il calcolo della probabilità semplice

Lanciando un dado, il tuo compagno
esclama:
•
“uscirà 1, 2, 3, 4, 5 o 6”
oppure:
•
“uscirà il numero 4”
o ancora:
•
“uscirà il numero 9”
Possiamo dire che le previsione del tuo compagno sono la prima certa,
la seconda probabile, l’ultima impossibile.
Consideriamo quindi gli eventi il cui verificarsi dipende esclusivamente
dal caso e poniamoci il problema di stabilire in modo universale con
quale probabilità potranno verificarsi o meno.
Un evento si dice casuale, o aleatorio, se il suo
verificarsi dipende esclusivamente dal caso.
Considerato un evento casuale, possiamo chiederci: “quanto è
probabile?”.
1. Consideriamo un evento casuale come quello del lancio di una
moneta, i cui casi possibili, come sai, sono 2: o viene “testa” o
viene “croce”. Qual è la probabilità che venga “testa”? Su 2 casi
possibili, 1 è il caso favorevole, quindi la probabilità è 1/2.
2. Consideriamo il lancio di un dado, i cui casi possibili sono 6. Qual è
la probabilità che esca il numero 4? Su 6 casi possibili, 1 è il caso
favorevole, la probabilità è 1/6.
3. Consideriamo ancora il lancio di un dado: qual è la probabilità che
esca un numero pari? Su 6 casi possibili, 3 è il numero dei casi
favorevoli,la probabilità è 3/6.
La probabilità matematica p di un evento casuale è il
rapporto fra il numero dei casi favorevoli f e il numero di
tutti i casi ugualmente possibili n:
f
p=
n
Se l’evento è certo o impossibile, quale sarà la sua probabilità?
Consideriamo una scatola contenente 9 palline rosse e chiediamoci: qual è la
probabilità di estrarre una pallina rossa?
Abbiamo a che fare con un evento certo, la cui probabilità sarà ovviamente
9/9, cioè 1.
La probabilità matematica di un evento certo è 1.
Qual è la probabilità di estrarre una pallina nera dalla stessa
scatola?
Abbiamo a che fare con un evento impossibile, la cui
probabilità sarà 0/9, cioè 0.
La probabilità matematica di un evento impossibile è 0.
In definitiva possiamo affermare che:
La probabilità matematica p(E) di un evento E
qualsiasi è sempre un numero compreso fra 0 e 1:
0 ≤ p (E ) ≤ 1
p=0
Evento
impossibile
0 < p( E ) <
1
2
Evento
improbabile
1
2
1
< p( E ) < 1
2
p =1
Evento
incerto
Evento
probabile
Evento
certo
p( E ) =
Consideriamo ancora il lancio di una moneta e i due
eventi:
E1: “esce testa (T)”
E2: “esce croce (C)”
Sappiamo che
p( E1 ) =
1
2
e
p( E 2) =
1
2
In realtà se proviamo a eseguire effettivamente 10 lanci e ad
annotare il numero di volte che esce “testa” (T), ci accorgiamo che
otteniamo risultati diversi e non secondo la probabilità.
Il rapporto fra il numero di volte che l’evento si è verificato e il
numero di prove effettuate si chiama frequenza relativa F
dell’evento.
Proviamo a costruire una tabella dove riportiamo il numero dei lanci di
una moneta e il numero di volte in cui è uscito T.
Numero lanci
Numero di
uscite T
10
3
20
7
50
20
100
46
200
98
Frequenza
relativa
3
= 0,30
10
7
= 0,35
20
20
= 0,40
50
46
= 0,46
100
98
= 0,49
200
Se osserviamo i valori della
frequenza calcolati a ogni serie di
prove, constatiamo che più aumenta
il numero delle prove, più il valore
della frequenza F(E1) si avvicina al
valore della probabilità p(E1); su
200 prove abbiamo infatti una
frequenza relativa F= 0,49 molto
vicina alla probabilità p=0,5.
Quanto constatato vale per qualsiasi evento casuale ed è espresso dalla
legge empirica del caso o legge dei grandi numeri.
Se sottoponiamo un evento casuale E a un gran numero di prove, sempre
nelle stesse condizioni, otterremo una frequenza relativa F(E)
approssimativamente uguale alla probabilità p(E); tale approssimazione,
generalmente, si avvicina alla probabilità p(E) con l’aumentare del numero
delle prove.
Lanciamo un dado e consideriamo due eventi possibili:
•
E1: “esce il numero 4”
•
E2: “esce il numero 6”
È ovvio che si potrà verificare uno solo dei due eventi, in
quanto non possono uscire contemporaneamente in un
lancio il 4 e il 6; quindi il verificarsi di E1 esclude il verificarsi
di E2.
Due eventi simili si dicono incompatibili.
Due eventi casuali E1 ed E2 si dicono:
•
incompatibili quando il verificarsi dell’uno esclude il
verificarsi dell’altro, ovvero se è impossibile che si
verifichino entrambi contemporaneamente; può anche
accadere che nessuno dei due si verifichi.
Lanciamo ancora un dado e consideriamo due eventi:
•
E1: “esce un numero maggiore di 4”
•
E2: “ esce un numero dispari”
Osserviamo che i due eventi possono verificarsi
contemporaneamente in quanto, se esce il numero 5, si verifica
sia l’evento E1 (5 > 4) sia l’evento E2 (5 è un numero dispari).
Due eventi simili si dicono compatibili.
Due eventi casuali E1 ed E2 si dicono:
•
compatibili quando il verificarsi dell’uno non esclude il
verificarsi dell’altro, ovvero se è possibile che si verifichino
entrambi contemporaneamente.
Lanciamo ancora un dado e consideriamo due eventi possibili:
•
E1: “esce un numero pari”
•
E2: “esce un numero dispari”
I due eventi sono, incompatibili: il verificarsi di E1, esclude il verificarsi di
E2, però uno dei due si verificherà certamente.
Due eventi simili si dicono complementari:
Due eventi casuali E1 ed E2 si dicono:
•
complementari se sono tali che il verificarsi di uno esclude il verificarsi
dell’altro, ma uno dei due si verificherà certamente.
Due eventi complementari sono sempre incompatibili, ma due eventi
incompatibili non sono necessariamente complementari.
La somma delle probabilità di due eventi complementari è sempre uguale
a 1.