Proposizione 20

Gli Elementi di Euclide
Libro IX
Proposizione 20
Esistono [sempre] numeri primi in numero maggiore di quanti numeri
primi si voglia proporre.
Dimostrazione. Siano A, B, C i numeri primi proposti; dico che esistono
numeri primi in maggior numero che A, B, C.
Infatti, si prenda il minimo comune multiplo di A, B, C, e sia esso K; si
aggiunga a K l’unità U. Ora, il numero K+U o è primo o non lo è.
Dapprima, sia un numero primo; si sono dunque trovati i numeri primi
A, B, C, K+U che sono in maggior numero che A, B, C.
Ma sia adesso il caso in cui, per ipotesi, K+U non è primo, per cui esso è
diviso da un numero primo. Sia diviso dal numero primo D; dico che D
non è uguale a nessuno dei numeri A, B, C. Infatti, se possibile, sia
uguale. Ma A, B, C dividono K; perciò anche D dividerebbe K. Ma D
divide pure K+U, ossia D dividerebbe, pur essendo un numero, anche
l’unità U che rimane di K+U: il che è assurdo. Quindi D non è uguale a
nessuno dei numeri A, B, C. Ed è, per ipotesi, primo.
Dunque si sono trovati numeri primi, cioè A, B, C, D, più numerosi di
quanti numeri primi si siano proposti, cioè A, B, C.
La dimostrazione è un esempio di reductio ad absurdum.
Abbiamo riportato la versione originale, tratta dagli Elementi di
Euclide, nella traduzione di Frajese e Maccioni. Riformuliamo ora
enunciato e dimostrazione in lingua moderna, conservando, però, per
quanto possibile, il senso letterale delle singole frasi.
Proposizione 20
Dato un numero qualunque di numeri primi, è sempre possibile
trovare un ulteriore numero primo.
Dimostrazione. Siano A, B, C i numeri primi dati. Proveremo che
esiste un ulteriore numero primo.
Sia K il minimo comune multiplo di A, B, C. Si sommi 1 a K. Ora, il
numero K+1 è primo o non lo è. Dapprima, supponiamo che sia un
numero primo. Allora è l’ulteriore numero primo cercato. Poniamo
ora il caso che K+1 non sia primo, e quindi abbia un divisore primo D.
Proveremo che D non è uguale a nessuno dei numeri A, B, C. Ora
A, B, C dividono K, quindi, se uno di essi fosse uguale a D, anche D
dividerebbe K. Ma D divide anche K+1. Quindi D dividerebbe anche
K+1-K = 1, pur non essendo uguale ad 1. Ciò è assurdo. Quindi D è
distinto da A, B, C. Ed è primo per ipotesi. Dunque è l’ulteriore
numero primo cercato.
Un autore contemporaneo, ovviamente, userebbe uno stile diverso.
Ecco come si esprimerebbe:
Proposizione 20
Esistono infiniti numeri primi.
Dimostrazione. L’insieme dei primi è non vuoto, poiché il numero 2 vi
appartiene. Supponiamo per assurdo che i numeri primi siano finiti,
diciamo p1,…, pn. Sia m = p1···pn. Poiché m+1 è distinto da p1,…, pn,
non può essere primo. Sia q un suo divisore primo. Quindi q = pi per
qualche indice i. Pertanto pi divide m. Ma allora pi divide m+1-m = 1.
Assurdo.