Liceo scientifico di ordinamento (suppletiva)

Problema 1
In una data circonferenza, di centro O, la corda AB è il lato del quadrato inscritto; condotta da B la
semiretta, tangente alla circonferenza, che giace rispetto alla retta AB nel semipiano che contiene il
centro O, si determini sulla semiretta un punto P tale che si abbia:
BM  2 2 MP
k
PB
ove M è l’ulteriore intersezione del segmento AP con la circonferenza e k un numero positivo.
Problema 2
Fissato un sistema di assi cartesiani ortogonali dimostrare che, fra le parabole la cui equazione ha la
forma y  Ax 2  Bx  C , due (e due soltanto) sono tangenti all’asse x e passano per i punti:
 1
A 0, 
 4
e

 1 3 2  3
B 
,

2
4


2




Scrivere le equazioni delle tangenti alle due parabole nel punto A e determinare l’angolo formato da
tali tangenti.
Condotta una retta (parallela all’asse x) di equazione y  k , detti M ed N i punti di intersezione con
una delle parabole considerate e P un punto di ordinata p  0 , determinare il massimo dell’area del
triangolo MNP al variare di k nell’intervallo 0, p  .