Il problema del calcolo dell’integrale indefinito di una funzione, altro non è che il problema della
ricerca dell’insieme delle primitive di quella funzione, calcoliamo i seguenti integrali indefiniti.
I)
∫ x dx
Determiniamo intanto una primitiva di y=x, cioè una funzione la cui derivata prima sia x. Poiché la
x2
x2
derivata di x2 è 2x, risulta che D
è una primitiva di y=x. Inoltre
= x e quindi la funzione y =
2
2
la funzione y=x è definita su un intervallo, pertanto (si veda nel libro di testo il paragrafo 5.2.6) ogni
altra sua primitiva differisce da questa per una costante. L’insieme delle primitive cercato è quindi:
x2
x
dx
=
+C.
∫
2
II)
3
3
∫ 3x dx = 3∫ x dx = 3 ⋅
x4
+C
4
Infatti vale la seguente proprietà ∫ k ⋅ f ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx ed inoltre
III)
4
∫ ( f (x ) + g (x )) dx = ∫ f (x )
1
dx + ∫ g ( x ) dx .
+1
3
x2
⋅
x
dx
=
x
dx
=
⋅
+ C = 4 ⋅ x 2 + C = 4 ⋅ x3 + C
6
6
6
∫
∫
1
+1
2
1
2
2
V)
x4
+C .
4
x5
∫ 2 x + sen x dx = ∫ 2 x dx + ∫ sen x dx = 2 ⋅ 5 − cos x + C
4
Infatti vale la seguente proprietà
IV)
3
∫ x dx =
+1
5
x3
x
3x 3
1
1
1− 1
∫ 1 + x 2 + 3 x dx = ∫ 1 + x 2 dx + ∫ x 3 dx = arctg x + 2 + C = arctg x + 5 + C
+1
3
1
VI)
∫
VII)
∫e
VIII)
x
∫ 5 dx =
IX)
∫ 2 x dx = 2 ∫ x dx = 2 log x + C
1− x2
x
1
dx = arcsen x + C
dx = e x + C
5x
+C
log 5
1 1
1
Esercizio 25.2
Calcoliamo i seguenti integrali indefiniti.
I)
∫ x⋅e
x
dx
Poiché la funzione da integrare è prodotto di due funzioni, si può calcolare questo integrale in modo
abbastanza semplice applicando la formula di integrazione per parti:
∫ f (x ) ⋅ g ′(x ) dx = f (x ) ⋅ g (x ) − ∫ f ′(x ) ⋅ g (x ) dx ;
più attenzione occorre avere nella scelta di quale delle due funzioni va considerata come fattore
finito f(x) e quale come fattore differenziale g ′( x ) . Poiché nella espressione a destra compare il
seguente integrale
∫ f ′(x ) ⋅ g (x ) dx , si comprende che sarà bene scegliere come fattore finito quella
delle due funzioni la cui derivata dà luogo ad una espressione più semplice da integrare. In questo
esempio è D( x ) = 1 mentre D e x = e x e pertanto prendiamo come fattore finito la funzione f(x)=x e
come fattore differenziale la funzione g ′( x ) = e x . Applicando la formula si ottiene:
( )
∫ x⋅e
II)
∫ sen
x
2
dx = f ( x ) ⋅ g ( x ) − ∫ f ′( x ) ⋅ g ( x ) dx =x ⋅ e x − ∫ 1 ⋅ e x dx = x ⋅ e x − e x + C = ( x − 1) ⋅ e x + C .
x ⋅ cos x dx
Anche questa funzione da integrare è prodotto di due funzioni e si può calcolarne l’integrale
indefinito con il metodo di integrazione per parti. Considerando come fattore finito la funzione
f(x)=sen2x, si ottiene:
2
2
∫ sen x ⋅ cos x dx = sen x ⋅ sen x − ∫ 2 sen x ⋅ cos x ⋅ sen x dx
e quindi
∫ sen
2
x ⋅ cos x dx = sen 3 x − 2 ∫ sen 2 x ⋅ cos x dx
per cui occorrerebbe integrare ancora la stessa funzione di partenza. Possiamo però riscrivere
l’equazione che abbiamo così ottenuto, nel modo seguente:
3
2
3
2
2
∫ sen x ⋅ cos x dx − 2∫ sen x ⋅ cos x dx = sen x ⇔ 3∫ sen x ⋅ cos x dx = sen x
sen 3 x
e quindi si trova: ∫ sen x ⋅ cos x dx =
+C .
3
2
Per convincersi della correttezza del risultato ottenuto si provi a derivare la funzione f ( x ) =
sen 3 x
3
e si vedrà che si ottiene proprio la funzione integranda.
Questo integrale indefinito poteva però venire calcolato in modo molto più semplice osservando che
la funzione f(x)=sen2x è una funzione composta e la funzione cosx è la derivata di senx; ciò
suggerisce di applicare il metodo di integrazione per sostituzione:
∫ g ′( f (x )) ⋅ f ′(x ) dx = ∫ g ′( f (x )) df (x )
posto f(x)=t si ottiene:
∫ g ′( f (x )) df (x ) = ∫ g ′(t ) dt = g (t ) + C
infine, sostituendo f(x) a t si trova:
∫ g ′( f (x )) ⋅ f ′(x ) dx = g ( f (x )) + C .
Applichiamo questo metodo per calcolare l’integrale indefinito: ∫ sen 2 x ⋅ cos x dx .
Poniamo t=senx, ne segue che il differenziale dt = cos x dx ; sostituendo nella funzione integranda
queste espressioni si ottiene:
t3
+C
3
e quindi sostituendo nuovamente senx al posto di t si trova:
sen 3 x
2
sen
cos
⋅
=
x
+C
x
dx
∫
3
2
2
∫ sen x ⋅ cos x dx = ∫ t dt =
III)
∫
x
2x 2 + 3
dx
Anche se la funzione integranda è esprimibile come prodotto di due funzione, non è assolutamente
opportuno applicare il metodo di integrazione per parti in quanto la presenza di una funzione
irrazionale dà luogo, generalmente, ad espressioni molto complicate per le derivate. Procediamo
quindi con il metodo della sostituzione. Poniamo t = 2 x 2 + 3 e quindi dt = 4 x dx . Per effettuare ora
le sostituzioni dobbiamo “costruirci” il differenziale 4 x dx , moltiplicando e dividendo la funzione
integranda per 4, otteniamo quindi:
1
− 1 +1
1 1
1 − 12
1 t 2
4
=
⋅
=
=
=
⋅
+C
dx
x
dx
dt
t
dt
∫ 2x 2 + 3
∫ 4 2x 2 + 3
4∫ t
4∫
4 1
− +1
2
1
1
2x 2 + 3 + C
=
t +C =
2
2
x
IV)
∫ log(1 − x ) dx
Effettuiamo innanzitutto una sostituzione di variabile ponendo t = 1 − x da cui segue dt = −1 dx .
Moltiplicando e dividendo la funzione integranda per –1 otteniamo:
∫ log(1 − x ) dx = −∫ log(1 − x ) (− 1)dx = −∫ log t dt .
Per calcolare ora questo integrale, anche se la funzione integranda non appare come prodotto di due
funzioni, possiamo comunque interpretarla come prodotto nel modo seguente: log t = 1 ⋅ log t ;
poniamo quindi, come fattore finito f (t ) = log t e come fattore differenziale g ′(t ) = 1 .
1
− ∫ log t dt = − ∫ 1 ⋅ log t dt = − f (t ) ⋅ g (t ) + ∫ f ' (t ) ⋅ g (t ) dt = − log t ⋅ t + ∫ ⋅ t dt =
t
= −t log t + t + C = −(1 − x )log(1 − x ) + (1 − x ) + C
