Determinazione dei Prezzi
Forward e dei Prezzi Futures
Capitolo 3
40
Capitalizzazione Continua
41
Se si capitalizzano gli interessi sempre più
frequentemente, si ottiene al limite un tasso
d’interesse composto continuamente
$100 investiti per un periodo T al tasso composto continuamente R diventano $100eRT
Se il tasso di attualizzazione, composto
continuamente, è R, il valore attuale, al tempo
zero, di $100 che verranno incassati al tempo
T è pari a $100e-RT
Vendita allo Scoperto
42
La vendita allo scoperto consiste nel vendere
titoli che non si possiedono
I titoli sono presi in prestito attraverso un broker
e vengono venduti nel modo consueto
Vendita allo Scoperto (continua)
43
Chi vende allo scoperto
– dovrà prima o poi ricomprare i titoli per restituirli al
broker da cui li ha presi in prestito
– deve pagare i dividendi e gli altri eventuali proventi al
legittimo proprietario dei titoli
Es.:
Un operatore decide di vendere allo scoperto 500 azioni
IBM ad aprile. Il prezzo delle azioni è 50$. A maggio
viene pagato un dividendo di 1 $ per azione. A luglio
viene chiusa la posizione e le azioni sono riacquistate ad
un prezzo di 30$
Tasso di Riporto
44
Il tasso di riporto è il tasso d’interesse rilevante per
molti arbitraggisti:
– i
contratti di riporto (repos o repurchase
agreements) sono accordi con i quali una istituzione finanziaria vende titoli a pronti ad un’altra
istituzione finanziaria e li riacquista a termine ad
un prezzo che in genere è lievemente più alto
– la differenza tra il prezzo di riacquisto a termine e il
prezzo di vendita a pronti è l’interesse percepito
dalla controparte
Titoli che non Offrono Redditi
45
Per i beni d’investimento che non offrono redditi
e non comportano costi d’immagazzinamento, la
relazione tra i prezzi forward e i prezzi spot è
F = SerT
3.10
Titoli che offrono Redditi Noti
46
Per i titoli che offrono redditi noti la relazione tra
i prezzi forward e i prezzi spot è
F = (S - I)erT
dove I è il valore attuale del reddito noto
Titoli che offrono Redditi Noti
Esempio
Si consideri un FWD lungo che consente di
acquistare un coupond bond il cui prezzo
corrente è di 900$. Si supponga che il
contratto scada tra 1 anno. Si attendono
pagamenti di cedole pari a 40$ tra 6 e tra 12
mesi. I tassi di interesse a 6 e a 12 mesi sono
rispettivamente 9 e 10%
47
Titoli che offrono Redditi Noti
I IPOTESI
F = 930$ (prezzo relativamente alto)
L’operatore può:
Prendere a prestito 900$ per comprare l’azione
Rivendere FWD
48
- 38,24$ sono presi a prestito al 9% annuo per 6 mesi (la
prima cedola sarà sufficiente a rimborsare i 40$).
- I rimanenti 861,76$ (900-38,24) sono presi in prestito al
10% per 1 anno. Dopo un anno l’operatore deve restituire
952,39$ (capitalizzazione continua di 861,76$)
Titoli che offrono Redditi Noti
II IPOTESI
F = 905$
L’operatore può:
Vendere spot l’azione (vendita allo scoperto?)
Acquistarla FWD
49
- Dei 900$ realizzati con la vendita del titolo, 38,24$ sono
investiti al 9% annuo per 6 mesi, così da assicurare alla
scadenza un importo pari alla cedola
- I rimanenti 861,76$ sono investiti al 10% per un anno,
diventando 952,39$. Di questi 40$ servono a pagare la II
cedola di interessi
Beni d’Investimento
che Offrono Dividend Yields Noti
Per i beni d’investimento che offrono
dividend yields noti (rapporto tra dividendo e
prezzo del titolo), la relazione tra i prezzi forward
e i prezzi spot è
F = Se(r - q)T
dove q è il dividend yield
QUALI OPPORTUNITA’ DI ARBITRAGGIO?
50
Valore di un Contratto Forward
51
Il valore di un contratto forward lungo, f, è
f (F - K)e-rT
dove F è il prezzo forward che si appliche-rebbe
ora al contratto e K è il prezzo di consegna
Analogamente, il valore di un contratto forward
corto è
- f (K - F)e-rT
Valore di un Contratto Forward
Titoli che NON offrono Reddito
f = (F-K) e-rT
Poiché
F = SerT
f = (SerT – K) e-rT = S - K e-rT
52
Titoli che offrono Reddito Noto
f = S- I - Ke-rT
Titoli che offrono Dyvidend Yield Noto
f= Se- qT – Ke - rT
Prezzi Futures e Prezzi Forward
Di solito, si assume che i prezzi forward e i prezzi
futures siano uguali
Tuttavia, i prezzi sono leggermente diversi
quando i tassi d’interesse sono incerti:
–
–
53
se c’è una forte correlazione positiva tra i tassi
d’interesse e l’attività sottostante, il prezzo futures è
un po’ più alto del prezzo forward
se c’è una forte correlazione negativa tra i tassi
d’interesse e l’attività sottostante, il prezzo forward è
un po’ più alto del prezzo futures
Indici Azionari
54
Gli indici azionari possono essere conside-rati
alla stregua di beni d’investimento che offrono
un dividend yield continuo
Pertanto, la relazione tra il prezzo futures e il
prezzo spot di un indice azionario è
F = Se(r - q)T
dove q è il dividend yield del portafoglio che è
alla base dell’indice
Arbitraggi su Indici
Se F Se(r - q)T l’arbitraggio comporta:
–
–
Se F < Se(r - q)T l’arbitraggio comporta:
–
–
55
l’acquisto delle azioni sottostanti l’indice
la vendita del futures
la vendita delle azioni sottostanti l’indice
l’acquisto del futures
Arbitraggi su Indici (continua)
56
Gli arbitraggi su indici comportano negozia-zioni
simultanee su futures e su azioni
Molto spesso è il computer che suggerisce le
operazioni da effettuare (computer trading)
A volte (ad esempio in occasione del “Lunedì
Nero”) le negoziazioni simultanee non sono
possibili e la relazione teorica di assenza di
opportunità di arbitraggio tra F e S può non valere
Futures su Valute
Le valute estere sono simili a titoli che offrono un
dividend yield continuo
Il dividend yield continuo è dato dal tasso
d’interesse estero privo di rischio
Ne segue che
F Se(r - r )T
dove rf è il tasso d’interesse estero privo di
rischio
f
57
Futures su Merci (Oro e Argento)
58
Per i futures su merci si ha
F (S U)erT
dove U è il valore attuale dei costi di
immagazzinamento dell’attività sottostante
In alternativa,
F Se(r u)T
dove u è il costo di immagazzinamento per unità
di tempo espresso in proporzione al valore
dell’attività sottostante
Futures su Merci (Oro e Argento)
QUALI OPPORTUNITA’ DI ARBITRAGGIO?
Se
F (S U)erT
59
Un operatore può:
Prendere in prestito al tasso privo di rischio un
importo di denaro pari ad S+U ed utilizzarlo per
acquistare un’unità della merce e pagare i costi
di immagazzinamento
Vendere un contratto Futures su un’unità della
merce
Futures su Merci (Oro e Argento)
Se
F < (S U)erT
Un operatore può:
Vendere la merce e risparmiare i costi di
immagazzinamento ed investire il ricavato al
tasso di interesse privo di rischio
Comprare un contratto Futures
60
