Liceo Classico "Racchetti" - Crema

LICEO ARTISTICO STATALE DI CREMA E CREMONA“B. MUNARI”
PROGRAMMA SVOLTO
Anno Scolastico 2015/2016
Classe V B
Materia:
Matematica
Insegnante:
Prof. ELISABETTA FANTI
Testo adottato: Bergamini, Trifone, Barozzi “Matematica.Azzurro” vol.5 ed. Zanichelli.
Funzioni e Funzioni reali di variabile reale
 Intervalli nell’insieme dei numeri reali: intervalli limitati; intervalli illimitati.
 Intorni di un punto
 Intorno destro, sinistro, completo.
 Intervalli aperti, semiaperti, chiusi.
 Introduzione al concetto di funzione e definizione.
 Funzioni iniettive, suriettive, biunivoche.
 Funzioni crescenti e decrescenti in un intervallo
 Funzioni monotone
 Dominio e codominio di una funzione
 Classificazione delle funzioni
 Calcolo del dominio di funzioni razionali intere, razionali fratte, esponenziali, logaritmiche, irrazionali
intere.
 Considerazioni intuitive sui grafici (lettura di alcune caratteristiche del grafico di una funzione):
dominio, codominio, intersezioni con gli assi, simmetrie, intervalli di positività, limiti, asintoti.
 Simmetrie particolari: funzioni pari e funzioni dispari.
Limiti e continuità delle funzioni
 Introduzione al concetto di limite: considerazioni intuitive a partire da grafici.
 Definizione rigorosa di limite, con il linguaggio degli intorni e con la simbologia tradizionale (casi:
finito/finito infinito/infinito; infinito/finito; finito/infinito): solo come completamento al concetto intuitivo
di limite.
 Limite destro e limite sinistro.
 Teorema di unicità del limite (solo enunciato).
 Definizione di funzione continua in un punto.
 Calcolo dei limiti delle funzioni continue.
Algebra dei limiti. Funzioni continue. Asintoti
 Somma/differenza/prodotto/quoziente di limiti.
 Teorema del limite della somma di due funzioni, teorema del limite della differenza, teorema del
limite del prodotto, teorema del limite del quoziente di due funzioni (solo enunciati).
 Forme indeterminate ( +/; 0/0): si sono svolti esercizi con funzioni polinomiali, irrazionali
intere, razionali fratte.
 Infiniti e loro confronto (regola pratica).
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Dal concetto intuitivo alla definizione di continuità di una funzione in un punto.
Punti di discontinuità di una funzione e loro classificazione (prima, seconda e terza specie o
eliminabile) anche con esempi grafici.
Saper determinare la tipologia di discontinuità a partire dall’equazione di una funzione.
Asintoti di una funzione: condizioni che si devono verificare per la presenza di asintoti orizzontali,
verticali, obliqui.
Ricerca di asintoti verticali, orizzontali e obliqui (per questi ultimi m e q senza dimostrazione).
Grafico probabile di una funzione partendo dall’equazione di una funzione algebrica razionale intera
o fratta.
Lettura di alcune caratteristiche del grafico di una funzione (dominio, codominio, intersezioni con gli
assi, insieme di positività,intervalli di monotonia,funzioni pari e dispari, limiti, asintoti).
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Derivata di una funzione. Algebra delle derivate.
 Rapporto incrementale
 Significato geometrico del rapporto incrementale
 Definizione di derivata
 Significato geometrico della derivata di una funzione in un punto.
 Determinazione dell’equazione di una retta tangente ad una funzione in un punto di coordinate
assegnate.
 Derivata destra e sinistra
 Punti stazionari (massimi relativi, minimi relativi, punti di flesso a tangente orizzontale ascendente e
discendente): comportamento della funzione nell’intorno dei punti di stazionarietà.
 Interpretazione geometrica di alcuni casi di non derivabilità (punto angoloso, cuspide, flesso a
tangente verticale)
 Continuità delle funzioni derivabili (teorema con dimostrazione. Esempi grafici di funzioni continue in
un punto ma non derivabili)
 Derivate di alcune funzioni elementari: funzione costante, funzione identità, funzione potenza,
funzioni goniometriche y = sen(x) e y = cos(x), funzioni logaritmica ed esponenziale con base “e” .
 Algebra delle derivate: le operazioni nella derivazione.
 Derivata della somma di due o più funzioni, derivata del prodotto di una costante per una funzione,
derivata del prodotto di due funzioni, derivata di una potenza con esponente qualsiasi, derivata del
quoziente, derivata di una funzione composta (in quest’ultimo caso solo semplici esempi).
 Derivata seconda.
 Teorema di Lagrange e teorema di Rolle. Solo enunciato e significato geometrico.
 Teorema di De L’Hôpital (senza dimostrazione) come condizione sufficiente per l’esistenza del limite
del rapporto f/g nei casi di indeterminazione 0/0 o /.
 Calcolo di limiti con l’utilizzo del teorema di De L’Hôpital.
Massimi e minimi relativi; Concavità e flessi; Studio delle funzioni e loro rappresentazione
grafica.
 Funzioni derivabili crescenti e decrescenti.
 Definizione di massimo e di minimo relativo.
 Ricerca dei punti Stazionari con la derivata prima.
 Definizione di punto di flesso.
 Ricerca dei punti di flesso con la derivata seconda.
 Ricerca degli intervalli di monotonia partendo dallo studio del segno della derivata prima: schema
con segno della derivata prima e intervalli in cui la funzione è crescente o decrescente.
 Concavità rivolta verso l’alto e rivolta verso il basso.
 Ricerca degli intervalli in cui una data curva volge la concavità in un verso o nell’altro partendo dallo
studio del segno della derivata seconda: schema con segno della derivata seconda e intervalli in cui
la concavità della funzione è verso l’alto o verso il basso.
 Schema generale per lo studio di una funzione razionale intera e razionale fratta e relativo
diagramma cartesiano.
Il programma è stato portato a conoscenza della classe e di seguito firmato dai rappresentanti
Cremona, 30 maggio 2016
I rappresentanti degli studenti
L’insegnante
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