5E - Liceo Scientifico Albert Einstein

LICEO SCIENTIFICO STATALE ALBERT EINSTEIN PALERMO
Programma di matematica svolto nella classe VE
Anno scolastico 2015/2016
Testo in adozione: Bergamini, Trifone , Barozzi,Matematica. blu2.0 Zanichelli.
Ripasso degli argomenti svolti gli anni precedenti
Funzioni, limiti, funzioni continue
1. funzioni reali di variabile reale: definizione, ricerca del dominio e studio del segno; tabelle di
valori. Classificazione delle funzioni. Grafici trasformati: traslazioni, simmetrie rispetto agli assi
(grafico di − f ( x) , di |f ( x)| , f (−x) e di f (|x|) ). Funzioni iniettive, biiettive e suriettive.
Monotonia di una funzione. Funzioni periodiche. Funzioni pari e dispari e loro grafici. La funzione
inversa. Le funzioni composte.
2. Nozioni di topologia di R: intorno completo di un punto, intorno circolare, intorni di infinito.
Estremi di una funzione.
3. Concetto e definizione di limite. Verifiche di limiti. Definizione di
e di
. Teoremi sui limiti: unicità, permanenza del segno, confronto.
4. Funzioni continue in un punto, in un intervallo. Continuità delle funzioni costante, identica, e
delle funzioni analitiche in generale. Limiti di somma e prodotto di funzioni , del loro quoziente,
potenze, radici, funzioni composte.
Il calcolo dei limiti. Forme indeterminate. Risoluzione dei casi più comuni: limite per x→∞ di
funzioni contenenti radicali, di polinomi, di quozienti di polinomi, limite per x→c di quozienti di
x
sin x
 1
 1 e conseguenze, lim 1   = e
x 0
x 
x
 x
e altri immediatamente conseguenti. Infinitesimi, infiniti e loro confronto. Cambiamento di
variabile . Principio di sostituzione di infiniti o infinitesimi.
5. Asintoti orizzontali, verticali e obliqui e loro ricerca. Punti di discontinuità e loro classificazione.
Il “grafico probabile” di una funzione.
6. Teoremi sulle funzioni continue: di Weierstrass, di esistenza degli zeri, di unicità della radice.
polinomi che si annullano per x = c . Limiti notevoli: lim
Derivate e studio di funzioni
1. Introduzione: ricerca del coefficiente angolare di una retta tangente a una curva (x; f(x)).
Definizione di derivata destra, sinistra e derivata nel punto. Derivata di una funzione. Derivabilità e
continuità; funzioni non derivabili in un punto.
2. Regole di derivazione: D(f+g); D(k·f) (costante per una funzione); D(1/f); D(f·g) ; D(f/g). Derivata
di x, xn,[f(x)]n, senx, cosx, ex, ax, lnx. Derivata di funzioni composte; derivata di funzioni inverse;
derivata di tgx, ctgx, arcsenx, arcosx, arctgx, derivata logaritmica e derivata di xα (con α reale
qualsiasi). Derivata di [ f ( x)]g(x ) . Derivate seconde e derivate di ordine superiore. Applicazioni:
differenziale, retta tangente, punti stazionari; fisica: velocità, accelerazione, intensità di corrente.
3. Teoremi di Rolle, di Lagrange, di Cauchy e conseguenze. Problemi di massimo e minimo. Regola
di de l'Hôpital .
4. Massimi minimi e flessi e loro ricerca con le derivate prima e seconda.
5. Lo studio di una funzione e il suo grafico. La determinazione di una funzione in base a condizioni
su continuità e derivabilità. Dal grafico di una funzione a quello della sua derivata e viceversa.
Risoluzione approssimata di un'equazione con il metodo di bisezione (o di dicotomia). Risoluzione
grafica delle equazioni e delle disequazioni
1
Integrali
1. Integrali definiti. Trapezoidi. Definizione di integrale e le sue proprietà . Teorema della media. Il
b
calcolo di alcuni integrali definiti basandosi sulla definizione:
 xdx
,
a
La funzione integrale. Il teorema fondamentale del calcolo integrale (Torricelli – Barrow) (senza
dimostrazione). Le primitive di una funzione.
2. L'integrale indefinito e le sue proprietà. Gli integrali indefiniti immediati. L'integrazione per
sostituzione. L'integrazione per parti. L'integrazione di funzioni razionali fratte.
3. Il calcolo di aree. Cambiamento di variabili negli integrali definiti (cambiamento degli estremi di
integrazione). Il calcolo dei volumi dei solidi di rotazione. Area del segmento parabolico. Lunghezza
di un arco di curva. Area di una superficie di rotazione. Integrali impropri.
Equazioni differenziali
Equazioni differenziali del primo ordine , l equazioni differenziali del tipo y' = f(x), le equazioni
differenziali a variabile separabili, completa e omogenea
Calcolo combinatorio
Raggruppamenti. Permutazioni semplici e con ripetizione. Disposizioni semplici e con ripetizione.
Combinazioni semplici e con ripetizione. Coefficienti binomiali.
Probabilità
Eventi. Concezione classica della probabilità. Probabilità della somma logica degli eventi, teorema
della probabilità totale.
Palermo, 07/06/2016
2
L' insegnante
Gli alunni