PENDOLO COMPOSTO
Una sbarra sottile omogenea, di lunghezza d e massa m, ha un estremo fissato ad un perno. La
sbarra viene portata in posizione orizzontale (formando cioè un angolo θ0 = π/2 rispetto alla verticale)
e lasciata libera di muoversi da ferma.
A) Trovare l'accelerazione angolare in funzione dell'angolo θ di rotazione della sbarra rispetto alla
verticale.
Scegliendo il perno come polo rispetto a cui calcolare i momenti otteniamo, dalla seconda
equazione cardinale della dinamica:
I⃗
α = ⃗r × F⃗p
otteniamo
α=
dmg
sin θ
2I
Il momento di inerzia I viene calcolato con il teorema di Huygens-Steiner:
I=
m d2 m d 2 m d 2
+
=
12
4
3
Otteniamo quindi
α (θ)=
3 g
sin θ
2 d
B) Trovare la velocità angolare della sbarra in funzione dell'angolo θ.
La forza di gravità è conservativa e la reazione vincolare non fa lavoro essendo applicata ad un
punto di quiete: possiamo pertanto usare la legge di conservazione dell'energia meccanica.
Scegliamo come punto di zero dell'energia potenziale gravitazionale la quota del perno,
corrispondente a quella del centro di massa nell'istante iniziale, ottenendo un'energia iniziale della
sbarra
E0 = 0
Durante tutto il moto della sbarra l'energia potenziale sarà minore o uguale a 0 e pari a
m g h =−
mgd
cos θ
2
e dalla conservazione dell'energia
0 =−
mgd
1
cos θ + I ω 2
2
2
otteniamo
√
ω= 3
g
cos θ
d
C) Trovare la reazione vincolare T del perno.
Esplicitiamo la prima equazione cardinale della dinamica:
⃗ + m ⃗g
m ⃗a = T
Scegliamo ora due assi ortogonali x e y come in figura. L'asse x è sempre
normale alla sbarra (e quindi alla traiettoria del centro di massa) mentre
l'asse y è sempre tangente a quest'ultima.
Separando ora le componenti dell'accelerazione,
ax = at = α
d
,
2
a y = a n = ω2
d
2
otteniamo le due equazioni scalari
−m a x = T x − m g sin θ
m a y = T y − m g cos θ
da cui ricaviamo
Tx=
mg
sin θ ,
4
Ty =
5mg
cos θ
2
e infine
T=
mg
2
√
1
2
2
sin θ + 25 cos θ
4
Notiamo che T ha valore massimo in θ = 0 mentre ha valore minimo in θ = ± π/2.
