Liceo Scientifico A. Einstein - Milano
PROGRAMMA DI MATEMATICA
Anno scolastico 2014-2015
Classe 3 E
Docente: F. Passeri
EQUAZIONI E DISEQUAZIONI
Risoluzione algebrica di equazioni e disequazioni razionali intere e fratte di primo e secondo grado
e di grado superiore al secondo. Equazioni e disequazioni con valore assoluto. Sistemi di
disequazioni. Equazioni e disequazioni irrazionali intere e fratte.
FUNZIONI
Definizione di funzione. Dominio, codominio, immagine, controimmagine. Grafico di una funzione e
sua rappresentazione nel piano cartesiano. Funzioni iniettive, suriettive, biunivoche.
Funzioni monotone, pari e dispari. Funzioni periodiche.
Funzione inversa: invertibilità, dominio e codominio, grafico.
GONIOMETRIA
Angoli e archi orientati. Definizione di radiante: relazione tra gradi e radianti. Angoli notevoli.
Circonferenza goniometrica: definizione delle funzioni goniometriche e loro significato geometrico
sulla circonferenza goniometrica. Relazione fondamentale della goniometria. Applicazione ai
triangoli rettangoli. Funzioni goniometriche di angoli notevoli.
Funzioni goniometriche: dominio e codominio, periodicità, grafici, simmetrie delle funzioni seno,
coseno, tangente e cotangente.
Formula goniometrica per la determinazione dell'area del triangolo.
Formule per la determinazione della lunghezza di un arco di circonferenza e per l'area del settore
e del segmento circolare di un cerchio.
PIANO CARTESIANO
Definizione e costruzione di un sistema di riferimento sulla retta e nel piano o nello spazio.
Distanza tra due punti. Punto medio di un segmento. Baricentro di un triangolo.
Definizione di luogo geometrico nel piano. Luoghi geometrici in forma parametrica.
TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE NEL PIANO
Definizione di trasformazione, punto unito, retta unita. Classi di trasformazioni.
Isometrie: definizione e loro proprietà. Invarianti delle isometrie.
i. Traslazioni: definizione ed espressione analitica; proprietà.
ii. Simmetria assiale: definizione; equazione analitica della simmetria rispetto agli assi
cartesiani, a rette parallele agli assi cartesiani, alle bisettrici del primo e secondo quadrante;
equazione generale della simmetria rispetto a una retta qualsiasi del piano; proprietà.
iii. Simmetria centrale: definizione ed espressione analitica; proprietà.
iv. Rotazioni: definizione ed espressione analitica di una rotazione con centro nell'origine degli
assi cartesiani e con centro in un punto qualsiasi del piano.
Omotetie: definizione ed espressione analitica di un'omotetia con centro nell'origine degli assi
cartesiani e con centro in un punto qualsiasi del piano. Proprietà: rapporti tra aree. Similitudine.
Trasformazione composta: espressione analitica di composizioni di isometrie e di isometrie e
omotetie, proprietà.
Grafici e trasformazioni geometriche.
Rappresentazione di punti, segmenti, poligoni trasformati.
Determinazione dell'equazione e rappresentazione di una curva trasformata: applicazioni a
parabola, circonferenza, ellisse, iperbole, funzione omografica, funzione esponenziale, funzioni
goniometriche semplici.
Grafici ottenibili per simmetrie e per traslazioni: f(-x), -f(x), -f(-x), |f(x)|, f(|x|), |f(|x|)|, |f(|-x|)|, f(x) + c,
f(x + c), f(x + h) + k.
Grafici ottenibili per omotetie: f(hx), k f(x), k f(hx).
Grafico delle funzioni inverse di funzioni invertibili.
RETTA
Retta come funzione di primo grado: equazione implicita. Casi particolari.
Retta passante per l'origine e definizione di coefficiente angolare. Significato geometrico e
goniometrico del coefficiente angolare di una retta. Coefficienti angolari di angoli notevoli
Traslazione di una retta passante per l'origine: equazione esplicita. Significato geometrico del
termine noto. Equazione della retta passante per un punto e della retta passante per due punti.
Rappresentazione di rette, spezzate e funzioni ottenibili da una retta. Regioni di piano.
Intersezione tra rette, sistemi di primo grado.
Condizione di parallelismo e di perpendicolarità. Distanza di un punto da una retta, distanza tra
rette parallele. Area di un poligono nel piano.
Asse di un segmento, bisettrice di un angolo. Punti notevoli di un triangolo: ortocentro, baricentro,
incentro, circocentro.
Fasci di rette: definizione, equazione, fascio proprio e fascio improprio, generatrici, retta esclusa,
centro del fascio proprio.
CONICHE
Definizione delle coniche come curve ottenibili dall'intersezione di un piano con una superficie
conica a due falde nello spazio.
Curve di secondo grado.
Parabola
Definizione di parabola come luogo geometrico: equazione canonica di una parabola con asse
parallelo all'asse delle ordinate.
Fuoco, direttrice, vertice, asse di simmetria, concavità e ampiezza della parabola in relazione al
parametro. Traslazione della parabola in forma canonica: equazione generale e interpretazione
geometrica dei coefficienti.
Parabola con asse parallelo all'asse delle ascisse.
Rappresentazione di una parabola e di funzioni e curve ottenibili dalla parabola. Regioni di piano.
Risoluzione grafica di equazioni e disequazioni irrazionali.
Condizioni per la determinazione dell'equazione di una parabola nel piano.
Posizioni reciproche di una retta e di una parabola e di due parabole. Intersezioni.
Determinazione delle rette tangenti ad una parabola: metodo del Δ = 0, metodo della retta polare,
calcolo del coefficiente angolare della tangente in un punto della parabola tramite il limite del
rapporto incrementale.
Sistemi parametrici.
Teorema di Archimede e area del segmento parabolico.
Fasci di parabole: definizione, equazione, punti base. Parabole degeneri di un fascio, retta base.
Circonferenza
Definizione di circonferenza come luogo geometrico: equazione canonica.
Circonferenza traslata: equazione normale e interpretazione geometrica dei coefficienti.
Problema inverso: metodo del completamento dei quadrati.
Rappresentazione di una circonferenza e di funzioni e curve ottenibili dalla circonferenza. Regioni
di piano.
Risoluzione grafica di equazioni e disequazioni irrazionali.
Condizioni per la determinazione dell'equazione di una circonferenza nel piano.
Posizioni reciproche di una retta e di una circonferenza e di due circonferenze. Intersezioni.
Determinazione delle rette tangenti ad una circonferenza: metodo della distanza centro–retta
tangente, metodo del Δ = 0, metodo della retta polare.
Sistemi parametrici.
Area del settore circolare e del segmento circolare.
Fasci di circonferenze: definizione, equazione, punti base. Circonferenze degeneri, asse radicale,
retta dei centri.
Ellisse
Definizione dell'ellisse come luogo geometrico: equazione canonica di un'ellisse con i fuochi
sull'asse delle ascisse o delle ordinate.
Fuochi, vertici, assi di simmetria, eccentricità. Significato geometrico dei parametri dell'ellisse.
Ellisse traslata: equazione normale. Problema inverso: metodo del completamento dei quadrati.
Ellisse degenere.
Rappresentazione di un'ellisse e di funzioni e curve ottenibili dall'ellisse. Regioni di piano.
Risoluzione grafica di equazioni e disequazioni irrazionali.
Condizioni per la determinazione dell'equazione di un'ellisse nel piano.
Posizioni reciproche di una retta e di una ellisse. Intersezioni.
Determinazione delle rette tangenti ad una ellisse: metodo del Δ = 0, metodo della retta polare.
Sistemi parametrici.
Ellisse come circonferenza dilatata. Area dell'ellisse, del settore e del segmento ellittico.
Iperbole
Definizione dell'iperbole come luogo geometrico: equazione canonica di un'iperbole con i fuochi
sull'asse delle ascisse o delle ordinate
Fuochi, vertici, eccentricità, assi di simmetria, asintoti. Interpretazione geometrica dei parametri
dell'iperbole.
Iperbole traslata: equazione normale. Problema inverso: metodo del completamento dei quadrati.
Iperbole degenere.
Rappresentazione di un'iperbole e di funzioni e curve ottenibili dall'iperbole. Regioni di piano.
Risoluzione grafica di equazioni e disequazioni irrazionali.
Condizioni per la determinazione dell'equazione di un'iperbole nel piano.
Posizioni reciproche di una retta e di un'iperbole. Intersezioni.
Determinazione delle rette tangenti ad un'iperbole: metodo del Δ = 0, metodo della retta polare.
Sistemi parametrici.
Fasci di coniche.
Iperbole equilatera: definizione, eccentricità.
Rotazione di un'iperbole equilatera: iperbole riferita ai propri assi; fuochi, vertici, asintoti.
Traslazione di un'iperbole equilatera ruotata: funzione omografica; condizione sui parametri,
dominio, codominio, asintoti, grafico.
Rappresentazione di funzioni ottenibili dalla funzione omografica.
Determinazione delle rette tangenti ad una funzione omografica: calcolo del coefficiente angolare
della tangente in un punto della funzione tramite il limite del rapporto incrementale.
Fasci di funzioni omografiche.
ESPONENZIALI
Potenze a esponente reale e relative proprietà.
Funzione esponenziale: definizione, condizioni sulla base, dominio, codominio, grafico, segno,
monotonia, asintoto.
Definizione del numero di Nepero e introduzione della base naturale.
Rappresentazione di funzioni ottenibili dalla funzione esponenziale elementare.
Dominio di funzioni del tipo af(x), [f(x)]α e [f(x)]g(x).
Equazioni e disequazioni esponenziali.
LOGARITMI
Definizione di logaritmo e sue proprietà. Proprietà del cambio di base.
Logaritmo naturale e logaritmo in base dieci.
Funzione logaritmica: definizione, condizioni sulla base, dominio, codominio, grafico, segno,
monotonia, asintoto.
Dominio di funzioni del tipo log f(x) e logg(x) f(x)
Equazioni e disequazioni esponenziali risolubili con i logaritmi.
Milano 04/06/2015
Il docente
