secondo compito a casa - Dipartimento di Matematica

Corso di Laurea in Matematica.
Geometria 1. a.a. 2014-15.
Prof. P. Piazza
Compito a casa del 10/10/2014 (Secondo compito)
Esercizio 1. Sia V uno spazio vettoriale reale di dimensione n e sia b una forma
bilineare antisimmetrica. Assumiamo che b sia non-degenere. La coppia (V, b( , ))
costituisce, per definizione, uno spazio vettoriale simplettico.
Dimostrare che esiste una base
F = {f 1 , . . . , f 2k }
di V rispetto alla quale
0
Ik AF
=
b
−Ik 0 Notare che, in particolare, V ha necessariamente dimensione pari.
Suggerimento. Cominciate con l’osservare che esistono due vettori u, w tali che
b(u, w) = 1 (e quindi b(w, u) = −1.) Considerate ora {u, w}⊥b .....
Esercizio 2. Sia V := M2×2 (R) e sia q : V → R la funzione determinante. Trattasi
di una forma quadratica. Determinare rango e segnatura di q.
Esercizio 3. Sia (V, < , >) uno spazio vettoriale euclideo e sia T ∈ End(V ). Sia
B una qualsiasi base e sia A la matrice associata a tale prodotto scalare nella base
B: A = AB
< , > . Consideriamo la matrice associata a T in questa base: MB (T ).
Verificare che T è simmetrico se e solo se
(MB (T ))t · A = A · MB (T )
e che T è unitario se e solo se
(MB (T ))t · A · MB (T ) = A
Suggerimento: utilizzare la nozione di aggiunto T ∗ .
Esercizio 4. Consideriamo l’endomorfismo T : R2 → R2 definito, rispetto ad una
base B, dalla matrice
1 0
M=
−1 2
(4.1) Dire se può esistere un prodotto scalare di R2 in modo tale che B sia
una base ortonormale rispetto a tale prodotto scalare e T sia un operatore
simmetrico.
(4.2) Dire se può esistere un prodotto scalare di R2 in modo tale che B sia
una base ortonormale rispetto a tale prodotto scalare e T sia un operatore
ortogonale.
(4.3) Determinare, se esiste, un prodotto scalare di R2 rispetto al quale T è
simmetrico
(4.4) Determinare, se esiste, un prodotto scalare di R2 rispetto al quale T è
ortogonale.
a b
Suggerimento: per (4.3) e (4.4) scrivere la matrice A =
di un generico
c d
prodotto scalare su R2 ed utilizzare l’esercizio precedente.
1
2
Esercizio 5. Nello spazio vettoriale delle matrici reali M2×2 (R) consideriamo gli
endomorfismi F1 ed F2 definiti da
A + At
F1 (A) :=
F2 (A) := −At
2
(1) Verificare che la formula < A, B >:= Tr(B T A) definisce un prodotto scalare
definito positivo in M2×2 (R).
(2) Stabilire se gli operatori sono unitari/simmetrici rispetto a questo prodotto
scalare
(3) Determinare, se esiste, una base di M2 2 (R) costituita da autovettori per F1 .
Ripetere l’esercizio per F2 .