http://francescomarchi.wordpress.com http://francescomarchi.wordpress.com LEZIONI ED ESERCITAZIONI DI MATEMATICA Prof. Francesco Marchi1 Esercitazione su: la parabola nel piano cartesiano Indice 1 Parabola [3] 1.1 Associazione grafico-equazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Applicazione di formule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Determinazione di vertice, fuoco, direttrice, assi, intersezioni con gli assi 1.3 Applicazione di metodi standard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Mutua posizione di retta e parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Tangenti condotte ad una parabola da un punto esterno . . . . . . . . . 1.3.3 Formula di sdoppiamento per le tangenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Problemi di determinazione dell’equazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Problemi geometrici vari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1 Esercizio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Problemi in cui è necessario introdurre un’incognita . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.1 Esercizio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.2 Esercizio 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7 Dimostrazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.1 Esercizio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Riferimenti bibliografici 1 . . . . . . . . . . . . cartesiani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 2 2 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 5 5 Per altri materiali didattici o per informazioni: Blog personale: http://francescomarchi.wordpress.com/ Indirizzo email: [email protected] 1 http://francescomarchi.wordpress.com http://francescomarchi.wordpress.com 1 1.1 Parabola [3] Associazione grafico-equazione Si considerino le parabole rappresentate nei grafici di Figura 1. Abbinare tali grafici alle equazioni seguenti (es.: 1D, 2C . . . ): 1.2 1.2.1 1 2 1 𝑥 − 𝑥 + 12 20 2 (4) (2) 𝑥 − 𝑦2 − 5 = 0 (5) (3) 𝑦2 = 𝑥 + 5 (6) 3𝑥2 = 𝑦 − 10𝑥 − 12 (1) 3𝑥2 + 12 = −10𝑥 − 𝑦 12 = 10𝑥 + 𝑦 − 3𝑥2 𝑦= Applicazione di formule Determinazione di vertice, fuoco, direttrice, assi, intersezioni con gli assi cartesiani Per le parabole elencate qui di seguito: determinare vertice, fuoco, direttrice, assi, intersezioni con gli assi cartesiani; rappresentarle in un piano cartesiano. 𝑦 = −𝑥2 + 6𝑥 − 5 2 𝑦 = 𝑥 − 2𝑥 1 𝑥 = − 𝑦2 2 (11) 𝑥 = 4 − 𝑦2 (12) 𝑥 = −𝑦 2 + 2𝑦 − 1 (13) 𝑥 = 2𝑦 2 − 3𝑦 (14) (8) 3 𝑦 = −𝑥 + 2 (9) 1 2 𝑥 − 3𝑥 + 2 2 (10) 2 𝑦= (7) 2 http://francescomarchi.wordpress.com http://francescomarchi.wordpress.com (a) (b) (c) (d) (e) (f) Figura 1 3 http://francescomarchi.wordpress.com http://francescomarchi.wordpress.com 1.3 1.3.1 Applicazione di metodi standard Mutua posizione di retta e parabola Si considerino le parabole elencate di seguito e le rette scritte a fianco. Per ciascuna di esse, si determini: se la retta è esterna, tangente o secante; le coordinate degli eventuali punti di intersezione. 𝑦 = 𝑥2 − 4; 𝑦 = −2𝑥 + 4 (15) 𝑦 = 𝑥2 − 2𝑥 + 1; 𝑦 = −𝑥 + 1 (16) 1 2 𝑥 ; 2 𝑦 = 2𝑥 − 2 (17) 𝑦= 𝑦 = 𝑥2 + 6𝑥 + 9; 𝑦=0 (18) 1 2 (19) 1 𝑦 =− 𝑥+2 2 (20) 𝑦 = 𝑥2 − 4𝑥; 𝑦 = −𝑥 + 1 𝑦 = −𝑥2 − 𝑥; 2 1.3.2 Tangenti condotte ad una parabola da un punto esterno Condurre le tangenti alle parabole elencate qui di seguito, dai punti ad esse esterni, indicati di fianco: 𝑦 = 𝑥2 − 4; 𝑦 = 𝑥2 − 2𝑥 + 1; 1.3.3 𝑃 (2, −4) (21) 𝑃 (−1, −1) (22) Formula di sdoppiamento per le tangenti Utilizzando la formula cosiddetta di sdoppiamento, condurre le tangenti alle parabole elencate qui di seguito, nei loro punti di ascissa indicata a fianco. Determinare poi l’equazione della normale alla parabola in quel punto. 𝑦 = 2𝑥2 − 4𝑥; 𝑦 = −𝑥2 − 3𝑥 − 1; 1.4 𝑥𝑃 = 3 (23) 𝑥𝑃 = −1 (24) Problemi di determinazione dell’equazione Nota: i problemi di questa sezione possono essere anche svolti nelle seguenti varianti: ∙ Determinare il numero di soluzioni (nessuna, una, due, . . . , infinite), senza risolvere il problema. Nel caso siano possibili più soluzioni, illustrarne, graficamente, almeno un paio. ∙ Illustrare, per punti, la procedura di soluzione dell’esercizio, senza svolgere alcun calcolo. Sono contrassegnati con un asterisco quei problemi che ammettono infinite soluzioni e sono, pertanto, indeterminati. 4 http://francescomarchi.wordpress.com http://francescomarchi.wordpress.com Determinare l’equazione delle parabole della forma 𝒫 : 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 che soddisfano le condizioni indicate di seguito. 𝑉 denota sempre il vertice, 𝐹 il fuoco, 𝑑 la direttrice; 𝐴, 𝐵, 𝑃 . . . punti generici; 𝑟, 𝑠 . . . rette generiche. ∙ Passaggio per punti – Passante per i punti 𝐴(−2, −3), 𝐵(0, 1), 𝐶(6, −11). – Passante per i punti 𝐴(4, −1), 𝐵(3, 7), 𝐶(4, 5). – Passante per i punti 𝐴(2, 3), 𝐵(0, 6). ∙ Vertice e un punto: 𝑉 (0, 0), 𝑃 (3, 2); 𝑉 (−2, 1), 𝑃 (0, 3). ∙ Due elementi a scelta: 𝐹 (1, −1), 𝑑 : 𝑦 = 0. 𝑉 (2, 1), 𝐹 (2, 0). 𝑉 (0, 2), 𝑑 : 𝑥 = −1. ∙ Con condizioni di tangenza: – V(-1,2); tangente a 𝑟 : 𝑦 = 2𝑥 + 3 ) ( – Tangente all’asse 𝑥 e a 𝑟 : 𝑦 = 2𝑥; passante per 𝑃 − 1, 41 1.5 1.5.1 Problemi geometrici vari Esercizio 1 Determina la retta parallela alla bisettrice del II e IV quadrante che stacca sulla parabola di equazione √ 𝑦 = 𝑥2 − 𝑥 + 3 una corda di misura 2 6. 1.6 1.6.1 Problemi in cui è necessario introdurre un’incognita Esercizio 1 Determina i vertici del rettangolo di perimetro 13/2 inscritto nel segmento parabolico limitato dalla parabola di equazione 𝑦 = 𝑥2 − 5𝑥 + 4 e dall’asse x. 1.6.2 Esercizio 2 Determina i vertici del rettangolo inscritto nel segmento parabolico limitato dalla parabola di equazione 𝑥 = 12 𝑦 2 − 2 e dall’asse 𝑦, avente il lato parallelo all’asse 𝑦 doppio del lato parallelo all’asse 𝑥. 1.7 1.7.1 Dimostrazioni Esercizio 1 Si dia la definizione geometrica di parabola. A partire da tale definizione, ricavare l’equazione canonica di una parabola nel piano cartesiano. Riferimenti bibliografici [1] Il paesaggio matematico verde. Vol. 3. Fico, M.; Cariani, G.; Mattina, S.; Goglio, S.; LOESCHER, 2008 [2] Itinerari nella matematica. Vol. 1, Zwirner, G.; Scaglianti, L. CEDAM, 1989. [3] Corso di matematica a colori. Vol. 1, Sasso, L., Petrini, 2008 5