La parabola nel piano cartesiano

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LEZIONI ED ESERCITAZIONI DI MATEMATICA
Prof. Francesco Marchi1
Esercitazione su: la parabola nel piano cartesiano
Indice
1 Parabola [3]
1.1 Associazione grafico-equazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Applicazione di formule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Determinazione di vertice, fuoco, direttrice, assi, intersezioni con gli assi
1.3 Applicazione di metodi standard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Mutua posizione di retta e parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Tangenti condotte ad una parabola da un punto esterno . . . . . . . . .
1.3.3 Formula di sdoppiamento per le tangenti . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Problemi di determinazione dell’equazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Problemi geometrici vari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1 Esercizio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Problemi in cui è necessario introdurre un’incognita . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.1 Esercizio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.2 Esercizio 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7 Dimostrazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7.1 Esercizio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Riferimenti bibliografici
1
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cartesiani
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2
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Per altri materiali didattici o per informazioni:
Blog personale: http://francescomarchi.wordpress.com/
Indirizzo email: [email protected]
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1
1.1
Parabola [3]
Associazione grafico-equazione
Si considerino le parabole rappresentate nei grafici di Figura 1. Abbinare tali grafici alle equazioni seguenti
(es.: 1D, 2C . . . ):
1.2
1.2.1
1 2 1
𝑥 − 𝑥 + 12
20
2
(4)
(2)
𝑥 − 𝑦2 − 5 = 0
(5)
(3)
𝑦2 = 𝑥 + 5
(6)
3𝑥2 = 𝑦 − 10𝑥 − 12
(1)
3𝑥2 + 12 = −10𝑥 − 𝑦
12 = 10𝑥 + 𝑦 − 3𝑥2
𝑦=
Applicazione di formule
Determinazione di vertice, fuoco, direttrice, assi, intersezioni con gli assi cartesiani
Per le parabole elencate qui di seguito: determinare vertice, fuoco, direttrice, assi, intersezioni con gli
assi cartesiani; rappresentarle in un piano cartesiano.
𝑦 = −𝑥2 + 6𝑥 − 5
2
𝑦 = 𝑥 − 2𝑥
1
𝑥 = − 𝑦2
2
(11)
𝑥 = 4 − 𝑦2
(12)
𝑥 = −𝑦 2 + 2𝑦 − 1
(13)
𝑥 = 2𝑦 2 − 3𝑦
(14)
(8)
3
𝑦 = −𝑥 +
2
(9)
1 2
𝑥 − 3𝑥 + 2
2
(10)
2
𝑦=
(7)
2
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(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
Figura 1
3
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1.3
1.3.1
Applicazione di metodi standard
Mutua posizione di retta e parabola
Si considerino le parabole elencate di seguito e le rette scritte a fianco. Per ciascuna di esse, si determini:
se la retta è esterna, tangente o secante; le coordinate degli eventuali punti di intersezione.
𝑦 = 𝑥2 − 4;
𝑦 = −2𝑥 + 4
(15)
𝑦 = 𝑥2 − 2𝑥 + 1;
𝑦 = −𝑥 + 1
(16)
1 2
𝑥 ;
2
𝑦 = 2𝑥 − 2
(17)
𝑦=
𝑦 = 𝑥2 + 6𝑥 + 9;
𝑦=0
(18)
1
2
(19)
1
𝑦 =− 𝑥+2
2
(20)
𝑦 = 𝑥2 − 4𝑥;
𝑦 = −𝑥 +
1
𝑦 = −𝑥2 − 𝑥;
2
1.3.2
Tangenti condotte ad una parabola da un punto esterno
Condurre le tangenti alle parabole elencate qui di seguito, dai punti ad esse esterni, indicati di fianco:
𝑦 = 𝑥2 − 4;
𝑦 = 𝑥2 − 2𝑥 + 1;
1.3.3
𝑃 (2, −4)
(21)
𝑃 (−1, −1)
(22)
Formula di sdoppiamento per le tangenti
Utilizzando la formula cosiddetta di sdoppiamento, condurre le tangenti alle parabole elencate qui di
seguito, nei loro punti di ascissa indicata a fianco. Determinare poi l’equazione della normale alla parabola
in quel punto.
𝑦 = 2𝑥2 − 4𝑥;
𝑦 = −𝑥2 − 3𝑥 − 1;
1.4
𝑥𝑃 = 3
(23)
𝑥𝑃 = −1
(24)
Problemi di determinazione dell’equazione
Nota: i problemi di questa sezione possono essere anche svolti nelle seguenti varianti:
∙ Determinare il numero di soluzioni (nessuna, una, due, . . . , infinite), senza risolvere il problema.
Nel caso siano possibili più soluzioni, illustrarne, graficamente, almeno un paio.
∙ Illustrare, per punti, la procedura di soluzione dell’esercizio, senza svolgere alcun calcolo.
Sono contrassegnati con un asterisco quei problemi che ammettono infinite soluzioni e sono, pertanto,
indeterminati.
4
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Determinare l’equazione delle parabole della forma 𝒫 : 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 che soddisfano le condizioni
indicate di seguito.
𝑉 denota sempre il vertice, 𝐹 il fuoco, 𝑑 la direttrice; 𝐴, 𝐵, 𝑃 . . . punti generici; 𝑟, 𝑠 . . . rette generiche.
∙ Passaggio per punti
– Passante per i punti 𝐴(−2, −3), 𝐵(0, 1), 𝐶(6, −11).
– Passante per i punti 𝐴(4, −1), 𝐵(3, 7), 𝐶(4, 5).
– Passante per i punti 𝐴(2, 3), 𝐵(0, 6).
∙ Vertice e un punto: 𝑉 (0, 0), 𝑃 (3, 2); 𝑉 (−2, 1), 𝑃 (0, 3).
∙ Due elementi a scelta: 𝐹 (1, −1), 𝑑 : 𝑦 = 0. 𝑉 (2, 1), 𝐹 (2, 0). 𝑉 (0, 2), 𝑑 : 𝑥 = −1.
∙ Con condizioni di tangenza:
– V(-1,2); tangente a 𝑟 : 𝑦 = 2𝑥 + 3
)
(
– Tangente all’asse 𝑥 e a 𝑟 : 𝑦 = 2𝑥; passante per 𝑃 − 1, 41
1.5
1.5.1
Problemi geometrici vari
Esercizio 1
Determina la retta parallela alla bisettrice
del II e IV quadrante che stacca sulla parabola di equazione
√
𝑦 = 𝑥2 − 𝑥 + 3 una corda di misura 2 6.
1.6
1.6.1
Problemi in cui è necessario introdurre un’incognita
Esercizio 1
Determina i vertici del rettangolo di perimetro 13/2 inscritto nel segmento parabolico limitato dalla
parabola di equazione 𝑦 = 𝑥2 − 5𝑥 + 4 e dall’asse x.
1.6.2
Esercizio 2
Determina i vertici del rettangolo inscritto nel segmento parabolico limitato dalla parabola di equazione
𝑥 = 12 𝑦 2 − 2 e dall’asse 𝑦, avente il lato parallelo all’asse 𝑦 doppio del lato parallelo all’asse 𝑥.
1.7
1.7.1
Dimostrazioni
Esercizio 1
Si dia la definizione geometrica di parabola. A partire da tale definizione, ricavare l’equazione canonica
di una parabola nel piano cartesiano.
Riferimenti bibliografici
[1] Il paesaggio matematico verde. Vol. 3. Fico, M.; Cariani, G.; Mattina, S.; Goglio, S.; LOESCHER,
2008
[2] Itinerari nella matematica. Vol. 1, Zwirner, G.; Scaglianti, L. CEDAM, 1989.
[3] Corso di matematica a colori. Vol. 1, Sasso, L., Petrini, 2008
5