Elementi di calcolo delle probabilità

Elementi di calcolo
delle probabilità
La parte della matematica che studia gli
avvenimenti legati al caso, al fine di stabilire
quale possibilità di verificarsi hanno tali
avvenimenti, prende il nome di
CALCOLO DELLE PROBABILITA’
Come scienza autonoma il C.d.P. nacque nel ‘600 per merito di
Blaise Pascal, che iniziò ad occuparsi di alcune questioni connesse
al gioco d’azzardo; in seguito si occuparono di questo settore,
studiosi come FERMAT, NEWTON, LEIBNITZ e LAPLACE
Gli avvenimenti che hanno risultato
incerto, perché sono legati al caso, si
dicono AVVENIMENTI CASUALI o
ALEATORI
Ogni possibile risultato di un avvenimento
casuale si dice
EVENTO SEMPLICE o ELEMENTARE
Tutti gli eventi semplici che possono verificarsi
come risultato di un avvenimento casuale, si dicono
CASI POSSIBILI dell’avvenimento casuale
Se tutti i casi possibili hanno la stessa possibilità
di verificarsi si dicono UGUALMENTE PROBABILI
Se si considera uno degli eventi semplici di un
avvenimento casuale, fra tutti i casi possibili,
quelli che verificano l’evento considerato, si dicono
CASI FAVOREVOLI
DEFINIZIONE CLASSICA
di
PROBABILITA’
In un avvenimento casuale la probabilità p(E) di un evento
semplice E è il rapporto fra il numero dei casi favorevoli all’evento
E e il numero di casi possibili, purchè siano tutti egualmente
possibili
p(E)=numero casi favorevoli/numero casi possibili
Se un evento si verifica sempre, si dice CERTO
e la sua probabilità vale 1
Se un evento non si verifica mai, si dice
IMPOSSIBILE
e la sua probabilità vale 0
La probabilità di un evento quindi è sempre un
numero compreso fra 0 ed 1
La probabilità può anche essere espressa in forma
percentuale moltiplicando per 100 il suo valore
numerico
Dato un evento E di un avvenimento casuale, si
dice evento contrario di E l’evento che si verifica
quando non si verifica E
Se si indica con U l’insieme dei casi possibili e con
A l’insieme dei casi favorevoli a un evento E,
l’insieme dei casi favorevoli all’evento contrario
è il complementare di A rispetto ad U.
U
A
C(A)
Un evento che è unione o intersezione di due
eventi semplici E1 e E2 si dice EVENTO
COMPOSTO
E1= esce un asso
E2= esce una figura
E1  E2=esce un asso o una figura
E1  E2=esce un asso e una figura
Due eventi semplici di uno stesso avvenimento casuale si
dicono fra loro INCOMPATIBILI se, nella stessa prova, il
verificarsi di uno di essi esclude il verificarsi dell’altro
Ad esempio, nel lancio di un dado, gli eventi semplici :
E1=“esce 5”
E2=“esce un numero minore di 3”
sono fra loro incompatibili
Due eventi semplici si dicono COMPATIBILI se il verificarsi
dell’uno non esclude il verificarsi dell’altro
Ne caso dell’estrazione di una carta da un mazzo i due eventi:
E1=“esce una carta di cuori”
E2=“esce una figura”
PROBABILITA’ TOTALE DI UN EVENTO UNIONE DI
DUE EVENTI INCOMPATIBILI
p(E1UE2)=p(E1)+p(E2)
PROBABILITA’ TOTALE DI UN EVENTO UNIONE DI
DUE EVENTI COMPATIBILI
p(E1UE2)=p(E1)+p(E2)-p(E1  E2)
Dati due eventi E1ed E2, se il verificarsi dell’uno
non incide sulla possibilità che si verifichi l’altro,
i due eventi si dicono INDIPENDENTI
Se il verificarsi di E1 influisce sul verificarsi di E2
i due eventi si dicono DIPENDENTI
PROBABILITA’ COMPOSTA DI UN EVENTO
INTERSEZIONE DI DUE EVENTI INDIPENDENTI
p(E1E2)=p(E1)·p(E2)
PROBABILITA’ COMPOSTA DI UN EVENTO
INTERSEZIONE DI DUE EVENTI DIPENDENTI
p(E1 E2)=p(E1)·p(E2|E1)
dove p(E2\E1)
prende il nome di probabilità condizionata di E2
rispetto ad E1 e rappresenta la probabilità che si
verifichi E2 dopo che si è verificatoE1
Eventi
Eventi incompatibili
Eventi compatibili
Eventi indipendenti
Eventi dipendenti
PROBABILITA’
SPERIMENTALE
O
STATISTICA
La concezione classica di probabilità
fornisce una probabilità a priori, cioè una
probabilità che si determina prima che
l’evento si verifichi.
La probabilità sperimentale fornisce
invece una probabilità a posteriori perchè
si ottiene dopo aver effettuato un elevato
numero di prove dell’avvenimento casuale
al quale l’evento si riferisce
LA FREQUENZA



Consideriamo un esperimento costituito da un numero n di prove
effettuate tutte nelle medesime condizioni. Supponiamo
che un evento E si verifichi h volte , si chiama frequenza relativa f il
rapporto fra il numero di successi ed il numero di prove.
f=h/n con 0≤f≤1
E’ evidente che la frequenza relativa di un
evento assume valori diversi fra loro, e ciò
si verifica quando il numero delle prove
effettuate
non
è
elevato.
Si può però verificare sperimentalmente
che se il numero delle prove aumenta, la
frequenza relativa all’evento E tende a
stabilizzarsi su un valore ben preciso.
Si definisce probabilità sperimentale (o
statistica) di un evento, la frequenza
relativa dell’evento, calcolata in un
numero sufficientemente elevato di prove,
effettuate tutte nelle stesse condizioni
La probabilità sperimentale si
può calcolare ogni volta che si
possono effettuare delle prove
reali dell’avvenimento
LA
LEGGE
DEI
GRANDI
NUMERI
(legge
empirica
del
caso)
In una serie molto elevata di prove, effettuate
tutte nelle stesse condizioni, la probabilità
sperimentale di un evento assume un valore
generalmente molto prossimo a quello della
probabilità classica e tale approssimazione
aumenta all’aumentare del numero delle prove