Programma di Geometria e Algebra,
Corso di Laurea in Ingegneria Biomedica.
Tot. 70 ore.
Docente: Dr.ssa Daria Uccheddu
(1) I Vettori:
I vettori dello spazio euclideo ordinario: operazioni sui vettori, dipendenza e indipendenza lineare,
vettori paralleli e ortogonali.
Definizione di base e di sistema di generatori.
Il prodotto scalare in Rn e l’angolo tra due vettori. Definizione di norma di Rn . Il prodotto vettoriale e prodotto misto di R3 con la loro interpretazione geometrica.
Basi ortonormali e ortogonalizzazione di Gram-Schimdt.
Definizione di spazio vettoriale e di sottospazio vettoriale e sua dimensione.
(2) Matrici e determinanti:
Definizione di matrice triangolare superiore ed inferiore, matrici diagonali e matrici identità.
Operazioni tra matrici: somma, prodotto per uno scalare e loro proprietà. Prodotto righe per
colonne tra due matrici.
Determinante di un matrice quadrata e proprietà fondamentali. Sviluppo del determinante con il
Teorema di Laplace.
Teorema di Binet. Definizione di inversa di una matrice con il metodo dei complementi algebrici e
con l’algoritmo di Gauss.
Definizione di rango di una matrice e legame con i vettori linearmente indipendenti e dipendenti.
Teorema di Kronecker.
(3) Sistemi di equazioni lineari:
Definizione di sistema lineare e sistemi omogenei. Relazione tra le soluzioni dei sistemi omogenei
e i sottospazi vettoriali di Rn . Definizione e risoluzione dei sistemi lineari triangolari. Teorema di
Rouché-Capelli e sua applicazione.
Sistemi di Cramer, Teorema di Cramer e regola di Cramer.
(4) Applicazioni lineari:
Definizione di applicazione lineare e matrice associata. Definizione di endomorfismo tra spazi vettoriali e matrice associata.
Relazione tra matrici associate allo stesso endomorfismo rispetto a due basi diverse definite sullo
spazio vettoriale. Matrici simili e matrice di cambiamento di base.
Definizione di Nucleo e Immagine di un’ applicazione lineare.
Autovalori e Autovettori di un endomorfismo (e della matrice associata). Autospazi relativi ad
autovalori e polinomio caratteristico di una matrice.
Molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore, matrici diagonalizzabili e criterio di diagonalizzabilità.
(5) Geometria Piana:
Lunghezza di un segmento, punto medio di un segmento. Equazione cartesiana e parametrica della
retta. Rette parallele e perpendicolari. Rette incidenti e angolo tra rette. Equazione dell’asse di
un segmento e bisettrici degli angoli formati da due rette incidenti. Distanza di un punto da una
retta. Fasci propri e impropri di rette. Equazione della circonferenza e posizione reciproca retta–
circonferenza. Equazione della circonferenza dato centro e raggio, dati tre punti, dato un diametro,
dati una tangente e un punto, data una tangente e la retta per il centro. Equazione dell’ellisse,
dell’iperbole e della parabola. Classificazione delle coniche degeneri e non degeneri. Riduzione a
forma conica, centro delle coniche a centro.
(6) Geometria dello spazio:
Lunghezza di un segmento, punto medio di un segmento. Equazione cartesiana e parametrica del
1
2
piano. Piani paralleli e piani perpendicolari. Piani incidenti e angolo tra piani. Posizione reciproca
retta–piano, angolo tra retta e piano incidenti. Posizione reciproca tra due rette, rette sghembe.
Distanza tra un punto e un piano, distanza tra un punto e una retta, distanza tra due rette. Retta
di minima distanza.
(7) Numeri complessi:
Operazioni con i numeri complessi, piano di Gauss, forma trigonometrica e forma algebrica. Radici.
AGGIORNAMENTO DEL 01 Giugno 2016.
