con p primo allora arriviamo all'assurdo 2a = P + q con P = 2+p P, q primi e il
teorema è dimostrato
caso 2) 2+q è primo, con q primo allora arriviamo all'assurdo 2a = p + Q con Q = 2 + q con p, Q primi e il
teorema è dimostrato
caso 3) 2+q non è primo né 2+p, allora si potrebbe cambiare la coppia p, q (es 10 = 7+3 = 5+5) e vedere
se si verificano i casi 1) 2). Qui il problema è più complesso perché si lega ad un'altre ben nota congettura
che vuole che i numeri primi si distribuiscano più facilmente nella forma p, p+2 con p primo. Nel sottocaso
che p=q abbiamo che 2a = 2+2p quindi 2a = 1+(2p+1).
DIMOSTRAZIONE USANDO IL TEOREMA FONDAMENTALE DELL’ARITMETICA
Consideriamo il numero pari 2*a . Per il teorema della decomposizione unica in fattori sappiamo che tale
numero si può sempre scrivere come una somma (non necessariamente unica) di numeri primi e che questa
somma deve essere costituita da un numero pari di addendi (altrimenti il risultato sarebbe dispari). Esempio:
30 = 3*10 = 3+3+3+3+3+3+3+3+3+3 = 5*6 = 5+5+5+5+5+5. Supponiamo che 2*a = p+q+r+s (con
p, q, r, s numeri primi). Abbiamo preso 4 numeri primi ma il ragionamento sarebbe stato ugualmente valido
per 6, 8, 10 numeri primi. Dunque 2*a –(r + s) = p + q ma r + s = 2b per un certo b quindi 2(a-b) = p+q.
Fissato a tramite la decomposizione unica in fattori primi mi determino una classe finita di possibili valori di b
e al variare di a 2(a-b) mi determinano l’insieme dei numeri pari. Quindi ho provato che il generico numero
pari 2(a-b) lo posso sempre scrivere come somma di due primi p, q. Nell’ esempio di prima 30 =
5+5+5+5+5+5 => 30 – 5+5+5+5 = 5+5. => 10 = 5+5; 30 –3-3-3-3-3-3-3-3 = 3+3 => 6 = 3+3
