Compitino3_Gennaio2009 - INFN

Fisica Sperimentale II – Ottica e Optometria –
III compitino – 15 Gennaio 2009
A) Si consideri un solenoide rettilineo ideale a sezione quadrata di lato a = 10 cm con
n =100 spire/m.
A1 – Calcolare il valore del rapporto R = B/i tra il campo magnetico all’interno del
solenoide (B) e la corrente che percorre le spire (i).
A2 – Calcolare il valore del coefficiente di autoinduzione L di un tratto di solenoide
rettilineo lungo D = 1 m.
B) Si consideri una sbarra ferma di lunghezza l = 10 cm, massa m = 6 g e resistenza
Rs = 2 Ω immersa in un campo magnetico B = 1 T.
B1 - Si calcoli il valore della f.e.m. ξ che è necessario applicare ai capi della sbarra
per bilanciare la forza peso.
B2 – Si supponga che all’istante t = 0 la sbarra venga lasciata libera di muoversi su
due guide verticali all’interno del campo magnetico con velocità iniziale v0 = v (t = 0)
nulla (vedi figura). Si assuma che le guide abbiano resistenza trascurabile e che la
sbarra, sempre soggetta alla forza peso, possa scorrere su di loro senza attrito.
Si calcoli il valore della resistenza Rx sul un tratto orizzontale CD necessaria perché
la velocità di regime della sbarra, v∞, sia pari 20 m/s.
Rx
C
D
B
Rs
Fisica Sperimentale II – Ottica e Optometria –
III compitino – 15 Gennaio 2009.
Risoluzione
A1 – Il valore del campo B all’interno del solenoide rettilineo a sezione quadrata e’ lo
stesso di quello di un solenoide rettilineo a sezione circolare come si ottiene
applicando il teorema di Ampère. E quindi sara’:
B =  n i, da cui otteniamo
B
= n = 4 10-7 * 100 = 12.56 * 10-5 T/A.
i
A2 - B) = (nD)a 2  0 ni = n2a2D i
R =
Pertanto
L = (B) / i = n2 a2 D  10-7 = 12.56 10-5 H.
B1 – Per bilanciare la forza peso (Fp) il modulo dellla forza di Lorentz (FL) deve
eguagliare quello di Fp. Pertanto
FL = Fp, ovvero
Bil = mg, con i = ξ/Rs.
Da qui si ottiene
B(ξ/Rs)l = mg
e quindi la f.e.m. ξ è pari a:
ξ = mgRs/Bl = (0.006 kg * 9.8 m/s2 * 2 Ω) / (1 T * 0.1 m) = 1.176 V.
B2 – A regime sulla sbarra non agiscono forze e la forza di Lorentz eguaglia in
modulo la forza peso. Pertanto nel circuito deve stabilirsi una f.e.m, indotta pari a ξ =
mgR/Bl (vedi risposta alla domanda B1), con R pari alla resistenza totale del circuito
R = Rs + Rx. Tale f.e.m. è indotta dal moto della sbarra nel campo magnetico ed è pari
alla derivata temporale del flusso concatenato con il circuito:
ξ = d(B) / dt = d(Blv∞t) / dt = Blv∞ = mgR/Bl,
da cui
R = (Bl)2 v∞ / mg = [(1T) 2 * (0.1 m)2 * 20 m/s] / (0.006 kg * 9.8 m/s2) = 3.4 Ω
Alla fine si ottiene
Rx = R - Rs = 3.4 Ω – 2 Ω = 1.4 Ω.