PROGRAMMA DI GEOMETRIA INGEGNERIA EDILE CORSO A - Bari INGEGNERIA CIVILE E PER L’AMBENTE & IL TERRITORIO - Taranto Prof.ssa L. Chieppa MATRICI-DETERMINANTI-SISTEMI LINEARI Matrici quadrate, rettangolari, triangolari, diagonali, nulle; matrice trasposta di una matrice, uguaglianza tra matrici. Matrici ortogonali: definizione e proprietà. Operazioni tra matrici e relative proprietà: addizione, moltiplicazione di uno scalare per una matrice, moltiplicazione tra matrici (righe per colonne). Determinante di una matrice quadrata, proprietà dei determinanti, combinazioni lineari tra righe o colonne, primo e secondo teorema di Laplace, teorema di Binet. Definizioni di sottomatrici e minori, di minori complementari e complementi algebrici. Matrici invertibili e singolari, condizione necessaria e sufficiente per l' invertibilità, matrice inversa e relative proprietà. Rango di una matrice, teorema di Krönecker o degli orlati. Equazioni lineari in una o più variabili, insieme delle soluzioni, caso omogeneo. Sistemi lineari compatibili, incompatibili; sistemi lineari equivalenti, sistemi lineari omogenei. Teorema di Rouché-Capelli, sistemi di Cramer; modalità di determinazione dell' insieme delle soluzioni di un sistema lineare compatibile. STRUTTURE ALGEBRICHE-SPAZI VETTORIALI Operazioni binarie interne, gruppi, gruppi abeliani, campi: definizioni, proprietà, esempi. Legge esterna: definizione ed esempi. Spazi vettoriali: definizione, proprietà, esempi. Definizioni di lineare dipendenza e di lineare indipendenza di vettori di uno spazio vettoriale e relative proprietà. Definizione di sistemi di generatori, basi, componenti e dimensione di uno spazio vettoriale. Spazi vettoriali non finitamente generati. Metodo degli scarti successivi e teorema del complemento della base. Sottospazi vettoriali, proprietà di chiusura; sottospazi intersezione di sottospazi, sottospazi somma (semplice e diretta) di due sottospazi, sottospazi generati da un numero finito di vettori. Relazione di Grassmann sulle dimensioni. APPLICAZIONI LINEARI Definizione e proprietà delle applicazioni lineari, isomorfismi, endomorfismi e automorfismi; nucleo e immagine di una applicazione lineare; legami tra matrici e applicazioni lineari; applicazioni lineari e lineare dipendenza (indipendenza) di vettori. Teorema delle dimensioni o del rango. MATRICI DIAGONALIZZABILI Matrici simili: definizioni e proprietà. Matrici diagonalizzabili: definizione. Definizioni di autovalori, autovettori, autospazi, polinomio ed equazione caratteristica, molteplicità algebrica e geometrica degli autovalori, condizione necessaria e sufficiente alla diagonalizzabilità di una matrice; condizione necessaria e sufficiente affinché due matrici siano simili; determinazione della matrice di passaggio e della matrice diagonale, caso delle matrici simmetriche reali. Terema di Cayley-Hamilton. VETTORI LIBERI Definizioni di segmenti orientati e vettori applicati; equipollenza tra segmenti orientati della retta, del piano e dello spazio. Vettori liberi della retta, del piano e dello spazio. Lineare dipendenza e indipendenza tra vettori liberi, parallelismo, complanarità. Spazio vettoriale di vettori liberi della retta, del piano e dello spazio, base e dimensione. Operazioni con i vettori liberi: addizione, moltiplicazione tra un vettore libero e uno scalare, prodotto scalare, prodotto vettoriale e misto e relative proprietà. Lunghezza di un vettore, versore di un vettore non nullo, vettori ortogonali, basi ortonormali. Prodotto scalare, vettoriale e misto calcolati tramite le componenti rispetto ad una base ortonormale. GEOMETRIA ANALITICA NEL PIANO Riferimento cartesiano nel piano, rappresentazioni di punti e rette nel piano; equazioni parametriche e cartesiane della retta; parametri direttori di una retta, coseni direttori di una retta orientata. Intersezione e parallelismo tra rette. Fasci propri e impropri di rette. Angoli tra rette; condizioni analitiche di parallelismo e perpendicolarità. Distanza tra due punti, distanza di un punto da una retta, distanza tra due rette parallele. GEOMETRIA ANALITICA NELLO SPAZIO Riferimento cartesiano nello spazio, rappresentazione di punti, rette e piani nello spazio. Intersezione tra piani; parallelismo tra piani. Fascio proprio, fascio improprio di piani. Equazioni parametriche e cartesiane della retta. Parametri direttori di una retta, parallelismo tra rette. Coseni direttori di una retta. Rette complanari, rette sghembe. Intersezione di una retta e di un piano; retta parallela ad un piano. Angoli tra due rette, tra due piani, tra una retta ed un piano. Condizioni analitiche di parallelismo e di perpendicolarità. Distanza tra due punti, distanza di un punto da un piano, distanza di un punto da una retta, distanza tra due rette parallele, distanza tra due piani paralleli, distanza tra una retta e un piano paralleli. Minima distanza e retta di minima distanza tra due rette sghembe. CONICHE Coniche riducibili, coniche irriducibili. Matrice di una conica. Invarianti di una conica. Classificazione affine delle coniche reali. Riduzione a forma canonica. Formula dello sdoppiamento e polarità. TESTI CONSIGLIATI: Appunti del docente V. Abatangelo, B. Larato, A. Terrusi, Complementi ed esercizi di algebra, Ed. Laterza, Bari. G. Vaccaro, A. Carfagna, L. Piccolella, Complementi ed esercizi di geometria e algebra lineare, Zanichelli. A. Cavicchioli, F. Spaggiari, Primo Modulo di Geometria, Pitagora Ed. Bologna. A. Cavicchioli, F. Spaggiari, Secondo Modulo di Geometria, Pitagora Ed. Bologna.