La probabilità - Digilander

UNIVERSITÁ DEGLI STUDI DI FERRARA
CORSO SPECIALE ABILITANTE
anno accademico 2006/2007
CORSO DI:
Approfondimenti disciplinari
UNITÁ DIDATTICA
DELLA CLASSE A049
LA PROBABILITA
DOCENTE: PROF.
BERNARDI EROS
TITOLO: La probabilità.
CLASSE: V° anno Liceo Scientifico . L’argomento viene trattato durante il 2° quadrimestre,
nell’ambito dello studio in preparazione all’esame di stato.
Il modulo si apre con l’elenco dei prerequisiti, degli obiettivi di apprendimento e dei suoi contenuti.
PREREQUISITI:
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Concetti base della teoria degli insiemi.
Operazione di unione, intersezione, passaggio al complemento, prodotto cartesiano.
Elementi di calcolo combinatorio.
Equazioni e funzioni.
OBIETTIVI GENERALI:
Lo studio della probabilità e del calcolo delle probabilità contribuisce al perseguimento delle seguenti
finalità:
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Conoscenza storica dello sviluppo della probabilità
Linguaggio appropriato al calcolo della probabilità.
Capacità di dimostrare e generalizzare.
Ragionamento ipotetico deduttivo.
Il calcolo matematico applicato a problemi di incertezza.
Lezione partecipata.
Sapere riutilizzare i problemi svolti per risolverne dei nuovi.
Padronanza dei processi di analisi, sintesi.
Cognitivi:
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La probabilità e le sue applicazioni.
Le tre definizioni di probabilità.
Teoremi fondamentali di somma e prodotto.
Probabilità condizionata e di correlazione tra eventi.
Enunciare e dimostrare il teorema di Bayes.
Metacognitivi:
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Guidare gli allievi all’uso consapevole della probabilità.
Suscitare l’interesse e la curiosità degli studenti per il calcolo di probabilità semplici.
Acquisire rigore scientifico sia nel linguaggio che nella metodologia.
Concetto di evento dipendente ed indipendente.
Calcolare in modo accorto la probabilità condizionata da altri eventi.
Applicare correttamente il teorema di Bayes.
Comportamentali:
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Riuscire a lavorare in gruppo
saper chiedere spiegazioni
rispettare i tempi di consegna
sviluppare l’attitudine alla comunicazione e ai rapporti interpersonali,
contribuire allo sviluppo dello spirito critico e delle capacità logiche e argomentative.
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OBIETTIVI SPECIFICI
Sapere (conoscenze)
• Definizione di Probabilità.
• Riconoscere uno spazio campionario.
• Eventi dello spazio campionario.
• Rappresentazione cartesiana di uno spazio campionario.
• Eventi dipendenti ed indipendenti.
Saper fare (competenze)
• Uso coretto del calcolo della probabilità.
• Rappresentazione grafica.
• Calcolare probabilità condizionate utilizzando opportunamente il teorema di Bayes.
• Acquisire la capacità di leggere e interpretare i vari problemi.
Saper fare (capacità)
• Saper utilizzare ciò che si è appreso per affrontare in modo autonomo diverse tipologie di
problemi anche se presentati per la prima volta.
CONTENUTI
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Cenni storici.
Introduzione al calcolo delle probabilità.
Evoluzione del concetto di probabilità.
Spazio campionario ed eventi.
Operare con eventi e spazi campionari.
Cenni di probabilità classica, frequentista ed soggettiva.
Probabilità assiomatica punto di congiunzione.
Esercizi di probabilità.
La probabilità condizionata.
Regola del prodotto.
Il teorema di Bayes e la formula della probabilità totale; correlazione ed indipendenza.
METODOLOGIA DIDATTICA.
Si può introdurre l’argomento descrivendo la probabilità in modo classico, ripercorrendo le tappe
della sua evoluzione fino a giungere alla probabilità assiomatica.
Per avvicinare la classe a questo argomento si possono utilizzare dadi monete per fare dei calcoli
immediati ed dare alcuni esempi di calcolo delle probabilità.
VERIFICA
Controllo e verifica dell’apprendimento:
L’andamento e l’efficacia dell’attività didattica saranno controllate attraverso l’assegnazione e la
successiva correzione in classe di opportuni esercizi applicativi nelle diverse fasi di progressione
dell’unità didattica. Saranno inoltre effettuate verifiche orali e verifiche formative studiate per
accertare che lo studente abbia acquisito gradualmente tutti i concetti, in particolare queste saranno
studiate in modo da verificare conoscenze, comprensione e capacità di applicazione.
A compimento dell’unità didattica si somministra una verifica sommativa che servirà a valutare il
grado di conoscenze e competenze raggiunto da ogni studente
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Recupero:
Per l’efficacia e la completezza dell’attività didattica sono previste attività di recupero. Tali attività
di recupero sono articolate in:
• Recupero svolto in classe attraverso la ripresa dei concetti non recepiti e lo svolgimento di
esercizi che aiutino a fare chiarezza sulle procedure non comprese.
• Attività pomeridiane con gli studenti interessati (sportello scolastico e tutoring).
• Assegnazione allo studente di esercizi mirati alla difficoltà da recuperare e guidati nella
risoluzione.
• Attività di gruppo guidate.
I concetti che necessitano di recupero verranno individuati attraverso le verifiche formative e
sommativa, le prove orali individuali e le discussioni di gruppo in classe
TEMPI DELL’INTERVENTO DIDATTICO
Proponiamo uno schema dello svolgimento della presente unità didattica suddiviso per attività e
comprendente i tempi presunti dell’intervento. Si fa presente che esso non può però ritenersi rigido
in quanto è necessario considerare variabili legate alle peculiarità degli studenti.
lezioni
I
Ore dedicate
1
II
2
III
1
IV
V
VI
VII
1
1
2
2
2
1
13 ore
Totale
Argomenti
Introduzione storica ed le diverse concezioni di probabilità, alcuni
esercizi utilizzando i tre modelli.
La teoria assiomatica come punto di congiunzione delle diverse
concezioni di probabilità. Richiami sugli insiemi. Spazio
campionario ed eventi.
Tutti i teoremi della probabilità assiomatica con relative
dimostrazioni.
Esercizi formativi e verifiche orali
Probabilità condizionata, teorema di Bayes, ed applicazioni
Esercizi e verifiche orali
Verifica sommativa.
Eventuale recupero.
Verifica finale sul recupero.
SVILUPPO DEI CONTENUTI
CENNI STORICI
Le origini della teoria Probabilistica.
Lo studio della probabilità e del calcolo delle probabilità è una conquista relativamente recente del
pensiero matematico, si pensi infatti che nell'antichità i matematici greci disconoscevano del tutto
questo tipo di calcolo.
La probabilità, pur essendo studiata dal punto di vista filosofico, era sconosciuta al mondo antico
almeno per quanto riguarda i suoi aspetti quantitativi.
Per i filosofi illuministi il corso degli eventi era rigidamente fissato, l'ordine della natura veniva considerato
perfetto e nessuna azione umana poteva modificarlo; tutti effetti che percepiamo seguono le loro cause, le
conosciamo o no; per gli illuministi era scientifico ciò che si basava sulla certezza, scarsamente
scientifico ciò che si basava sulla probabilità.
3
I primi documenti attorno all’argomento risalgono agli inizi del XVI secolo, in coincidenza non
casuale con la nascita della fisica sperimentale.
Girolamo Cardano(1501-1576) con il suo libro “Liber de ludo aleae”, presumibilmente scritto forse
intorno al 1526 e pubblicato postumo nel 1663, è il primo ad occuparsi di questa materia.
In questo libro è contenuto il problema della probabilità dei punteggi che si ottengo come somma
lanciando due dadi; i risultati a cui giunge Cardano contengono qualche inesattezza, ed gli sviluppi
non sono molto chiari. I giudizi sull’opera per il motivo citato prima risultano controversi, ma ha
certamente una importanza storica notevole.
Galileo Galilei(1564-1642) con uno scritto del 1620 circa, tratta il problema del lancio di tre dadi,
con una certa chiarezza; nel suo discorso emergono i concetti oggi usuali, la probabilità viene
valutata mediante i numero dei casi favorevoli, ed emergono le leggi empiriche del caso.
Nel 1654, mentre il matematico francese Blaise Pascal(1623-1662) si stava dedicando agli studi
sulle coniche, un suo amico, il Cavaliere di Mere, gli poneva questioni sul gioco dei dadi.
Qualcuna delle questioni potrebbe essere oggi formulata così:
lanciando un dado otto volte, un giocatore vince quando esce il numero uno, ma dopo tre tentativi
il gioco viene interrotto; in che misura il giocatore ha diritto alla posta?
Oppure: perché è meglio scommettere che su quattro lanci di un dado uscirà almeno una volta il
numero uno, piuttosto che scommettere che su ventiquattro lanci di due dadi uscirà almeno una
volta il doppio uno ?
Blaise Pascal(1623-1662) scrisse a Pierre Fermat(1601-1665) di queste questioni e fra i due
nacque una fitta corrispondenza che fu l'inizio della moderna teoria della probabilità.
Interessante il collegamento con la filosofia, ed in particolare il confronto tra Pascal e Cartesio,
che lo precedeva di pochi decine di anni. La posizione di Cartesio è alla base dello sviluppo
deterministico della scienza, culminante con l’affermazione che, conoscendo con precisione lo
stato dell’universo in un dato istante, si dovrebbe potere calcolare la sua evoluzione in tutti gli
stati successivi. La posizione di Pascal è invece la lontana origine della moderna probabilità.
I due matematici, però, non diedero mai una sistemazione alle loro idee e si deve a Christiaan
Huygens(1629-1695) la pubblicazione, nel 1657 del primo, breve trattato sulla probabilità il “De
ludo aleae”.
Fu solo circa cinquant’anni dopo, nel 1713, che fu pubblicato “Ars Conjectandi” un trattato di
Jacques Bernoulli(1654-1705) su questi temi che comprendeva questioni di permutazioni e
combinazioni, e calcolo di valori di probabilità; appartiene a questo trattato la famosa legge dei
grandi numeri.
Si deve arrivare però all'inizio dell'Ottocento per far sì che la teoria della probabilità abbia una
sua sistemazione. Giuseppe Luigi Lagrange (Torino1736-Parigi1813), dopo aver pubblicato
importanti studi, tra i quali quelli sul calcolo delle probabilità, fu il primo a dare una definizione
di probabilità di un evento quale rapporto fra il numero di casi ad esso favorevoli rispetto a quello
dei casi possibili.
Fu soprattutto in questo secolo che il calcolo delle probabilità affrontò anche temi diversi da
quello del gioco, quali ad esempio il calcolo dei premi assicurativi, estendendo poi le sue
possibilità all'astronomia, alla biologia, all'epidemiologia ed a tutti i campi della sperimentazione
scientifica.
A partire dal Novecento, si ebbero nuove concezioni della probabilità, legate soprattutto
all'osservazione dei fenomeni ed alla frequenza con cui determinati eventi si verificano.
Nel 1919 Richard von Mises propose una nuova definizione di probabilità basata su questi criteri,
che metteva in luce l'inadeguatezza della definizione classica (data da Lagrange) nel determinare,
ad esempio, la probabilità di morte o di sopravvivenza di un individuo inserito in un certo ambiente:
non era in questo caso assolutamente possibile parlare di casi favorevoli o di casi possibili.
La nuova concezione di probabilità prevedeva di avere a disposizione un grande numero di
osservazioni del fenomeno e ben si adattava quindi a risolvere problemi di tipo statistico.
A partire dagli anni venti di questo secolo si cercò di applicare la teoria della probabilità anche in
situazioni in cui non si disponeva di grandi masse di dati e nemmeno si poteva parlare di casi
favorevoli e casi possibili.
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A partire dal 1931 F.P.Ramsey e B.De Finetti sostennero, indipendentemente uno dall’altro, che la
probabilità dovesse essere in questi casi, una misura della fiducia che un soggetto, in possesso di
determinate informazioni, attribuisce ad un evento.
Nel corso della nostra trattazione, ripercorreremo queste fasi storiche riproponendo i tre modelli di
probabilità ora visti a partire da quello classico che, come abbiamo detto, storicamente viene per
primo.
La definizione classica di Probabilità
La prima definizione di probabilità, detta perciò classica, si ritrova già in Pascal e definisce la
probabilità di un evento come :
il rapporto fra il numero dei casi favorevoli all’evento e il numero dei casi probabili, purché questi
ultimi siano tutti ugualmente possibili.
Ma non si comprende bene la differenza tra “ugualmente possibili” e “ugualmente probabili”; e
cossi molti vedono in questa definizione una tautologia, nel senso che bisogna sapere già prima che
significato dare alla probabilità.
Ad esempio, nell'esperimento aleatorio che consiste nell'estrarre i numeri della tombola, occorre
essere a conoscenza della composizione dell'urna (cioè quanti e quali numeri contiene), occorre che
i dischetti siano tutti uguali nel loro aspetto fisico (a parte il numero impresso), occorre che i
dischetti vengano ben mescolati prima di ogni estrazione, occorre che chi esegue l'estrazione non
possa vedere il contenuto dell'urna. Tutte queste ipotesi portano ad introdurre un modello secondo il
quale ogni numero della tombola ha le stesse possibilità di essere estratto di un altro; la stessa
osservazione si può fare per un mazzo di carte per un dado da gioco ecc.
Questa definizione diventa una regola per misurare della probabilità di un evento in condizioni
opportune:
• Siano un numero finito di eventi possibili.
• Essere ugualmente probabili.
Per definire che cosa sia la probabilità bisogna supporre che gli eventi elementari abbiano la stessa
possibilità di verificarsi; ma questo è un modo diverso per affermare che hanno la stessa probabilità,
facendo riferimento a quello stesso concetto che si pretende di definire.
la probabilità classica si può applicare solo in contesti molto limitati: i giochi d’azzardo che abbiano
precise condizioni di regolarità nel loro svolgimento (non è ad esempio ragionevolmente applicabile
in una scommessa su una corsa di cavalli o su una partita di calcio).
L'impostazione classica della probabilità non è però esauriente e ammette alcune alternative
radicalmente diverse. Applichiamo la definizione classica al caso del lancio di un dado: la
probabilità che esca 6 è uguale al rapporto tra il numero di facce con sei punti e il numero di
facce totali.
Esistono tuttavia alcuni problemi:
che cosa accade se una faccia del dado è stata alleggerita? Oppure appesantita?
Conseguenze:
• La previsione del calcolo non è più adeguata al risultato.
• Il denominatore non è più la somma dei casi ugualmente possibili.
La definizione appare chiusa su se stessa;con ciò non va scartata ma solo applicata con
attenzione, essendo insostituibile in molti casi.
La definizione frequentista di Probabilità
Non sempre è possibile calcolare la probabilità di un evento con la definizione che abbiamo dato
prima,; se vogliamo misurare la probabilità ha un tiratore esperto di centrare un bersaglio al primo
colpo, oppure che probabilità ha un malato di cancro di sopravvivere dopo una operazione, oppure
ancora la probabilità che ha un vaccino di ridurre le manifestazioni dell’influenza, non è
evidentemente possibile parlare di rapporto fra il numero dei casi favorevoli e quello dei casi
possibili.
Quello che possiamo fare è osservare quale sia il comportamento di quel tiratore in numerose prove
di tiro, osservare quanti fra i pazienti che hanno subito quell'operazione sono ancora vivi, osservare
in quanti casi il vaccino ha dato evidenti segni di prevenzione dell’insorgere dell’influenza, e
attribuire quindi un valore alla probabilità dell'evento considerato valutando il rapporto fra il
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numero di repliche dell'esperimento che hanno dato esito favorevole e quello totale di repliche
effettuate.
Se, ad esempio, il vacino in questione fosse stato somministrato ad un campione di 100 e avesse
dato esiti favorevoli per 70 di essi e poi su un altro campione avesse dato la stessa percentuale e ciò
si fosse ripetuto, più o meno con le stesse proporzioni in altri campioni, potremmo dire che il
vaccino ha una probabilità del 70% di riuscita.
Questo aspetto di misura della probabilità era già noto fino dai tempi di Pascal conosciuta ed
andava sotto il nome di legge empirica del caso, secondo cui il gran numero di prove fatte nelle
stesse condizioni; la frequenza relativa ad un certo evento si avvicina alla probabilità dello stesso,
l’approssimazione migliora con l’aumentare del numero delle prove.
In generale diciamo allora che:
relativamente ad un esperimento aleatorio A, che può essere osservato molte volte nelle stesse
condizioni, la probabilità di un evento è il limite a cui tende il rapporto tra il numero di prove che
hanno avuto esito favorevole ad il numero totale di prove fatte (indipendenti una dall'altra) quando
queste tendono ad essere un numero molto grande.
Ad esempio, supponiamo di prendere in esame un comune dado non omogeneo ed di voler
calcolare la probabilità de numero uno, esso non ha la stessa probabilità di presentarsi degli altri
numeri. Per determinare allora le nuove probabilità dovremo effettuare un grande numero lanci
come campioni ed vedere quante volte il risultato è stato quello sperato; ciascuna probabilità è
quindi determinabile come limite, al crescere del numero delle prove, del rapporto fra la frequenza
degli esiti favorevoli ed il numero delle prove stesse.
Anche in questo caso si verifica che la probabilità p è un numero reale compreso tra 0 e 1, estremi
inclusi.
La formulazione è forzatamente vaga, perché l’aleatorietà delle prove non permette di precisare
entro quanto tempo ed entro quali limiti l’approssimazione è valida e soprattutto l’esigenza che le
prove successive siano fatte tutte nelle stesse condizioni; cosa che a rigor di logica sono si può
realizzare. Questa definizione ci garantisce l’applicabilità solo i casi ben determinati, come i lanci
successivi di un dado, ma ad osservare bene la definizione non sarebbe applicabile neppure in
questo caso, in quanto i lanci non risulteranno mai perfettamente simili tra loro, uno perché chi
lancia non e detto che esegui il lancio perfettamente nella stessa maniera del precedente ed poi il
dado lanciato più volte, nei vari urti si modica.
In realtà il campo di applicabilità della concezione frequentista è molto vasto, in quanto si utilizza
questa concetto per studiare processi dove si possiedono dati statistici di fenomeni in condizioni
analoghe, anche se non hanno perfettamente le stesse condizioni.
Occorre sottolineare che con questa concezione la probabilità di un evento non può essere calcolata
a priori, ma viene determinata solo dopo aver effettuato delle osservazioni sperimentali e che essa
non ha significato separatamente da tali prove; inoltre ha senso parlare di probabilità solo all'interno
di una certa popolazione. In generale non si può dire quante prove siamo necessarie, perché il
numero delle prove dipende dal fenomeno in esame.
La definizione soggettiva di Probabilità
Esistono molti eventi aleatori per cui non è possibile valutare la probabilità ne secondo le
concessioni classica e neppure secondo la concezione frequenzista.
Cerchiamo di calcolare la probabilità che ha un laureato in matematica di trovare lavoro, la
probabilità per un ciclista di vincere una gara.
Si impone insomma in molti casi l’esigenza di considerare l’evento singolo e di riferire a questo la
probabilità. Da questa esigenza è nata la concezione soggettiva, che si può fare risalire a Davide
Bernulli e che è stata ripresa e sviluppata recentemente, soprattutto da Bruno di Filetti(1906-1985) e
L. Jimmy Savane.
L'esigenza di rendere maggiormente operativo il concetto di probabilità, per aumentarne quindi
anche il campo di applicabilità. La probabilità soggettiva è il "grado di fiducia che una persona
coerente attribuisce al verificarsi di un evento ".
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La probabilità perde cosi la sua caratteristica “assoluta” di numero intrinsecamente legato
all’evento, per dipendere dalla persona che lo valuta e dalle informazioni disponibili.
La definizione data non è ancora operativa ed è necessaria una definizione più precisa, uno dei modi
per renderla operativa è fare riferimento alle scommesse definendo la probabilità come:
Il prezzo equo da pagare se l’evento si verifichi.
Ad esempio se Tizio è disposto a scommettere 3 euro contro 4 euro sul fatto che si verifichi un
certo evento, attribuisce in tal modo implicitamente a tale evento una probabilità pari a 3/(3+4)
(circa il 43%). La frazione che esprime la probabilità ha numeratore uguale a quanto Tizio è
disposto a puntare e denominatore pari alla sua puntata sommata a quella di uno sfidante invocato a
convalidare la valutazione. Tale somma rappresenta anche quanto ciascuno dei due partecipanti alla
scommessa vincerebbe a seguito della puntata.
Si parla di prezzo equo, e questo richiede una precisazione, che viene data dalla condizione di
equità, detta anche coerenza.
Chiariamo subito questo punto , prendiamo una moneta modificata opportunamente in modo che la
probabilità di ottenere testa sia 1/4 mentre quella di ottenere croce 1/2. Si osservi che c’e una certa
incoerenza in quanto la probabilità che si ottenga o testa o croce no è uguale ad uno.
La condizione di coerenza impone che la somma delle due probabilità sia uguale ad uno.
In generale quando un ente od una persona organizza un gioco(si pensi alle lotterie o al totocalcio),
trattiene una parte della somma raccolta, ed entro certi limiti è giusto, anche se la condizione
matematica di equità no è verificata.
La definizione assiomatica di Probabilità
Le definizioni date prima privilegiano ciascuno un aspetto diverso del contenuto intuitivo della
probabilità ed hanno evidenti differenze operative; ed non sono esenti da critiche.
Con lo sviluppo degli studi matematici, soprattutto con l’applicazione della logica formale all’anali
dei fondamenti matematici e della scienza in genere, si giunge ad una impostazione che dia alla
probabilità una definizione mediante una serie di assiomi, analogamente a quanto si può fare per le
altre parti della matematica.
L'impostazione assiomatica della probabilità venne proposta da Andrey Nikolaevich Kolmogoroff
nel 1933 in Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung (Concetti fondamentali del calcolo
delle probabilità), sviluppando la ricerca che era ormai cristallizzata sul dibattito fra quanti
consideravano la probabilità come limiti di frequenze relative (impostazione frequentista) e quanti
cercavano un fondamento logico della stessa. La sua impostazione assiomatica si mostrava adeguata
a prescindere dall'adesione a una o all'altra scuola di pensiero.
1) Gli eventi sono sottoinsiemi di uno spazio S, e formano una classe additiva A.
2) Ad ogni a appartenente alla classe A è assegnato un numero reale non negativo P(a) e mai
superiore ad uno, detto probabilità di a.
3) P(S)=1, ovvero la probabilità di un evento certo è pari ad 1
4) Se l'intersezione tra a e b è vuota, allora P(a U b)=P(a)+P(b)
5) Se A(n) è una successione decrescente di eventi e al tendere di n all'infinito l'intersezione degli
A(n) tende a 0, allora lim P( A(n)) = 0
n →∞
Si può verificare che le tre ipostazioni arrivano tutte alle stesse leggi matematiche, espresse dagli
assiomi della probabilità e ciò rene naturale prendere tali leggi come base per una costruzione
assiomatica.
La teoria matematica si può quindi sviluppate a partire da questi assiomi, senza precisare la
definizione di probabilità da cui provengono.
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Per meglio chiarire l’ipostazione assiomatica, bisogna chiarire il concetto di evento spazio
campionario e funzione di probabilità.
Spazio campionari
In probabilità lo spazio campionario è un insieme i cui punti vengono utilizzati per rappresentare gli
stati che un particolare sistema può assumere. Se, ad esempio, siamo interessati allo studio della
caduta di una pallina sul pavimento, dovremo immaginare un rettangolo: i suoi punti
rappresenteranno i possibili punti di impatto della pallina col pavimento. Se lo studio di tale
fenomeno viene impostato dal punto di vista probabilistico, tale rettangolo prenderà il nome di
spazio campionario.
Definizione: lo spazio campionario, indicato con S è l’insieme di tutti i possibili risultati(o punti
campioni) di un esperimento.
Esempi
1) Se l’esperimento consiste nel lancio di una moneta lo spazio campionario S risulta uguale
all’insieme {T,C}.
2) Se l’esperimento consiste nel lancio di un dado allora lo spazio campionario S risulta uguale
all’insieme {1,2,3,4,5,6}.
3) Se l’esperimento consiste nel lancio di due monete lo spazio campionario S risulta uguale
all’insieme {(T,T);(T,C);(C,T);(C,C)}
4) Se l’esperimento consiste nel lancio di due dadi allora lo spazio campionario S risulta uguale
all’insieme
⎛ (1,1) (1,2) (1,3) (1,4 ) (1,5) (1,6) ⎞
⎟
⎜
⎜ (2,1) (2,2) (2,3) (2,4 ) (2,5) (2,6 )⎟
⎜ (3,1) (3,2 ) (3,3) (3,4 ) (3,5) (3,6 ) ⎟
⎟
⎜
⎜ (4,1) (4,2 ) (4,3) (4,4 ) (4,5) (4,6 )⎟
⎜ (5,1) (5,2 ) (5,3) (5,4 ) (5,5) (5,6) ⎟
⎟
⎜
⎜ (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)⎟
⎠
⎝
Uno spazio campionari viene definito discreto se è costituito da un numero finito di punti o da una
successione infinita di punti, mentre viene definito continuo se è costituito da uno o più intervalli di
punti. Il termine campionario sta a specificare il fatto che l’esperimento è casuale, pertanto il
risultato è solo un campione di molti esiti probabili.
Rappresentazione di uno spazio Campionario
1) Lancio di una moneta.
C
T
x
8
2) Lancio di un dado.
1
2
3
4
5
6
3) Lancio di due monete.
y
(T,T)
(C,T)
(C,C)
(T,C)
x
4) Lancio di due dati.
y
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
x
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Evento
Nella Teoria della probabilità, un evento è un insieme di risultati (un sottoinsieme dello spazio
campionario) al quale viene assegnata una probabilità. Tipicamente, qualsiasi sottoinsieme dello
spazio campionario è un evento (per esempio tutti gli elementi dell'insieme delle parti di uno spazio
campionario sono eventi), ma quando si definisce uno spazio di probabilità è possibile escludere
certi sottoinsiemi dello spazio campionario dagli eventi possibili.
Funzione di Probabilità
Sarebbe difficile trovare una funzione di probabilità che fornisse valori corrispondenti alla
probabilità per ogni possibile sottoinsieme A di uno spazio campionario S, in quanto il numero dei
sottoinsiemi di S risulterebbe grande anche se S contiene pochi elementi.
Fortunatamente, per spazzi campionari contenenti soltanto un numero finito, o una successione
infinita,di punti dello spazio campionario è sufficiente assegnare una probabilità ad ogni punto dello
spazio campionario.
Il valore della probabilità di A, per qualsiasi sottoinsiemi A, si determina allora facilmente dalla
probabilità assegnata ai singoli punti campionari per mezzo del terzo assioma della probabilità
formalizzato dopo.
Si ha quindi che la probabilità di A:
P( A) = ∑ Pi
A
Dove la sommatoria viene fatta sulla probabilità di tutti i punti campionari che giacciono in A.
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Insiemistica
Il concetto di insieme costituisce l'elemento fondante di gran parte delle esposizioni della
matematica moderna: la gran parte dei testi introduttivi a buona parte delle aree della matematica
inizia con nozioni di teoria degli insiemi.
Intuitivamente con il termine insieme si indica una collezione di oggetti chiamati elementi
dell'insieme. Ciò che caratterizza il concetto di insieme e lo differenzia dai concetti analoghi sono
essenzialmente le seguenti proprietà:
• Un elemento può appartenere o non appartenere a un determinato insieme, non ci sono vie di
mezzo (come accade invece per gli insiemi sfocati);
• Un elemento non può comparire più di una volta in un insieme.
• Gli elementi di un insieme non hanno un ordine di comparizione.
• Gli elementi di un insieme lo caratterizzano univocamente: due insiemi coincidono se e solo se
hanno gli stessi elementi.
Per rappresentare gli insiemi vengono usati i diagrammi di Elero-Venn, che sono un conveniente
sistema di rappresentazione.
Lo spazio campionario, di qualsiasi tipo sia, viene sempre rappresentato con l’insieme ambiente il
quale è un rettangolo entro il quale si trovano tutti i punti(eventi).
Gli eventi A1,A2, ………, che sono i sottoinsiemi dei punti di questo rettangolo, sono rappresentati
dai punti che giacciono all’interno di linee curve chiuse.
A1
S
A2
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Per ogni coppia di eventi A1,A2 di uno spazio campionario S si definisce il nuovo evento A1∪A2
(che è detto unione dei due eventi) costituito da tutti gi elementi che sono o in A1 , o in A2.
A1∪A2={x⏐x ∈ A1 oppure x ∈ A2}
analogamente per ogni coppia di eventi A1,A2 di uno spazio campionario S si definisce il nuovo
evento A1 ∩ A2 (che è detto intersezione dei due eventi) costituito da tutti gi elementi che sono e in
A1 , e in A2.
A1 ∩ A2={x⏐x ∈ A1, x ∈ A2}
Quando A1 ∩ A2= ∅, con tale simbolo si indica l’insieme vuoto, quindi ∅ indica l’evento nullo, gli
eventi A1 e A2 si dicono disgiunti.
A1
A1∩A2
S
A2
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Indichiamo con A1 - A2, o anche A1\A2 è l’evento costituito da tutti i punti che appartengono ad A1
ma no ad A2, ossia
A1\A2={x⏐x ∈ A1, x ∉ A2}
Per ogni evento A si definisce un nuovo evento Ā alcune volte indicato con Ac, cioè l’insieme
complementare di A che è costituito da tutti i punti dello spazio campionario che appartengono ad
A, ossia
Ā =S-A2={x⏐x ∈ S, x ∉ A}
Assiomi
I) 0 ≤P(A) ≤1 la probabilità di evento è compresa tra zero ed una.
II) P(S)=1 la probabilità dell’evento certo è uguale ad uno.
III) Per ogni successione finita o infinita di eventi A1,A2, ………,tale che Ai∩Aj=∅, per i ≠ j, allora:
P(A1,A2, ………)= P(A1)+P(A2)+ ………
n
n
(Ovvero P( ∪ Ai)= ∑ P(Ai), per successioni finita)
i =1
∞
i =1
∞
(Ovvero P( ∪ Ai)= ∑ P(Ai), per successioni finita)
i =1
i =1
13
IV) P(Ā)=1-P(A) dato un evento A la probabilità dell’evento complementare è uno meno la
probabilità di A. Infatti poiché A∪Ā=S ed A∩Ā =∅, per l'assioma precedente possiamo dire che
P(A)+P(Ā)=P(S) da cui segue per l’assioma due che P(A)+P(Ā)=1, ma allora P(Ā)=1-P(A)
V) Se A∩B≠∅,P(A∪Β)=P(A)+P(B)-P(A∩B) la probabilità di due eventi compatibili A ed B e
uguale alla somma delle probabilità di A e di B meno la probabilità dell’evento comune.
S
A
A∩B
A
Nel valutare l’unione di due eventi compatibili capita che quando sommo la probabilità di A con B
la probabilità dell’evento comune come mostra in figura risulti contata due volte pertanto è
necessario che sia tolta una volta.
VI) Se A∩B≠∅, B∩C≠∅, A∩C≠∅, A∩B∩C ≠∅ allora:
P(A∪Β∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A∩B)- P(A∩C)- P(B∩C)+ P(A∩B∩C)
C
A∩C
A
A∩B∩C
A∩B
S
B∩C
B
Una verifica intuitiva può avvenire esaminando i grafico sopra mostrato.
14
Probabilità Condizionata.
Supponiamo di volere calcolare la probabilità che si verifichi un evento B sotto la condizione che si
sia già verificata l’evento A, indicheremo questa probabilità con P(B|A).
A tale scopo assumiamo che lo spazio campionari contenga un numero finito di punti.
S
A
B
L’evento A è certo di verificarsi solamente quando riduco lo spazio campionario ai soli punti che
sono contenuti all’interno di A.
Si vuole costruire quindi una nuova funzione di probabilità sullo spazio campionario A, in modo
che se un punto a in A possiede una probabilità doppia rispetto ad un punto b sempre in A la nuova
funzione di probabilità mantenga tale relazione, in quanto non c’è motivo che ignorando i risultati
che non producano il verificarsi di A, essi debbano alterare il rapporto di due o più eventi di A.
Per realizzare questo è sufficiente trovare una costante c tale che moltiplicando per essa la
probabilità originaria degli eventi la somma della nuova probabilità sua A sia uguale ad uno.
Indichiamo con πi la nuova probabilità scelta nel seguente modo πi=cpi.
1 = ∑ π i = ∑ cpi =c ∑ pi =cP(A)
A
A
A
Come risultato si ha che c=1/P(A) da cui la nuova funzione di probabilità è:
p
πi = i
P(A)
Avendo definito la probabilità del nuovo spazio campionario ristretto, ora possiamo calcolare la
probabilità nel solito modo, quindi la probabilità che si verifichi l’evento B sottoposto al verificarsi
di A è così ottenuta:
∑ pi
A∩ B
P(B | A) = ∑ π i =
P(A)
A∩ B
La prima somma è eseguita sull’intersezione dei due eventi perchè sono i soli eventi dello spazio
campionario A che corrispondo al verificarsi dell’evento B.
La somma al numeratore nell’espressione precedente è quella definita P(A∩B) quindi si ha :
P(A ∩ B)
P(A)
Nel procedimento per il calcolo della nuova probabilità si è assunto che lo spazio campionario
contenga un numero finito di eventi, ma questa definizione di probabilità condizionata è usata anche
per spazi campionari più generali.
Si verifica facilmente che la probabilità condizionata così definita verifica i tre assiomi dati prima si
può assegnare tale verifica come esercizio alla classe.
P(B | A) =
15
Definizione: la probabilità di un evento B, nell’ipotesi che si sia gia verificato l’evento A, è
chiamata probabilità condizionata ed è definita nel seguente modo:
P(B | A) =
P(A ∩ B)
P(A)
Quando P(A) ≠0.
Analogamente, per P(B) ≠0, si ha:
P(A | B) =
P(A ∩ B)
P(B)
Dalla definizione di probabilità condizionata si ricava la regola di moltiplicazione della probabilità
o regola delle probabilità composte.
P(A ∩ B) = P(A) ⋅ P(B | A) se P(A) ≠0.
P(A ∩ B) = P(B) ⋅ P(A | B) se P(B) ≠0.
Eventi indipendenti.
Ora supponiamo che A e B siano due eventi tali che:
P(B|A)=P(B) e P(A)P(B)>0.
Allora l’evento B si dice indipendente nel senso della probabilità, o più brevemente indipendente
dall’evento A, per cui si ha che il verificasi dell’evento A non ha influenzato che B si verifichi.
Da cui abbiamo che le formule precedenti diventano:
P(A ∩ B) = P(A) ⋅ P(B)
Viceversa se vale questa formula si ha:
P(B|A)=P(B) e P(A)P(B)>0.
Definizione: due eventi si dicono indipendenti se
P(A ∩ B) = P(A) ⋅ P(B)
Estendiamo la definizione precedente a più eventi:
Definizione: gli eventi A1,A2, ………,An si dicono indipendenti se, qualunque sia il numero k,
con 2 ≤k ≤n e comunque si scelgano k eventi A i1 , A i 2 , ………, A i k fra gli n eventi
dati, si ha
P(A i1 ∩ A i 2 ∩,.....A i k ) = P(A i1 )P(A i 2 ).....P(A i k )
Dalla definizione si osserva subito che se gli n eventi sono indipendenti lo sono pure un numero
qualsiasi di questi eventi. Naturalmente un insieme di eventi può essere indipendenti a due a due ma
non esserlo globalmente.
16
Teorema (o regola) di Bayes.
Siano H1 , H 2 ,........, H n eventi esclusivi, con P(H1 ) > 0 , per i=1,2,…..,n, e tale che
n
UH
i
= S , dove S
i=2
è lo spazio campionario. Supponiamo inoltre un evento casuale A con P(A)>0.
P(H i | A) =
P(H i ) ⋅ P(A | H i )
n
∑ P(H ) ⋅ P(A | H )
j =1
j
j
Dal teorema si rileva che la probabilità P(H i | A) a posteriori delle cause, sono proporzionali alle
corrispondenti probabilità a priori P(H i ) corrette per il fattore di correzione P(A | H i ) .
In altre parole, se è alta la probabilità che l’evento A sia effetto della causa H i , il fatto che l’evento
A si sia verificato aumenta la probabilità, anche se non da la certezza, che a produrlo sia proprio la
causa H i .
Dimostrazione.
Prendiamo H1 , H 2 ,........, H n eventi esclusivi, con P(H1 ) > 0 , per i=1,2,…..,n, e tale che
n
UH
i
= S,
i=2
dove S è lo spazio campionario; si dice che gli eventi H i costituiscono una partizione dello spazio
campionario come in figura.
H3
H4
H5
H1
A
S
H6
H2
Essi rappresentano le n possibili cause di un risultato sperimentale.
Sia poi A un evento, con P(A)>0, vogliamo calcolare la probabilità che Hi sia la causa del
verificarsi di A.
Dalla formula della probabilità condizionata abbiamo:
P(H i ∩ A)
P(A)
Dalla regola di moltiplicazione della probabilità ci da:
P(H i | A) =
P(H i ∩ A) = P(H i ) ⋅ P(A | H i )
Dalla sintesi delle due formule si ottiene:
P(H i | A) =
P(H i ) ⋅ P(A | H i )
P(A)
17
L’evento A è ottenuto dall’unione degli insiemi disgiunti H1∩A, H1∩A, ……. , Hn ∩A, alcuni degli
insiemi potrebbe essere anche vuoti come si vede nella figura seguente H7∩A=∅.
H3
H5
H1
H1∩A
H5∩A
H3∩A
H2∩A
H2
H6
S
H6∩A
H4∩A
A
H7
H4
Per il terzo assioma della probabilità si può quindi scrivere che:
n
P(A) = ∑ P(H j ∩ A)
j =1
Applicando la regola di moltiplicazione ricordata prima si ha:
n
P(A) = ∑ P(H j ) ⋅ P(A | H j )
j =1
Questa formula stabilisca che P(A) è uguale ad una media pesata di P(A|Hi) da ciò segue il teorema
di Bayes:
P(H i | A) =
P(H i ) ⋅ P(A | H i )
n
∑ P(H ) ⋅ P(A | H )
j =1
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j
j
La verifica dell'apprendimento
La verifica dell'apprendimento non deve essere un fatto isolato, eccezionale dell'attività
scolastica. Per cui l’unità didattica prevede due verifiche intermedie orali ed una verifica sommativa
finale che sarà riportata di seguito. Gli alunni devono percepire alle prove di verifica come
momenti ordinari dell'attività scolastica che consentono di rilevare, a loro prima che ai docenti qual
è la preparazione raggiunta e di acquisire consapevolezza in ordine al progredire
dell'apprendimento.
La verifica deve essere percepita come un fatto quotidiano, altamente formativo poiché
favorisce l'abitudine a studiare ogni giorno ed è indispensabile per accertare se c'è stato
apprendimento.
La continua verifica dell'apprendimento è una esigenza sostanziale da cui scaturisce la possibilità di
attribuire i voti quadrimestrali in base ad un giudizio brevemente motivato, desunto da un congruo
numero di interrogazioni e di esercizi scritti, grafici o pratici.
Verifica
1. Un'urna contiene 6 palline rosse, 4 nere, 8 bianche. Si estrae una pallina; calcolare la probabilità
di avere:
a) una pallina bianca;
b) una pallina nera;
c) una pallina non bianca;
2. Un'urna contiene 90 palline numerate da 1 a 90; si estrae una pallina. Calcolare la probabilità di
avere:
a) un numero pari;
b) un numero superiore a 20 ed inferiore a 35;
c) un numero la cui somma delle cifre sia 8;
3. Da un mazzo di 40 carte si estrae una carta. Calcolare la probabilità di avere:
a) una carta di fiori;
b) un numero dispari;
c) una carta non figura.
4. Da un mazzo di 52 carte si estrae una carta, calcolare la probabilità dei seguenti eventi:
a) la carta sia o di fiori o di picche;
b) la carta sia o una figura o un asso;
c) la carta sia o un sette o una carta di picche.
5. Da un'urna contenente 30 palline numerate da 1 a 30 si estrae una pallina, calcolare la
probabilità dei seguenti eventi:
a) esce una pallina con un numero minore di 10 o maggiore di 25;
b) esce una pallina con un numero divisibile per 4 o per 5;
c) esce una pallina con un numero divisibile per 7 o per 11.
6. Si lanciano due dadi, calcolare la probabilità dei seguenti eventi:
a) i due numeri sono entrambi pari o entrambi dispari;
b) la somma dei due numeri è un multiplo di 5;
c) i due numeri sono eguali fra loro o hanno per somma 4;
d) almeno uno dei due numeri è pari.
6. Da un mazzo di 40 carte si estrae una carta.
Calcolare la probabilità che sia un "re", sapendo che è una figura.
7. Da un mazzo di 52 carte si estrae una carta.
Calcolare la probabilità che sia un numero pari sapendo che non è figura.
8. Un'urna contiene 50 palline numerate; si estrae una pallina.
Calcolare la probabilità che sia un numero primo, sapendo che la pallina uscita è un numero
dispari.
9. Si lancia 8 volte una moneta. Calcolare la probabilità di avere:
a) per 5 volte testa;
b) almeno per 5 volte testa.
10. Si lancia 6 volte un dado. Calcolare la probabilità di avere:
a) il numero 6 per due e due sole volte;
b) un numero divisibile per 3 non più di due volte.
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Valutazione.
DESCRITTORI
PUNTI
Interpretazione dei dati
0-1
Individuazione e conoscenza delle formule
0-1
necessarie alla risoluzione dei quesiti
Grado di sviluppo
0-2
Correttezza impostazione e linearità
0-2
procedimento
Correttezza nei calcoli
0-2
Autonomia e creatività
0-2
10
Totale
Ogni esercizio assegnato verrà valutato con dieci punti il campito ha un punteggio totale di cento
punti. Si raggiunge la sufficienza con 60punti.
Recupero.
Osservato che l’argomento non risulta spesso ai più di semplice comprensione, una volta terminate
le varie verifiche orali e scritte del caso, se i risultati ottenuti da tutti non saranno soddisfacenti.
Si predisporranno dei gruppi di lavoro formati da chi meglio ha assimilato gli argomenti a fare da
docente ad chi ancora non raggiunge risultati soddisfacenti.
In questo modo il corso risulterà di approfondimento per chi è già in grado di lavorare in modo
autonomo sugli argomenti e di recupero per chi ancora no ha acquistato quella autonomia
sufficiente a padroneggiare bene l’argomento.
Eventualmente solo per un numero minimo di alunni si potranno realizzare corsi pomeridiani.
Conclusa l’opera di recupero verrà effettuata una verifica del recupero effettivamente ottenuto
facendo un punto della situazione paragonando i risultati di partenza con quelli di arrivo.
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