a d`Ingegneria. Trieste, 20 ottobre 2001 A2/B/1 Analisi Matematica 1

Università di Trieste – Facoltà d’Ingegneria. Trieste, 20 ottobre 2001
A2/B/1
Analisi Matematica 1: II prova intermedia
Corso:
OMARI
TIRONI
A.a. 2001–2002
COGNOME e NOME
Anno di Corso
N. Matricola
Laurea in Ingegneria
VOTO
ESERCIZIO N. 1. Si dimostri, applicando la definizione di limite, che
π n+e − e
= πe .
n→+∞ π n + e
lim
DEFINIZIONE DI LIMITE
n+e
π
−e
e
(∀ε > 0)(∃n̄ ∈ IN)(∀n ∈ IN)(n > n̄ =⇒ n
− π < ε)
π +e
DIMOSTRAZIONE
Fissato ε > 0, si cerca n̄ tale che per ogni n > n̄ si abbia
n+e
π
−e
e
π n + e − π < ε.
Poiché
n+e
π
e(1 + π e )
−e
e(1 + π e )
e
=
,
−
π
≤
πn + e
πn + e
πn
basta prendere
n̄ > logπ
e(1 + π e )
.
ε
A2/B/2
Università di Trieste – Facoltà d’Ingegneria. Trieste, 20 ottobre 2001
ESERCIZIO N. 2. Si consideri la funzione
2
f (x) = arcsen (1 − log(x + 1)) .
π
• Si determini il dominio di f .
RISULTATO
domf = [0, e2 − 1]
SVOLGIMENTO
Si ha
x+1>0
x > −1
x > −1
x > −1
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
2
−1 ≤ 1 − log(x + 1) ≤ 1
−2 ≤ − log(x + 1) ≤ 0
1≤x+1≤e
0 ≤ x ≤ e2 − 1.
• Si provi che f è una funzione decrescente.
SVOLGIMENTO
Per ogni x1 , x2 ∈ domf , si ha
x1 < x2 =⇒ log(x1 + 1) < log(x2 + 1) =⇒ 1 − log(x1 + 1) > 1 − log(x2 + 1)
=⇒
2
2
arcsen (1 − log(x1 + 1)) > arcsen (1 − log(x2 + 1)) .
π
π
• Si determini l’insieme degli y ∈ IR tali che l’equazione f (x) = y ammette una soluzione x ∈ dom f .
RISULTATO
imf = [−1, 1]
SVOLGIMENTO
Si ha
f (x) = y ⇐⇒ arcsen (1 − log(x + 1)) =
⇐⇒
− π2 ≤ π2 y ≤ π2
⇐⇒
1 − log(x + 1) = sen( π2 y)
π
y
2
−1 ≤ y ≤ 1
x = −1 + exp(1 − sen( π2 y))