UniTE

Determinazione
dei Prezzi Forward
e dei Prezzi Futures
Lezione 6
5.1
Beni d’Investimento
e Beni di Consumo
I beni d’investimento (ad es., oro, argento)
sono beni che vengono posseduti
solo per fini d’investimento
da un numero significativo di investitori
I beni di consumo (ad es., rame, petrolio)
sono beni che vengono posseduti
principalmente per fini di consumo
5.2
Vendita allo Scoperto
La vendita allo scoperto consiste nel vendere titoli
che non si possiedono
I titoli sono presi in prestito attraverso un broker
e vengono venduti nel modo consueto
5.3
Vendita allo Scoperto (continua)
Chi vende allo scoperto
dovrà prima o poi ricomprare i titoli per restituirli
al broker da cui li ha presi in prestito
dovrà pagare i dividendi e gli altri eventuali
proventi al legittimo proprietario dei titoli
5.4
Simbologia
S0:
F0:
T:
r:
prezzo spot dell’azione al tempo 0
prezzo forward o futures dell’azione al tempo 0
scadenza del contratto forward o futures
tasso d’interesse privo di rischio per la scadenza T
5.5
Un’Opportunità di Arbitraggio?
–
–
Esempio:
il prezzo di un titolo che non paga dividendi
è pari a $40 sul mercato spot
e a $43 sul mercato dei forwards a 3 mesi
il tasso d’interesse a 3 mesi in dollari
è pari al 5% annuo
C’è un’opportunità di arbitraggio?
5.6
Un’Altra
Opportunità di Arbitraggio?
–
–
Esempio:
il prezzo di un titolo che non paga dividendi
è pari a $40 sul mercato spot
e a $39 sul mercato dei forwards a 3 mesi
il tasso d’interesse a 3 mesi in dollari
è pari al 5% annuo
C’è un’opportunità di arbitraggio?
5.7
Beni d’Investimento
che non Offrono Redditi
La relazione che lega il prezzo forward, F0,
e il prezzo spot, S0, di un bene d’investimento
che non offre redditi è
F0 = S0 e r T
dove r è il tasso d’interesse a T anni (composto
continuamente) e T è la scadenza del forward
Nell’esempio precedente S0 = $40, T = 0,25
e r = 0,05 per cui
F0 = $40 × e 0,05 × 0,25 = $40,50
5.8
Beni d’Investimento
che non Offrono Redditi (continua)
Se il prezzo spot è troppo alto rispetto al prezzo
forward e le vendite allo scoperto non sono possibili,
la relazione tra prezzo forward e prezzo spot continua
a valere - nel caso dei beni d’investimento - perché
chi possiede il bene trova conveniente venderlo a
pronti e riacquistarlo a termine
5.9
Beni d’Investimento
che Offrono Redditi 0oti
Per i beni d’investimento che offrono redditi noti
e non comportano costi d’immagazzinamento, la
relazione tra i prezzi forward e i prezzi spot è
F0 = (S0 – I) e r T
dove I è il valore attuale del reddito distribuito
durante la vita del contratto
5.10
Beni d’Investimento
che Offrono Dividend Yields 0oti
Per i beni d’investimento che offrono
dividend yields noti e non comportano costi
d’immagazzinamento, la relazione tra prezzi forward
e prezzi spot è
F0 = S0 e (r – q) T
dove q è il dividend yield medio
Si assume che il bene d’investimento offra
un reddito pari a qS0∆t nel periodo ∆t
5.11
Valore di un Contratto Forward
Il valore di un contratto forward lungo, f, è pari a
f = (F0 – K)e–rT
dove F0 è il prezzo forward che si applicherebbe ora
al contratto e K è il prezzo di consegna
Analogamente, il valore di un contratto forward corto
è pari a
–f = (K – F0)e–rT
5.12
Prezzi Futures e Prezzi Forward
Di solito, si assume che i prezzi forward
e i prezzi futures siano uguali
In realtà, i prezzi sono leggermente diversi quando i
tassi d’interesse sono incerti:
se c’è una forte correlazione positiva tra i tassi
d’interesse e l’attività sottostante, il prezzo futures
è un po’ più alto del prezzo forward
se c’è una forte correlazione negativa tra i tassi
d’interesse e l’attività sottostante, il prezzo
forward è un po’ più alto del prezzo futures
5.13
Indici Azionari
Gli indici azionari possono essere considerati
alla stregua di beni d’investimento che offrono
dividend yields continui
Pertanto, la relazione tra il prezzo futures
e il prezzo spot di un indice azionario è
F0 = S0 e (r – q) T
dove q è il dividend yield medio del portafoglio
che è alla base dell’indice
5.14
Indici Azionari (continua)
Affinché la formula sia valida è importante
che l’indice rappresenti un bene d’investimento
In altri termini, le variazioni dell’indice devono
corrispondere alle variazioni di valore
di un portafoglio negoziabile
L’indice Nikkei (¥) visto come un’attività
in dollari ($) non rappresenta un bene d’investimento
5.15
Arbitraggi su Indici
Se F0 > S0e(r – q)T l’arbitraggio comporta:
l’acquisto delle azioni sottostanti l’indice
la vendita del futures
Se F0 < S0e(r – q)T l’arbitraggio comporta:
la vendita delle azioni sottostanti l’indice
l’acquisto del futures
5.16
Arbitraggi su Indici (continua)
Gli arbitraggi su indici comportano negoziazioni
simultanee su futures e su azioni
Molto spesso è il computer che suggerisce
le operazioni da effettuare (computer trading)
A volte (ad esempio in occasione del “Lunedì Nero”)
le negoziazioni simultanee non sono possibili
e la relazione teorica di assenza di opportunità
di arbitraggio tra F0 e S0 può non valere
5.17
Futures su Valute
Le valute estere sono simili a titoli che offrono
un dividend yield continuo
Il dividend yield continuo è dato dal tasso d’interesse
estero privo di rischio
Ne segue che
F0 = S0e(r – r )T
dove rf è il tasso d’interesse estero privo di rischio
f
5.18
Perché la Relazione Deve Valere
1.000 unità
di valuta estera
al tempo zero
1.000 e rfT
unità di valuta estera
al tempo T
1.000 S0 unità
di valuta interna
al tempo zero
1.000 F0e rfT
unità di valuta interna
al tempo T
1.000 S0e rT
unità di valuta interna
al tempo T
5.19
Futures su Beni di Consumo
Per i futures su beni di consumo si ha
F0 ≤ (S0 – U)erT
dove U è il valore attuale dei costi
di immagazzinamento dell’attività sottostante
In alternativa,
F0 ≤ S0e(r – u)T
dove u è il costo di immagazzinamento per unità
di tempo espresso in proporzione al valore
dell’attività sottostante
5.20
Costo di Trasferimento
e Tasso di Convenienza
Per i beni d’investimento si ha
F0 = S0ecT
dove c è il costo di trasferimento
(costo di immagazzinamento più le spese
per interessi meno il reddito percepito)
Per i beni di consumo si ha
F0 = S0e(c – y)T
dove y è il tasso di convenienza
5.21
Prezzi Futures e Aspettative
dei Futuri Prezzi Spot
Assumiamo una posizione lunga su un futures
per scadenza T e investiamo l’importo F0e–rT
in titoli privi di rischio, in modo da avere ST
alla scadenza del contratto futures
Pertanto F0e–rT = E(ST)e–kT da cui
F0 = E(ST)e(r – k)T
dove k è il tasso di rendimento atteso
dagli investitori sull’attività sottostante
5.22
Prezzi Futures e Aspettative
dei Futuri Prezzi Spot (continua)
–
–
–
Se l’attività
non ha rischio sistematico, si ha
k = r e F0 = E(ST)
ha rischio sistematico positivo, si ha
k > r e F0 < E(ST)
ha rischio sistematico negativo, si ha
k < r e F0 > E(ST)
5.23