Esercizi di riepilogo - Dipartimento di Matematica

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Esercitazione di Geometria 2 (GE210), a. a. 2013/14
Corso di Laurea in Matematica
Università degli studi Roma Tre
Foglio n◦ 8
ESERCIZI DI RIEPILOGO
Esercizio 1. Sia (R3 , h, i) lo spazio vettoriale numerico euclideo di dimensione 3 dove h, i è il prodotto scalare
standard. Sia assegnato l’endomorfismo F : R3 → R3 definito dalla formula:
F1 ((x1 , x2 , x3 )) = (x1 − x2 + 2x3 , −x1 + x2 − 2x3 , 2x1 − 2x2 + 4x3 )
dove (x1 , x2 , x3 ) è il sistema di coordinate relativo alla base standard ortonormale B = (e1 , e2 , e3 ).
(i) Scrivere la matrice A associata ad F nella base B.
(ii) Verificare che l’operatore F è autoaggiunto.
(iii) Determinare una base ortonormale di R3 formata da autovettori di F .
Esercizio 2. Sia (R4 , h, i) lo spazio vettoriale numerico euclideo di dimensione 4 dove h, i è il prodotto scalare
standard. Sia assegnato l’endomorfismo F : R4 → R4 definito dalla formula:
F1 ((x1 , x2 , x3 , x4 )) = (x2 − x4 , x1 − x3 , −x2 − x4 , −x1 − x3 )
dove (x1 , x2 , x3 , x4 ) è il sistema di coordinate relativo alla base standard ortonormale B = (e1 , e2 , e3 , e4 ).
(i) Scrivere la matrice A associata ad F nella base B.
(ii) Verificare che l’operatore F è autoaggiunto.
(iii) Determinare una base ortonormale di R4 formata da autovettori di F .
Esercizio 3. Si consideri il piano reale euclideo E2 con il riferimento ortonormale standard RC(O, e1 , e2 ).
Sia assegnata l’applicazione f : E2 → E2 di equazioni
√
√
√
1
1
1
3
3
3
x1 − x2 + , y2 = x1 +
x2 −
.
y1 =
2
2
2
2
2
2
(i) Verificare che f è una rotazione e determinare il suo punto fisso C, centro di rotazione.
(ii) Determinare l’angolo θ, 0 ≤ θ < 2π, della rotazione.
(iii) Considerata la retta r : y − 1 = 0, scrivere l’equazione cartesiana della retta r0 = f (r).
Esercizio 4. Si consideri il piano reale euclideo E2 con il riferimento ortonormale standard RC(O, e1 , e2 ).
Siano date le rette di equazioni:
(1) r1 : x1 + 2x2 = 1;
(2) r2 : 2x1 − 3x2 = 0;
(3) r3 : 3x1 − 4x2 − 3 = 0;
(4) r4 : x + 4x2 + 3 = 0.
(i) Determinare la riflessione Sri rispetto alla retta ri per ogni i = 1, 2, 3, 4.
(ii) Dato il vettore v = (4, −6), calcolare le equazioni delle isometrie Gi := Tv ◦ Sri per ogni i = 1, 2, 3, 4.
(iii) Per ogni i = 1, 2, 3, 4, riconoscere se Gi è una riflessione o una glissoriflessione. Nel caso in cui Gi
è una riflessione determinare la retta si tale che Gi = Ssi . Nel caso in cui Gi è una glissoriflessione
determinare la retta si e il vettore vi parallelo a si tale che Gi = Tvi ◦ Ssi .
Esercizio 5. Sia lo spazio euclideo E3 con riferimento cartesiano ortonormale RC(O, i, j, k) (i. e. (i, j, k) è
una base ortonormale di R3 ). Sia assegnato il piano π : x − 2y + 3z − 1 = 0. Considerati i punti A(1, 0, 0) e
C(0, 1, 1) appartenenti a π, determinare i punti B e D di π in modo che ABCD sia un quadrato avente A e
C come vertici opposti.
1
2
Esercizio 6. Sia lo spazio euclideo E3 con riferimento cartesiano ortonormale RC(O, i, j, k). Siano assegnate
le rette
(
(
x−y+z−1=0
x + y + 3z = 0
0
e
r :
r:
x+z =0
x − z = 0.
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
Verificare che r ed r0 sono sghembe.
Calcolare l’angolo θ che esse formano.
Determinare la retta s incidente e perpendicolare a r e r0 .
Determinare la distanza tra r ed r0 .
Esercizio 7. Sia il piano euclideo E2 con riferimento cartesiano ortonormale RC(O, i, j) (i. e. (i, j) è una
base ortonormale di R2 ). Per ciascuna delle seguenti coniche
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
(1) x2 + 4xy + 4y 2 − 2x − 2y + 1 = 0;
(2) x2 − 2xy + 2y − 1 = 0;
√
(3) x2 − 2 3xy − y 2 + 4x + 3 = 0;
(4) 5x2 − 2xy + 2y 2 − 2x − 2y = 0;
dire se è degenere o meno;
stabilire il tipo di conica;
determinare la forma canonica euclidea e l’isometria che la riduce in tale forma;
determinare il centro (se lo ammette) e gli assi di simmetria;
studiare i punti impropri, considerare la conica + i punti impropri in P2 (R) e determinare la forma
canonica della conica proiettiva risultante.
Esercizio 8. Sia lo spazio proiettivo P2 (R) con coordinate affini omogenee (X0 , X1 , X2 ). Siano assegnati i
punti P1 = [1, 2, 3], P2 = [1, 1, −1], Q1 = [−1, 2, 1], Q2 = [1, −1, −1] e si considerino le rette r e s, la prima
passante per P1 e P2 , la seconda passante per Q1 e Q2 .
(i) Determinare le equazioni cartesiane in coordinate affini omogenee delle rette r e s.
(ii) Determinare il punto R = r ∩ s.
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