esercizio 1

UNIVERSITA’ CARLO CATTANEO
Corso di laurea in Economia Aziendale
Prova di Statistica I – 1 febbraio 2005
Modalità A (SOLUZIONI)
COGNOME………………………………NOME………………………………MATR…………..
ESERCIZIO 1 (6 punti)
Un legno per parquet viene venduto in confezioni da un metro quadrato; ogni confezione è venduta come
legno di prima scelta se presenta difetti su una superficie inferiore a 10 cmq (centimetri quadrati),
altrimenti è venduta come legno di seconda scelta. La variabile aleatoria X che indica la superficie
difettata di una confezione ha distribuzione normale con media 9 e varianza 1.
a) Si calcoli la probabilità che una confezione di legno scelta a caso sia venduta come legno di I
scelta. (2 punti)
b) Il prezzo di una confezione di I scelta è 30 euro, quello di una confezione di II scelta 20 euro. Si
determini la funzione di probabilità della variabile aleatoria Y:”prezzo della confezione scelta a
caso”. (2 punti)
c) Si estraggono a caso 4 confezioni. Si calcoli la probabilità che almeno tre di queste siano di I
scelta. (2 punti)
a) P(X<10)=P(X-9<10-9)=P(Z<1)=0.8413.
0.8413 y  30

b) p( y )  0.1587 y  20
 0
altrove

c) Il numero di confezioni, sulle 4 estratte, di I scelta è una variabile aleatoria T con distribuzione
binomiale di parametri 4 e 0.8413. Quindi
4!
4!
P(T  3)  P(T  3)  P(T  4) 
0.841330.15871 
0.84134 0.1587 0  0.8789.
3!1!
4!0!
ESERCIZIO 2 (4 punti)
Assumiamo che la distribuzione dei redditi superiori a 20 (in migliaia di euro) sia modellata da una
variabile aleatoria la cui densità è
 800

x  20
f ( x)   x 3
.

x  20
 0
a) Si calcoli la probabilità che un’individuo scelto a caso (tra coloro che hanno reddito superiore a
20) abbia reddito inferiore a 30. (2 punti)
b) Si calcoli il reddito medio tra coloro che hanno reddito superiore a 20 (ovvero, il valore atteso
della variabile aleatoria la cui densità è quella riportata sopra). (2 punti)
 
30
a) P( X  30)   800 / x 3dx  400 x 2
30
20
 400(
20


b) E ( X ) 
5
)  5 / 9.
3600
 x800 / x dx  800x 
3
20
1
 40.
20
ESERCIZIO 3 (4 punti)
Si consideri un vettore aleatorio (X,Y) con funzione di probabilità congiunta:
0.1  x, y    1,1

0.2  x, y    1, 1 ,  0,1 , 1, 1
p ( x, y )  
0.3  x, y    0, 1
0
altrove

a) Si calcoli P(X<1,Y=-1). (2 punti)
b) Si determini la funzione di probabilità della variabile aleatoria Z=XY. (2 punti)
a) P(X<1,Y=-1)= 0.2+0.3=0.5.
0.3 z  1
0.5 z  0

b) p( z )  
0.2 z  1
 0 altrove
ESERCIZIO 4 (8 punti)
Un negozio effettua un inventario e raggruppa gli articoli in vendita, in base al loro prezzo, in 3 classi,
ottenendo la seguente distribuzione di frequenza
Prezzo(intervallo)
[0,10)
[10,30)
[30,100)
Frequenze relative
0.5
0.3
0.2
a) Si calcoli la mediana del carattere in esame. (3 punti)
b) Si disegni un’opportuna rappresentazione grafica della distribuzione in esame.(4 punti)
c) Sulla base delle risposte a) e b), si dica se la distribuzione puo’ essere considerata
approssimativamente simmetrica oppure no. (1 punto)
a) La mediana del carattere è 10.
b) La rappresentazione grafica è l’istogramma.
ISTOGRAMMA 1
0,05
0,04
Densità
0,03
0,02
0,01
0
0
10
30
100
Variabile X
c) La distribuzione è obliqua a destra.
ESERCIZIO 5 (4 punti)
In una piccola città operano 4 taxi. In una settimana, il primo taxi ha effettuato 30 viaggi, il secondo 25
viaggi, il terzo 28 viaggi, il quarto 2 viaggi.
a) Si scrivano le coordinate della curva di concentrazione del numero di viaggi effettuati nella
settimana. (2 punti)
b) Si calcoli un opportuno indice di concentrazione e, sulla base di questo, si dica se la
concentrazione è da ritenersi bassa, media oppure alta. (2 punti)
a)
F
0
0.25
0.5
0.75
1
Q
0
2/85
27/85
55/85
1
4
b)
R
 (F  Q )
i
i
1
3
F

0.51
 0.34. La concentrazione è di livello medio-basso.
1.5
i
1
ESERCIZIO 6 (4 punti)
Sia X una variabile aleatoria con valore atteso 3 e varianza 4.
a) Si calcoli il valore atteso della variabile aleatoria Y=2-5X. (2 punti)
b) Si calcoli lo scarto quadratico medio della variabile aleatoria Z=3-X. (2 punti)
a) E(Y)=E(2-5X)=2-5E(X)=2-15=-13.
b) Var(Z)=Var(3-X)=Var(X)=4, per cui lo scarto quadratico medio di Z è 2.