Esercizi su VA continue 1. Supponiamo che durante gli

Esercizi su V.A. continue
1. Supponiamo che durante gli allenamenti un giocatore di pallacanestro faccia canestro il 75%
delle volte che effettua un tiro libero. Sia X il numero minimo di tiri liberi che il giocatore deve
effettuare per fare un totale di n=10 canestri.
2. Due amici Mario e Giacomo fanno un gioco con le carte napoletane. Il mazzo contiene 40 carte,
10 di ogni seme. Estraggono 2 carte ciascuno a turno. Comincia Mario. Vince chi estrae per la
prima volta l'asso di denari oppure due carte di bastoni. Dopo aver estratto le due carte, le
rimettono nel mazzo e lo rimescolano.
a. Che probabilità ha Mario di vincere alla sua terza prova?
b. Che probabilità ha Mario di vincere? E Giacomo?
3. Secondo certe stastistiche sugli Stati Uniti, il tasso annuo di annegamenti accidentali è di 3 su
100.000 abitanti. Determiniamo la probabilità che, in una città con popolazione pari a 200.000
abitanti, non ci siano annegamenti in un anno e la probabilità che ci siano almeno 3
annegamenti in un anno.
4. Ad una segreteria telefonica di un ufficio arrivano nuove telefonate con un tasso di 2 telefonate
ogni 3 minuti. Vogliamo determinare la probabilità che arrivino 5 o più telefonate in 9 minuti.
5. Il numero di uova prodotte in un allevamento è rappresentato da una variabile aleatoria X,
Poissoniana di parametro . Per difetto del dispositivo di raccolta, ciascun uovo ha probabilità p
di rompersi. Sia Y la variabile aleatoria che conta il numero di uova che restano intatte per la
vendita. Qual è la distribuzione di Y?
6. Il numero di emissioni di un geyser in un giorno è distribuito secondo una legge di Poisson di
parametro 18. Calcolare:
a. il numero medio di emissioni che si osservano in un'ora
b. la probabilità che in 10 ore si osservino esattamente 3 emissioni, almeno 3 emissioni, al
massimo 3 emissioni
c. la probabilità che la prima emissione avvenga dopo più di 5 ore
d. secondo quale legge è distribuito l'istante in cui avviene la quarta emissione?
7. Un broker di borsa possiede due telefonini, uno per le chiamate dall'Italia e uno per quelle
dall'estero. Mediamente sul celluulare italiano arrivano 18 chiamate all'ora, su quello estero solo
5. Si assuma che le v.a. I, E che rappresentano il numero di chiamate in un'ora sui rispettivi
cellulari seguano delle leggi di Poisson.
a. Qual è la probabilità che in un'ora sul cellulare estero non arrivino chiamate? E su quello
italiano?
b. Qual è la probabilità che in un'ora sul cellulare estero arrivino più di 2 chiamate?
c. Sia I' la variabile aleatoria che conta il numero di chiamate sul cellulare italiano in un quarto
d'ora. Quale legge seguirà I'?
8. In un lungo manoscritto, si è scoperto che il 13.5% delle pagine contiene errori tipografici. Se
assumiamo che il numero di errori per pagina sia una variabile aleatoria distribuita secondo una
legge Poissoniana, determinare la frazione di pagine che contengono esattamente un errore.
9. I fili d’erba di un prato hanno una lunghezza che è distribuita uniformemente tra una lunghezza
minima di 2 cm e una lunghezza massima incognita lmax . Sapendo che il 25% dei fili d’erba ha
una lunghezza minore di 2.8 cm, determinare lmax.
10. Data una variabile X ∼ N (0, 1), calcolare le probabilità che X assuma valori compresi tra -0.5 e
1.1.
11. I chiodini in una scatola hanno una lunghezza L che può essere considerata distribuita secondo
una legge normale di media 4 cm e di varianza 1 mm2 . Calcolare la probabilità che L sia
minore di 3.8 cm, e la probabilità che L sia maggiore di 4.2 cm.
12. Il tempo necessario a Gianni per coprire il percorso casa-ufficio è una variabile aleatoria di
legge normale. Se il tempo medio è di 30 minuti e la probabilità di coprire il percorso in più di
40 minuti è 0.1, quanto vale la probabilità di impiegare più di 50 minuti per fare il percorso?
13. La durata in ore di una lampadina segue una legge normale di media 2000 e deviazione standard
σ. Se un acquirente richiede che almeno il 90% di esse abbia una durata superiore alle 1500 ore,
qual è il valore massimo che σ può assumere per soddisfare la richiesta? E se invece la vita è
esponenziale di parametro λ come deve essere λ?
14. E' noto che ad un centralino telefonico arrivano in media 20 chiamate ogni dieci minuti.
a. Qual è la probabilità che in dieci minuti arrivino 10 chiamate?
b. Qual è il numero atteso di chiamate in un intervallo di tempo di un'ora?
c. Qual è la probabilità che nell'intervallo di un minuto non arrivi nessuna chiamata?
15. In un certo tratto autostradale, nel mese di agosto si sono rilevati gli incidenti stradali con
almeno un ferito. Sia X la variabile aleatoria Poissoniana che descrive il numero di feriti escluso
il conducente. Sapendo che P(X=0)=0.1353, P(X=1)=0.2706,
a. si scriva la funzione di probabilità di X
b. si calcoli la probabilità che ci sia almeno un ferito, escluso il conducente
c. si calcoli la probabilità che ci siano esattamente tre feriti, escluso il conducente.
16. Il numero medio di automobili che si presentano ad un autolavaggio automatico è pari a 5 in un
intervallo temporale di 10 minuti.
a. Si calcoli la probabilit` che almeno un’auto si presenti all’autolavaggio in un periodo di due
minuti;
b. si calcoli il numero atteso di automobili in un intervallo temporale di mezz’ora;
c. si calcoli la probabilità che si presentino esattamente due automobili in 10 minuti.
17. Ad una reception di una compagnia aerea si presentano in media 10 clienti ogni 20 minuti.
a. Si scriva la funzione di probabilità della variabile aleatoria che conta il numero di
viaggiatori che si presentano alla reception nell’intervallo di tempo considerato.
b. Qual è la probabilità che in un intervallo di due minuti non si presenti nessun cliente?
c. Qual è la probabilità che in un intervallo di 5 minuti si presenti almeno un cliente?
18. Si supponga che il numero di chiamate che arrivano ogni secondo ad un centralino telefonico
sia una variabile di Poisson con media 5.
a. Determinare la probabilità che in un determinato secondo non arrivi nessuna chiamata.
b. Suppondendo che il centralino sia in grado di soddisfare non pi` di 3 chiamate al secondo,
calcolare la probabilità di trovarlo occupato.
19. Una coppia di sposi non sa se comprare casa subito o di aspettare un anno, nel qual caso
l’incremento di prezzo può essere oltre le loro disponibilità. La loro previsione è che, se
aspettano un anno, l’incremento di prezzo sarà approssimativamente normale, con media 8% e,
riflettendo l’incertezza del mercato, deviazione standard 10%.
a. Se il prezzo cresce oltre il 25% non possono acquistare casa. Qual è la probabilità che ciò
avvenga?
b. D’altro canto, se il prezzo scende la loro scommessa di aspettare un anno viene premiata.
Con quale probabilità si verifica?
20. Il tempo necessario per completare un compito d’esame è distribuito come una normale di
media 110 minuti e deviazione standard 20 minuti.
a. Qual è la frazione di studenti che finisce il compito entro 2 ore?
b. Quando si dovrebbe interrompere il compito per consentire al 90% degli studenti di
completarlo?
21. Le lavatrici di una azienda hanno durata media di 5 anni e varianza 64 mesi2. Assumendo che la
distribuzione della durata segua una distribuzione normale:
a. si stabilisca quale garanzia l’azienda deve offrire alla clientela in modo che durante il
periodo di garanzia l’azienda sia chiamata a riparare solo lo 0.1% delle lavatrici vendute;
b. si determini la percentuale di macchine che l’azienda dovrà riparare nel caso in cui la
garanzia è fissata a 2 anni.
22. Un’industria adotta per la propria produzione due diversi cicli produttivi. In particolare, il 25%
della produzione giornaliera deriva dal primo ciclo e il restante 75% dal secondo. Definendo
con X e Y , le variabili casuali associate alla produzione giornaliera, rispettivamente del primo e
del secondo ciclo produttivo, e conoscendo che X ∼ N (1200, 64) e Y ∼ N (1230, 100)
determinare la probabilità che la produzine giornaliera complessiva dell’industria sia compresa
tra 1200 e 1220.
23. Un autore ha stipulato un contratto con un editore per la pubblicazione di un libro, secondo il
quale riceve una somma forfettaria di lire 2 milioni più lire 2000 per ogni copia venduta.
L’autore ritiene che il numero delle copie vendute possa essere rappresentato da una variabile
casuale normale di media 40000 e deviazione standard 10000. Qual è la probabilità che l’autore
riceva dall’editore una somma superiore a 40 milioni?
24. In una sala cinematografica si svolgono due spettacoli serali per 280 giorni l’anno. Sia X il
numero di spettatori presenti ad un dato spettacolo e si supponga che E(X) = 60 e V ar(X) =
900. Supponendo che P (X < 40) = 0.4 e P (X > 120) = 0.005 e considerando i 4 spettacoli che
hanno luogo in due giorni successivi, calcolare sotto l’ipotesi di indipendenza la probabilità:
a. non più di una volta ci siano meno di 40 spettatori;
b. almeno una volta ci siano più di 120 spettatori;
c. in due spettacoli ci siano meno di 40 spettatori;
d. in uno spettacolo ci siano più di 120 spettatori.
25. Il tempo di vita di un componente elettronico dipende dalla concentrazione di silicio nel
materiale di cui è fatto: più precisamente esso ha legge esponenziale di parametro λ, dove λ è
appunto il valore di tale concentrazione. Una macchina produce questi componenti, ma nel
processo produttivo non è possibile controllare la concentrazione di silicio che pertanto si può
considerare una variabile aleatoria, che indicheremo con Λ, uniformemente distribuita su [0, 1].
Indichiamo con Y il tempo di vita del componente prodotto. Qual è la legge di Y ?
26. Il tempo occorrente per effettuare un’operazione presso uno sportello bancario è un variabile
aleatoria esponenziale con valore atteso pari a 6 minuti. Si calcoli la probabilità che un cliente
a. impieghi più di 10 minuti per effettuare l’operazione;
b. resti allo sportello per meno di 5 minuti;
c. stia allo sportello per più di 10 minuti, essendoci già rimasto per più di 4 minuti.
27. Il peso delle confezioni di pasta alimentare della ditta Alfa ha una distribuzione normale di
media μ = 1 chilogrammo e scarto quadratico medio σ = 0.009 chilogrammi. Si determini la
probabilità che:
a. una confezione scelta a caso abbia un peso inferiore a 950 grammi;
b. una confezione scelta a caso abbia un peso compreso nell’intervallo [μ − 3σ, μ + 3σ];
c. fra 10 confezioni scelte a caso ce ne siano almeno 2 che pesano meno di (μ − 3σ) oppure più
di (μ + 3σ).
28. Il tempo necessario, in un distributore di benzina, per fornire assistenza ad un’automobile, si
distribuisce in maniera normale con media μ = 4.5 minuti e scarto quadratico medio σ = 1.1
minuti. Qual è la probabilità che un’automobile selezionata a caso richieda
a. più di 6 minuti o meno di 5 minuti di asistenza?
b. tra i 3 e i 4 minuti di assistenza?
c. al massimo 5.5 minuti di assistenza?
29. Il peso delle confezioni di pasta alimentare della ditta Alfa ha una distribuzione normale di
media μ = 0.5 chilogrammo e una varianza σ 2 = 0.000025 chilogrammi. Si determini la
probabilità che:
a. una confezione scelta a caso abbia un peso inferiore a 455 grammi;
b. una confezione scelta a caso abbia un peso compreso nell’intervallo [μ − 2σ, μ + 2σ];
c. fra 10 confezioni scelte a caso ce ne siano almeno 2 che pesano meno di (μ − 2σ) oppure più
di (μ + 2σ).
30. Il peso delle confezioni di biscotti prodotte giornalmente da una macchina segue una
distribuzione Normale di media μ = 1 e varianza σ 2 = 0.10(valori espressi in chili).
a. Determinare la probabilit` P [1.2 < X < 1.5].
b. Sapendo che una scatola viene scartata se il suo peso risulta esterno all’intervallo [0.98 −
1.02] determinare la percentuale di scatole che verranno scartate in un giorno.
31. Un grande gruppo bancario ha effettuato un’indagine sulla sua utenza stabilendo che il tempo
medio di attesa per evere una consulenza da parte di un operatore finanziario è di 10 minuti.
Utilizzando una opportuna variabile aleatoria per descrivere il tempo di attesa, si calcoli la
probablità che il tempo di attesa
a. sia superiore a 15 minuti;
b. sia compreso tra i 5 e i 7 minuti
c. Se 75% delle operazioni bancarie prevede un tempo di attesa più lungo di 20 minuti la
banca decide di aprire una nuova postazione. Si dica cosa accadrebbe in questo caso.
32. In una certa scuola i voti in matematica degli studenti seguono una distribuzione Normale di
media μ = 8 e scarto quadratico medio σ = 1.
a. Qual è la probabilità che uno studente selezionato a caso abbia un voto compreso tra 6 e 7?
b. E’ noto che uno studente potrà accedere ad una borsa di studio solo se il suo voto sarà
superiore o uguale a 9.5.
c. Si dica qual è la percentuale di studenti che in questa scuola riceveranno una borsa di studio.
33. Un’analisi statistica sulle chiamate extraurbane effettuate in un grosso studio commerciale
mostra che la durata delle medesime segue una distribuzione normale di media μ = 240 secondi
e di scarto quadratico medio σ = 40 secondi.
a. Qual è la probabilità che una chiamata duri meno di 180 secondi?
b. Qual è la probabilità che una particolare chiamata sia durata tra i 180 e i 300 secondi?
c. Qual è la durata di una chiamata se soltanto l’1% di tutte le chiamate è più breve?
34. E’ noto che il tempo di vita medio di un certo dispositivo è pari a 290 ore. Supponendo che il
tempo di vita medio sia distribuito normalmente, qual è il massimo valore che deve avere lo
scarto σ se si vuole che la probabilità che un dispositivo abbia vita compresa tra 250 e 330 ore
sia del 95%?
35. Un'azienda stipula un contratto per vendere barattoli di conserva da 500g. La quantità di
conserva X messa in ciascun barattolo è predeterminata meccanicamente ed è normalmente
distribuita con media μ e deviazione standard 25g. A quale valore minimo μ deve essere tarata
la macchina, perché non più del 2% dei barattoli contenga meno di 500g di conserva?