Soluzioni della seconda prova di GEOMETRIA

Soluzioni della seconda prova di GEOMETRIA - prof. L. Alessandrini - 11.1.2010
(6 PUNTI) Stabilire quali fra i seguenti sono sottospazi vettoriali, motivando la risposta.
a) W1 = {X ∈ R6 /x2 − x3 + 3x4 − x5 + x6 = 0, x2 − x3 + 5x4 + 6x5 + 7x6 = 0, x1 + x2 = 0}
b) W2 = {A ∈ M (2 × 2, R)/ t A = A}
c) W3 = {f : R → R/f (0) = f (1)}.
Soluzione. a) W1 è sottospazio vettoriale in quanto è l’insieme delle soluzioni di un sistema
omogeneo.
b) W2 è sottospazio vettoriale in quanto: la matrice nulla sta in W2 ; se A, B ∈ W2 , vale
t
(A + B) = t A + t B = A + B, dunque A + B ∈ W2 ; se A ∈ W2 , vale t (kA) = k(t A) = kA.
c) W3 è sottospazio vettoriale in quanto: la funzione nulla verifica f (0) = f (1) = 0; se f, g ∈ W3 ,
vale (f + g)(0) = f (0) + g(0) = f (1) + g(1) = (f + g)(1), dunque f + g ∈ W3 ; se f ∈ W3 , k ∈ R, vale
(kf )(0) = kf (0) = kf (1) = (kf )(1).
(9 PUNTI) Considerare i tre vettori v1 = (1, 0, −1), v2 = (2, 0, 1), v3 = (0, −3, 2).
a) Mostrare che B = (v1 , v2 , v3 ) è una base di R3 .
b) Calcolare le due matrici M (C, B) e M (B, C).
c) Se L : R3 → R3 è data da L(x, y, z) = (x, x + y, x), determinare MB (L).


1 2 0
Soluzione. a) Basta controllare che detA =  0 0 −3  = 9.
−1 1 2


1/3 −4/9 −2/3
1/3  .
b) Per definizione, M (C, B) = A e M (B, C) è la sua inversa, cioè  1/3 2/9
0
−1/3
0
c)
Possiamo
ottenere
M
(L)
come
prodotto
M
(L)
=
M
(B,
C)M
(L)M
(C,
B),
dove
MC (L) =
B
B
C




−7/9 −14/9 4/3
1 0 0
 1 1 0  . Dunque MB (L) =  8/9
16/9 −2/3  .
−1/3 −2/3
1
1 0 0

3
(7 PUNTI) Diagonalizzare in base ortonormale la matrice A =  1
0
ortonormale e la matrice diagonale).
1
3
0

0
0  (calcolare la base
2
Soluzione. Gli autovalori che si ottengono come soluzioni dell’equazione caratteristica sono 2 (con
molteplicità due) e 4.
autospazi sono: V4 = {(x, y, z)/y = x, z = 0}, in cui scelgo il vettore di
√ Gli √
V2 = {(x, y, z)/y = −x}, in cui scelgo i vettori di norma uno e
norma uno v1 = (1/ 2, 1/ √2, 0), e √
ortogonali fra loro v2 = (1/
2,
−1/
2, 0), v3 = (0, 0, 1); i tre vettori formano la base richiesta. La


4 0 0
matrice diagonale è D =  0 2 0  .
0 0 2
(9 PUNTI) Considerare R2 [t] con il prodotto scalare dato dall’integrazione fra 0 e 1; sia W =
L(−1, t).
a) Calcolare W ⊥ .
b) Calcolare le lunghezze di 1 e t.
c) Calcolare una base ortonormale di W .
R1
R1
Soluzione. a) W ⊥ = {a0 + a1 t + a2 t2 / 0 (−a0 − a1 t − a2 t2 )dt = 0, 0 (a0 t + a1 t2 + a2 t3 )dt = 0} =
{a0 + a1 t + a2 t2 /a0 + a1 /2 + a2 /3 = 0, a0 /2 + a1 /3 + a2 /4 = 0}.
R1
R1
b) || − 1||2 = 0 (−1)(−1)dt = 1, ||t||2 = 0 t2 dt = 1/3.
R1
c) Da b), posso prendere u1 = −1; osservo che h−1, ti = 0 (−t)dt = −1/2, dunque dal metodo
√
di Gram Schmidt scelgo w2 = t − pr−1 t = t − 1/2 e quindi u2 = w2 /||w2 || = 2 3(t − 1/2).
1