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LAVORO ED ENERGIA
Dott.ssa Silvia Rainò
Lavoro ed Energia
2

Consideriamo il moto di un oggetto vincolato a
muoversi su una traiettoria prestabilita, ad esempio:
 Un
treno vincolato a muoversi sui binari.
treno
Lavoro ed Energia
3
 Possiamo
applicare (separatamente) 3 forze, F1, F2 ed F3.
 Le tre forze hanno lo stesso modulo ma formano angoli
diversi con la direzione del moto.
F3
treno
F2
F1
Lavoro ed Energia
4
Domanda:
Con quale delle tre forze otteniamo una accelerazione
maggiore?
F3
treno
F2
F1
Lavoro ed Energia
5
Risposta:
Con F1
perché forma un angolo minore con la traiettoria.
F3
treno
F2
F1
Lavoro ed Energia
6
Se F1 costante durante uno spostamento d,
definisco il lavoro L1 compiuto dalla forza F1
lungo lo spostamento d
L1 = F1  d = F1 d cosq
F1
treno
d
Definizione del Lavoro di una Forza
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Si consideri un punto materiale in moto su una traiettoria
curvilinea e soggetto ad forza non costante.
Fi
F1
FN
Come vettorizzare la traiettoria
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divide la traiettoria s in piccoli tratti si.
 Ogni tratto si viene trasformato nel vettore si:
 Si
pari a si;
 Direzione tangente alle traiettoria in ogni punto;
 Verso da 1 --> N, cioè il verso di percorrenza della traiettoria
 Modulo
Fj
Fi
sj
si
s1
F1
Lavoro parziale
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 Calcoliamo
il lavoro compiuto dalla forza nel “primo”
tratto.
 L1 =
F1s1 = F1 s1 cos q
 Analogamente
s1 q
F1
si calcolano L2,…, Li,…, LN.
Lavoro di una Forza
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i vettori si, con i = 1,…,N
 Consideriamo i valori delle forze applicate al punto
materiale corrispondenti: Fi
 Importante: si e Fi sono vettori!!!
 Dati
N
L   Fi  si
i1
Si calcola il prodotto scalare tra il vettore Fi nel tratto i-esimo,
e si e poi si esegue la sommatoria.

Richiamo sul prodotto scalare
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c  a  b  abcosq  abb
a
ab= proiezione di a su b
q
ab
b
Interpretazione geometrica del Lavoro
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Fx
Calcoliamo Li = Fxi xi
FXi
xi
x
Interpretazione geometrica del Lavoro
13
Fx
Calcoliamo L = Li = Fxi xi
x
Interpretazione geometrica del Lavoro
14
Fx
Calcoliamo L = Li = Fxi xi
x
Casi Particolari
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 Vettore forza = costante
 Traiettoria rettilinea
F
q
x
L = F●x=Fxcosq
Casi (MOLTO) Particolari -116
 Vettore forza = costante
 Traiettoria rettilinea
 q = 90°
F
q  
x
L =F●x =Fxcos90°=0
(caso del moto di una particella carica in un campo magnetico)
Casi (MOLTO) Particolari -217
 Vettore forza = costante
 Traiettoria rettilinea
 q = 0°
F
q  
L =F●x =Fxcos0°= Fx
(lavoro motore)
x
Casi (MOLTO) Particolari -318
 Vettore forza = costante
 Traiettoria rettilinea
 q = 180°
F
q  
L =F●x =Fxcos180°= -Fx
(lavoro resistente)
x
Unità di Misura del Lavoro
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N

L   Fi  si  
 i1

 Newton  metro  Joule 
Esempio
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Mediante una corda tesa secondo una direzione
formante un angolo di 20° con la direzione
orizzontale un bambino tira un giocattolo
trascinandolo su un pavimento per 3 m.
Se la forza del bambino è F = 10 N, quanto vale il
lavoro da esso compiuto?
Forza: F = 10 N,
Spostamento: x = 3 m
Angolo tra F e x: q=20°
F
q  2
x
L = 10 N  3 m  cos(20°) = 10N  3 m  0.94 = 28.2 J
Esempio
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Una ragazza di 44 Kg scende da un albero alto 10 m.
Quanto vale il lavoro compiuto dalla forza peso?
Dati iniziali
m= 44kg
h= 10 m
Soluzione
La forza che agisce sulla ragazza è la forza peso
F= mg = 44kg9.8 m/s2= 431.2 N
Il lavoro compiuto nello spostamento h
L= Fh = 431.2 N10m = 4312 J
Domanda: se la ragazza scende dall’albero in 20 sec o in 1
minuto cosa cambia?
Potenza
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La potenza esprime
il lavoro erogato nell’unità di tempo.
P = L/t
grandezza scalare
Equazione dimensionale
[P] = [Joule/sec]
Unità di misura
[Watt] = [Joule/sec]
Esempio
23

Una ragazza di 44 Kg impiega 20 s per scendere da un
albero alto 10 m. Qual è la potenza media sviluppata dalla
ragazza durante la discesa?
Dati iniziali
m= 44kg,
h= 10 m,
t=20s
Soluzione
Avevamo già trovato che il lavoro compiuto dalla forza peso
nello spostamento h è:
L= mgh = 44kg9.8 m/s2 10m = 4312 J
La potenza media sviluppata nella discesa è:
P = L/t = 4312 J / 20s = 215.6 W
Teorema dell’Energia Cinetica -124
• Si consideri un punto materiale di massa m, vincolato a muoversi
su una traiettoria rettilinea per un tratto x, a causa di una forza F.
• Il punto materiale ha una velocità iniziale v0 ed una velocità
finale v
q  
m
F
Teorema dell’Energia Cinetica -225
• Il lavoro compiuto dalla forza F per uno spostamento x:
L=F x
• In un moto uniformemente accelerato vale la seguente
relazione tra v e v0: v2-v02 = 2a x
v  v0  at


1 2
x  x0  v0t  at

2

 v  v0
t  a


2
 x  x  v  v  v0   1 a v  v0 
0
0

 a  2  a 
v 2  v02  2ax  x0   2a  x
Teorema dell’Energia Cinetica - 3
26
•
•
L = Fx = max = m(v2-v02)/2 = mv2 /2 - mv02/2
Definiamo l’ Energia Cinetica di un punto materiale di massa
m e velocità v:
1 2
E k  mv
2
•
Abbiamo dimostrato:
1
1
2
L  mv  mv 02  E k_fin  E k_in  ΔEk
2
2
q  
m
F
Teorema dell’Energia Cinetica
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In presenza di più forze agenti F1, F2, ..Fi, …FN
agenti sul punto materiale:
L = L1 + L2 + …+ LN =EK
Calcolo del lavoro di specifiche forze
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• Forza peso
• Forza elastica
• Forza di attrito
Lavoro della forza peso
29
h2
A
mg
LAB = mg (h2 -h1)
h1
B
Lavoro della forza peso
30
A
h2
mg
LAB = LAC + LCB =
= mg AC cosq   
= mg (h2 -h1)
q
C
h1
B
mg
Lavoro della forza peso
31
In entrambi i casi
LAB = mg (h2 -h1)
A
h2
mg
C
h1
B
mg
Lavoro della forza peso
32
h2
A
mg
Anche nel caso di una
traiettoria curvilinea:
LAB = mg (h2 -h1)
(senza dimostrazione)
C
h1
B
mg
Lavoro della forza peso
33
h2
A
mg
Osservazione:
il lavoro compiuto dalla
forza peso sul corpo di
massa m NON dipende
dalla traiettoria ma solo
dalla posizione iniziale e
da quella finale.
C
h1
B
mg
Caso generale: forza gravitazionale
34
Forza gravitazionale:
MT m
F =G 2
r
Forza peso: F=mg
r > RT
Terra
Sappiamo che la forza peso rappresenta
la forza con cui i corpi vengono attirati
verso la Terra. Confrontando le due
espressioni troviamo:
MT
gG 2
RT
In generale il lavoro della forza gravitazionale per uno spostamento
s che va da r1 ad r2 è indipendente dal percorso seguito.
Lavoro della forza elastica
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Felas
Felas= -kx
Il lavoro si calcola come area sottesa dalla curva:
L= -(kx1+kx2)(x2-x1)/2= -(kx22-kx12)/2
x1
x2
X
Anche nel caso della forza elastica
il lavoro compiuto dipende solo
dalla posizione iniziale e da
quella finale.
Richiamo forza di attrito
36


Sia dato un corpo che si muove su un piano orizzontale.
Il coefficiente di attrito dinamico tra corpo e piano è
d.
La forza di attrito vale:
Fa= dN
ove N è la reazione normale.

N
y
v
 N  mg  0  N  mg

  d N  ma
Fa
mg
y
Fa  d mg
in verso opposto al moto
Lavoro della forza d’attrito
37
i
Caso A
Caso B
f
Un punto materiale
si muove da i verso f.
Tratto lungo d
Tratto lungo d+h
Tratto lungo h
In entrambi i casi il punto materiale di massa m parte da i ed
arriva in f, seguendo due percorsi diversi.
Per un corpo che si muove su un piano, la forza di attrito vale:
Fa=dN= dmg, nella stessa direzione del piano e in verso opposto
al moto.
Lavoro della forza d’attrito
38
i
Caso A
Caso B
f
Un punto materiale
si muove da i verso f
Tratto lungo d
Tratto lungo d+h
Tratto lungo h
LA = Fa●d= Fadcos180°= -dmgd
LB= Fa●(d+h) + Fa●h= -dmg(d+h)-dmgh  LA
Nel caso della forza d’attrito il lavoro compiuto dipende
dal percorso, a parità di posizione iniziale e finale.
Conclusioni
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Ci sono forze (la forza peso, la forza elastica) il cui lavoro
NON dipende dal percorso (fatto compiere al punto
materiale o alla estremità della molla) ma solo dal punto
iniziale e finale.
Altre forze (forza di attrito) il cui lavoro (fatto compiere al
punto materiale) dipende anche dal percorso
Forze conservative
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Forza conservativa :
il lavoro compiuto è indipendente dalla traiettoria seguita,
dipende solo dalla posizione iniziale e finale
Forza peso e forza elastica sono forze conservative.
Le forze come la forza di attrito si dicono non conservative
o dissipative.
Definizione di Energia potenziale
41
ENERGIA POTENZIALE
Per ogni forza conservativa si può introdurre una grandezza
tale da esprimere il lavoro della forza dalla posizione iniziale
A alla posizione finale B come DIFFERENZA dei suoi valori
assunti in A e B.
Tale grandezza ha il nome di Energia Potenziale Ep
L = -Ep
Richiamo: Lavoro della forza peso
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In entrambi i casi
LAB = mg (h2 -h1)
A
h2
mg
h1
C
B
mg
Energia potenziale (Forza peso)
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Si definisce energia potenziale associata alla forza peso
Ep = mgh
L = -Ep
 = differenza tra lo stato
finale e quello iniziale
Pertanto il lavoro della forza peso tra il punto A iniziale
ed il punto B finale, si può riscrivere nel modo seguente
LAB =mgh2-mgh1=- (mgh1 –mgh2)=
= Ep(A)- Ep(B) = -(Ep(B)-Ep(A)) = -DEp(BA)
Energia potenziale (Forza elastica)
44
Si definisce energia potenziale elastica
Ep = ½ kx2
L12
1 2 1 2
  kx2  kx1   E p ( 2)  E p (1)  EP
2
2

Anche per la forza elastica
L = -Ep
Conservazione dell’ Energia meccanica
45
Sia dato un sistema in cui agiscono solo forze
conservative sul punto materiale.
Sia γ uno spostamento da A (posizione iniziale) a B
(posizione finale), valgono e seguenti relazioni :


LAB = -Ep
LAB = EK
-Ep = EK
-Ep(B) + Ep(A) = Ek(B)-Ek(A)
Ek(A) + Ep(A) = Ek(B) + Ep(B)
Energia meccanica
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Si definisce Energia Meccanica EM = Ep + Ek
In presenza di SOLE forze conservative
Principio di conservazione
dell’ Energia Meccanica
E m  E k  E p  cost
Ove Ep è la somme delle varie forme di energia potenziale
Se agiscono solo forze conservative, il lavoro di tali forze causa un
aumento dell’energia cinetica, ottenuto a spese della diminuzione
di energia potenziale e viceversa, in modo tale che la somma delle
due energie resti costante.
Riepilogo sul lavoro ed energia
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- Definizione di lavoro ed energia cinetica
- Esistenza di forze conservative (la forza peso, la forza
elastica) il cui lavoro NON dipende dal percorso
effettuato ma solo dal punto iniziale e finale
- Introduzione di Ep e EM
- Per altre forze (forza di attrito) il lavoro (fatto
compiere al punto materiale) dipende anche dal
percorso
Riepilogo in formule
48

In generale per qualsiasi forza, vale il teorema
del lavoro e dell’energia cinetica:
L = EK


Per le forze conservative si può introdurre
l’energia potenziale:
L = -Ep
In presenza di forze conservative l’energia
meccanica si conserva:
EM = EK+Ep= cost
49
Lavoro ed energia: caso generale
Principio generale di conservazione dell’ energia
50
In presenza di forze non conservative l’ energia
meccanica non si conserva.
Sia in presenza di forze conservative che non conservative vale la
eelazione generale tra lavoro di una forza ed energia cinetica :
L = L1 + L2 +…+ LN=EK
Il lavoro totale sul punto materiale = somma del contributo
dato dalle forze conservative e del contributo dato dalle forze
NON conservative
Principio generale di conservazione dell’energia
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Indichiamo con:
LC  forze conservative
LNC  forze non conservative
Il lavoro totale è:
L = L1 + L2 +…+ LN= LC + LNC= EK
Solo per le forze conservative: LC = - Ep
LC + LNC= EK  - Ep+LNC= EK  LNC= EK + Ep= Em
Il lavoro delle forze non conservative (dissipative) è pari alla variazione
di energia meccanica
LNC = EM
Ricapitolazione
52

L = EK

Forze conservative : L = -Ep


Forze conservative: l’energia meccanica EM si
conserva : EM = EK+Ep= cost
LNC = EM