Esame del 03-02-03

ALGEBRA LINEARE, ESAME SCRITTO.
Prof. Kieran O’Grady
3 Febbraio 2003
Es. 1 (5 punti). Siano U, V ⊂ R3 i sottospazi dati da
U :=span ((1, −4, 3), (1, 2, −3), (4, −3, −1))) ,
V :=span ((8, 2, 0), (7, 1, −1)) .
Determinare una base di U ∩ V .
Es. 2 (5 punti). Sappiamo che F : R3 → R3 è un’applicazione lineare, e che
F (1, 1, 1) =(1, 2, 0),
F (0, 1, 1) =(1, 3, −1),
F (0, 1, −1) =(1, 1, −1).
Determinare la matrice associata ad F nella base standard.
Es. 3 (4 punti). Sia

1
0
A := 
0
0
e sia
R4
X
0
−1
0
0

0 0
0 0

0 1
1 0
ϕA
−→
R4
7→ A · X
l’applicazione lineare associata ad A. Determinare autovalori ed autospazi di ϕA .
Decidere se ϕA è diagonalizzabile ed in caso affermativo determinare una base di
R4 che diagonalizzi ϕA (cioè costituita di autovettori di ϕA ).
Es. 4 (4 punti). Sia data una base ortonormale B = {i, j, k} di V 3 , e siano (x, y, z)
le coordinate associate a B. Sia W ⊂ V 3 il sottospazio di equazione cartesiana
x − y + z = 0.
Si determini una base ortogonale C = {f1 , f2 , f3 } di V 3 tale che
||f3 ||2 = 12.
f1 , f2 ∈ W,
Typeset by AMS-TEX
1
2
PROF. KIERAN O’GRADY
Es. 5 (5 punti). Sia data una base ortonormale B = {i, j, k} di V 3 , e sia
1
1
u := √ i + √ k.
2
2
Sia T : V 3 → V 3 l’applicazione definita da
T (v) = v− < v, u > u.
(1) Verificare che T è lineare.
(2) Determinare la matrice associata a T nella base {i, j, k}.
(3) Determinare basi per Ker(T ) e Im(T ).
Es. 6 (4 punti). Sia dato un riferimento affine RA(O, x, y, z). Siano r, s ⊂ E 3 le
rette di equazioni
(r)
x − 3y + 3z = 2
x+z =1
e
(s)
x+y =1
x − z = 1.
Determinare le equazioni del piano per P0 = (1, 1, 1), parallelo ad r ed s.
Es. 7 (5 punti). Sia dato un riferimento cartesiano RC(O, x, y, z). Sia r ⊂ E 3 la
retta di equazioni
(r)
x − 3y + 3z = 2
x+z =1
e P0 ∈ E 3 il punto di coordinate (0, 1, 0). Determinare equazioni cartesiane della
retta passante per P0 , incidente r ed ortogonale a r.