Distribuzioni discrete
• Definizione
La variabile casuale X ha distribuzione uniforme
discreta se la sua funzione di densità discreta è data
da:
1
f X (x) = N
0
Si dimostra che:
N +1
E[ X ] =
2
per x = 1,2,.., N
altrove
N 2 −1
σ =
12
2
x
Distribuzioni binomiale
• Definizione 3.3
La variabile casuale X ha distribuzione binomiale se
la sua funzione di densità discreta è data da:
n ⋅ p x ⋅ (1 − p ) n − x
f X ( x ) = x
0
per x = 0,1,2,.., n
altrove
Si dimostra che:
E[ X ] = n ⋅ p
σ x2 = n ⋅ p ⋅ (1 − p )
1
Distribuzioni binomiale
• Esempio
Consideriamo la variabile X relativa al lancio di una
moneta 3 volte dove con X si indica il numero di
volte in cui risulta testa.
T
T
T
C
C
C
C
T
C
T
T
C
T
C
X=3
X=2
X=2
X=1
X=2
X=1
X=1
X=0
1
8
3
f x (1) =
8
3
f x ( 2) =
8
1
f x (3) =
8
f x ( 0) =
Distribuzioni binomiale
Utilizzando la distribuzione binomiale con:
• p=0.5
• n=3
n ⋅ p x ⋅ (1 − p ) n − x
f X ( x ) = x
0
Si ha:
3 1
f x ( 0) = ⋅
0 2
0
1
⋅
2
3
per x = 0,1,2,.., n
altrove
1
8
3
f x ( 2) =
8
f x ( 0) =
3
8
1
f x (3) =
8
f x (1) =
2
Distribuzioni ipergeometrica
• Definizione
La variabile casuale X ha distribuzione
ipergeometrica se la sua funzione di densità discreta è
data da:
K ⋅ M − K
x n − x
f X (x) =
M
n
0
Si dimostra che:
E[ X ] = n ⋅
K
M
σ x2 = n ⋅
per x = 0,1,2,.., n
altrove
K M −K M −n
⋅
⋅
M
M
M −1
Distribuzioni ipergeometrica
• Esempio
Consideriamo una fornitura di 30 PC portatili di cui 6
presentano un difetto allo schermo.
Esaminandone 10, qual è la probabilità di averne 3
con quel difetto?
M = 30
K =6
6 ⋅ 30 − 6
x 10 − x
f X (x) =
30
10
n = 10
f X (3) = 0.23039
3
Distribuzioni ipergeometrica
• Utilizzo di Excel
Tornando all’esempio:
M = 30
K =6
n = 10
Distribuzioni di Poisson
• Definizione
La variabile casuale X ha distribuzione di Poisson se
la sua funzione di densità discreta è data da:
e −λ ⋅ λx
f X ( x ) = x!
0
per x = 0,1,2,.., n,..
altrove
Si dimostra che:
E[ X ] = λ
σ x2 = λ
4
