Programma di Geometria e Algebra, Corso di Laurea in Ingegneria Biomedica. Tot. 70 ore. Docente: Dr.ssa Daria Uccheddu (1) I Vettori: I vettori dello spazio euclideo ordinario: operazioni sui vettori, dipendenza e indipendenza lineare, vettori paralleli e ortogonali. Definizione di base e di sistema di generatori. Il prodotto scalare in Rn e l’angolo tra due vettori. Definizione di norma di Rn . Il prodotto vettoriale e prodotto misto di R3 con la loro interpretazione geometrica. Basi ortonormali e ortogonalizzazione di Gram-Schimdt. Definizione di spazio vettoriale e di sottospazio vettoriale e sua dimensione. (2) Matrici e determinanti: Definizione di matrice triangolare superiore ed inferiore, matrici diagonali e matrici identità. Operazioni tra matrici: somma, prodotto per uno scalare e loro proprietà. Prodotto righe per colonne tra due matrici. Determinante di un matrice quadrata e proprietà fondamentali. Sviluppo del determinante con il Teorema di Laplace. Teorema di Binet. Definizione di inversa di una matrice con il metodo dei complementi algebrici e con l’algoritmo di Gauss. Definizione di rango di una matrice e legame con i vettori linearmente indipendenti e dipendenti. Teorema di Kronecker. (3) Sistemi di equazioni lineari: Definizione di sistema lineare e sistemi omogenei. Relazione tra le soluzioni dei sistemi omogenei e i sottospazi vettoriali di Rn . Definizione e risoluzione dei sistemi lineari triangolari. Teorema di Rouché-Capelli e sua applicazione. Sistemi di Cramer, Teorema di Cramer e regola di Cramer. (4) Applicazioni lineari: Definizione di applicazione lineare e matrice associata. Definizione di endomorfismo tra spazi vettoriali e matrice associata. Relazione tra matrici associate allo stesso endomorfismo rispetto a due basi diverse definite sullo spazio vettoriale. Matrici simili e matrice di cambiamento di base. Definizione di Nucleo e Immagine di un’ applicazione lineare. Autovalori e Autovettori di un endomorfismo (e della matrice associata). Autospazi relativi ad autovalori e polinomio caratteristico di una matrice. Molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore, matrici diagonalizzabili e criterio di diagonalizzabilità. (5) Geometria Piana: Lunghezza di un segmento, punto medio di un segmento. Equazione cartesiana e parametrica della retta. Rette parallele e perpendicolari. Rette incidenti e angolo tra rette. Equazione dell’asse di un segmento e bisettrici degli angoli formati da due rette incidenti. Distanza di un punto da una retta. Fasci propri e impropri di rette. Equazione della circonferenza e posizione reciproca retta– circonferenza. Equazione della circonferenza dato centro e raggio, dati tre punti, dato un diametro, dati una tangente e un punto, data una tangente e la retta per il centro. Equazione dell’ellisse, dell’iperbole e della parabola. Classificazione delle coniche degeneri e non degeneri. Riduzione a forma conica, centro delle coniche a centro. (6) Geometria dello spazio: Lunghezza di un segmento, punto medio di un segmento. Equazione cartesiana e parametrica del 1 2 piano. Piani paralleli e piani perpendicolari. Piani incidenti e angolo tra piani. Posizione reciproca retta–piano, angolo tra retta e piano incidenti. Posizione reciproca tra due rette, rette sghembe. Distanza tra un punto e un piano, distanza tra un punto e una retta, distanza tra due rette. Retta di minima distanza. Fasci di Piani. Accenni alla sfera. (7) Numeri complessi: Operazioni con i numeri complessi, piano di Gauss, forma trigonometrica e forma algebrica. Radici. AGGIORNAMENTO DEL 01 Giugno 2016.