Energia potenziale elettrostatica
la forza di Coulomb e’ una forza centrale dunque e’
conservativa e puo’ essere derivata da una funzione
l’energia potenziale elettrostatica
scalare:
Energia potenziale elettrostatica
e’ il lavoro che occorre fare dall’ esterno per portare una
carica
q2
sorgente
q1
dall’infinito a distanza
r da una carica
fissa nello spazio
1 q1q2
U (r)
=
+ cost
4πε 0 r
nel S.I. l’energia potenziale elettrica si misura in Joule
esempio : tre cariche puntiformi
si parte da cariche poste all’infinito, di modo che le cariche
non interagiscano tra loro, configurazione cui si assegna
convenzionalmente energia potenziale elettrica nulla
il lavoro fatto per posizionare la prima carica puntiforme q1
dall’ infinito ad un generico punto dello spazio, sara’ nullo
L1 = 0
una volta fissata, e mantenuta fissa, la posizione della prima
carica
si sposta la seconda carica
q2
e questa volta
occorrera’ compiere lavoro dall’esterno per muovere
q2
in presenza del campo elettrico
E1 generato dalla prima carica q1
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Nota : gli spostamenti delle cariche andranno fatti in maniera adiabatica
la forza risentita dalla carica q2 in presenza del campo elettrico E1
generato dalla prima carica sara’ q2 E1
la forza esterna dovra’ ad ogni istante contrastare questa
forza, dovuta al campo elettrico generato dalla prima carica,
affinche’ vi sia equilibrio durante lo spostamento,
la forza esterna dovra’ essere ad ogni istante pari a − q2 E1
la forza esterna compira’ il lavoro L2
L2
∫
r12
∞
r
q1q2
FEst ⋅ dl =∫ − q2 E1 ⋅ dl = −
∞
12
4πε 0
∫
r12
∞
dr
q1q2 1
= +
2
r
4πε 0 r12
3
per spostare una terza carica puntiforme q3 in presenza dei
campi elettrici E1 ed E2 occorrera’ compiere il lavoro L3
L3 =
∫
r13
∞
r
q1q3 1 q2 q3 1
+
+
−q3 E1 ⋅ dl + ∫ −q3 E2 ⋅ dl =
∞
4πε 0 r13 4πε 0 r23
23
q1q2 1 q1q3 1 q2 q3 1
LT = L1 + L2 + L3 =
+
+
4πε 0 r12 4πε 0 r13 4πε 0 r23
in modo compatto
U=
1
2
3
∑
i =1,
j =1
(j ≠ i )
1
qi q j
4πε 0
rij
da notare la presenza del fattore ½ che evita il doppio conteggio dei termini
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Energia del campo elettrostatico
generalizzando ad N cariche elettriche
un sistema di N cariche elettriche puntiformi collocate in
una determinata configurazione spaziale fissa possiede
energia potenziale elettrostatica
riesce:
U=
1
2 =i
N
∑
1,=j 1 (j ≠ i )
1
qi q j
4πε 0
rij
due cariche puntiformi dello stesso segno poste
a distanza finita hanno energia potenziale positiva
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Potenziale elettrico
si definisce potenziale elettrico ( V ) l’energia potenziale elettrica
per unita’ di carica di prova
U
V=
q0
nel S.I. il potenziale elettrico si misura in Volt : 1 V = 1 Joule/Coulomb
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Potenziale elettrico di una carica puntiforme
U (r )
1 qq0
+ cost
4πε 0 r
e da
V =
U
q0
1
q
=
V (r )
+ cost
4πε 0 r
l’energia potenziale e il potenziale elettrico sono definiti a
meno di una costante additiva
se le cariche sorgenti sono distribuite in una regione
finita di spazio e’ legittimo assumere che cost = 0,
il che equivale ad assumere che forza e potenziale siano
nulli all’infinito
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se la distribuzione di cariche fosse estesa fino
all’infinito, cio’ non sarebbe piu’ vero ma in ogni caso
il valore della costante e’ ininfluente perche’ solo le
differenze di energia potenziale, e dunque solo le differenze
di potenziale ( d.d.p. ) hanno senso fisico
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dalla meccanica in un caso unidimensionale:
se le forze sono conservative si avra’
dL = U ( x) − U ( x + dx) = −dU
dU
Fx = −
dx
una forza conservativa è originata da una variazione nello spazio
dell’ energia potenziale
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in tre dimensioni U = U(x,y,z) e al posto delle derivate totali
occorrera’ sostituire le derivate parziali
∂U
Fx = −
∂x
ne discende
∂U
Fy = −
∂y
F = − grad U
e per il campo elettrico :
e dato che
∂U
Fz = −
∂z
e
ovvero
E = − grad V
F = −∇U
ovvero
E = −∇V
anche per il potenziale vale il principio di sovrapposizione
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Calcolo del campo generato da una carica elettrica Q
distribuita uniformemente su di un filo di lunghezza 2a e spessore trascurabile
nel generico punto P(x,y) a partire dal potenziale elettrico
dq
dV =
4πε 0 r
1
dV =
λ dl
1
4πε 0
( x − l )2 + y 2
integrando
+a
V = ∫ dV
−a
V=
λ
4πε 0
ln
x + a + ( x + a)2 + y 2
x − a + ( x − a) + y
2
2
per ottenere il campo bastera’ derivare rispetto a x ed y
∂V
Ex = −
∂x
∂V
Ey = −
∂y
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casi particolari:
potenziale per punti sull’asse delle ordinate x = 0
integrando su tutto il filo
V=
dV =
1
λ dl
4πε 0
l +y
a+ a + y
2
λ
4πε 0
ln
2
2
2
−a + a + y
2
2
per ottenere il campo bastera’ derivare rispetto ad y
∂V
Ey = −
∂y
Ey =
Q
1
4πε 0 y a 2 + y 2
1
2
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da notare che quando a tende all’infinito il campo tende al valore E y =
λ
1
2πε 0 y
mentre il potenziale diverge cosa comprensibile dato che vi sarebbero cariche
anche all’infinito quindi anche la forza ed il potenziale all’ infinito
sarebbero diversi da zero
ma le differenze di potenziale rimangono determinabili correttamente
anche se la formula diverge
se
V=
λ
4πε 0
ln
a + a2 + y2
−a + a 2 + y 2
λ
y2
V(y1) –V(y2) = ∆V = ln
4πε 0
y1
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