10 Dicembre 2002 - Dipartimento di Matematica e Fisica

Prova scritta di Matematica 1
10 Dicembre 2002
1. Nel piano cartesiano Oxy è data l’equazione:
√
2
(y
2
− x) = (y + x)2 .
Verificare:
• che passa per il punto P (−
√
√
2 3 2
,
)
2
2
• che è l’equazione di una parabola con vertice nell’origine (si applichino le formule di rotazione degli assi con α = 45 )
• che la nuova equazione, trasformata dalla data, è verificata dalle
coordinate del punto P , anch’esse trasformate.
Infine scrivere l’equazione della circonferenza con il centro nell’origine
e passante per il fuoco della parabola.
2. Calcolare l’inversa della matrice:


1 1
1
M =  0 3 −1 
−2 2
1
3. Verificare che il seguente sistema di Cramer è compatibile e calcolarne
la terna di soluzioni

−x3 = 1
 x1
2x1
+x3 = −2

x1 −x2 +x3 = 3
Traccia di risoluzione:
Esercizio 1.
Per il primo punto è sufficiente sostituire le coordinate di P nell’equazione
data; si verifica facilmente che si ottiene un’uguaglianza e quindi il punto
appartiene alla cubica.
Per il secondo punto, applicando la formula di rotazione di 45 gradi e
cioè:(
√
x0 = √22 (x + y)
y 0 = 22 (y − x)
si ottiene la nuova equazione:
y 0 = 2(x0 )2
che è l’equazione di una parabola con asse coincidente con l’asse y 0 .
Il punto P nel sistema di riferimento Ox0 y 0 ha coordinate (1,2) che, sostituite nella nuova equazione, danno ancora un’uguaglianza e quindi anche
il terzo punto è verificato.
Il fuoco della parabola è F = (0, 18 ) e quindi la circonferenza cercata ha
1
1
equazione x02 + y 02 = 64
nel sistema Ox0 y 0 e x2 + y 2 = 64
nel sistema Oxy.
Esercizio 2.
Il determinante della matrice è 13 e quindi la matrice è invertibile. Calcolando allora la matrice dei complementi algebrici otteniamo

M −1 = 
5
13
2
13
6
13
1
13
3
13
4
− 13
4
− 13
1
13
3
13


Esercizio 3.
Calcolo il determinante della matrice A associata al sistema. Ottengo il
valore 3 e quindi il sistema è risolubile. Calcolo quindi i determinanti delle
matrici ottenute sostituendo una colonna di A con il termine noto. Ottengo
i tre valori: -1,-14,-4.
La soluzione del sistema è pertanto: x = (− 31 , − 14
− 43 ).
3