Corso di AERODINAMICA E GASDINAMICA
Anno Accademico 2016/2017
- Lezione N.4 -
Prof. Ing. Renato RICCI
Equazioni fondamentali della fluidodinamica
Le equazioni di Conservazione che devono essere soddisfatte nella Meccanica dei Fluidi sono:
1. CONSERVAZIONE DELLA MASSA
2. CONSERVAZIONE DELLA QUANTITA’ DI MOTO
3. CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA
dS
La conservazione della Massa viene
garantita quando il flusso netto della stessa
attraverso una superficie di controllo
corrisponde alla variazione locale di massa
nell’unità di tempo. Ovviamente è questo
un approccio di tipo Euleriano, applicato
cioè ad un volume di controllo fermo nello
spazio.
dS
V
dV
V
Flusso netto di massa attraverso la
superficie S del volume di controllo
B V dS
S
=
=
Variazione locale di massa nel tempo
C
dV
t V
Conservazione del flusso di Massa e Quantità di moto
dV
V
dS 0
t
V
S
Applicando il Teorema
della Divergenza
Per un volumetto
diventa
dV
(
V
) dV 0
t
V
V
In coordinate cilindriche l’equazione di Continuità diventa:
1 (r Vr ) 1 ( V ) ( Vz )
0
t r
r
r
r
z
Conservazione del Flusso di Quantità di moto
Forze di Massa f dV
V
+
Forze di Pressione - p dS
S
t
( V ) 0
G ( V dS ) V
+ Forze Viscose = F =
S
visc .
+
H V dV
t V
Applicando il Teorema del Gradiente al termine delle forze di pressione si ha:
V dV ( V dS ) V p dV f dV Fvisc
t V
S
V
V
Equazione di Navier-Stokes per fluidi newtoniani
incomprimibili
Applicando il Teorema del Gradiente al flusso di quantità di moto si ha:
V dV V V dV p dV f dV Fvisc
t
V
V
V
V
che per fluidi newtoniani ed incomprimibili diventa:
V
DV
V V p g 2V
Dt
t
L’equazione di Navier-Stokes scritta in forma dimensionale non consente di apprezzare l’importanza dei singoli termini. E’ così
conveniente trovare una forma adimensionale della stessa in modo da valutare quali sono le caratteristiche principali del campo
di moto che portano ad un’eventuale semplificazione dell’equazione.
f Lref
Vref
V *
p0 p * * gLref
*
*
*
p 2
* V V
2
t
Vref
Vref
*
g
Vref Lref
*2 *
V
I termini fra parentesi quadre rappresentano dei gruppi adimensionali noti come: numero di Strouhal, St, numero di Eulero, Eu,
numero di Froude, Fr, numero di Reynolds, Re.
St
V
1
1
V * * V * Eu * p* 2 g * *2V *
*
t
Fr
Re
*
Poiché il secondo termine dell’equazione è unitario le dimensioni degli altri termini sono condizionate solo dai 4 numeri
adimensionali citati in precedenza; si avrà così che se in un flusso la frequenza caratteristica è bassa, flusso quasi stazionario, il
numero di Strouhal è sensibilmente inferiore ad 1 ed il primo termine dell’equazione diventa trascurabile.
Allo stesso modo se il campo di moto non presenta condizioni di flusso a pelo libero o di moto ondoso in generale l’effetto della
gravità è basso ed il numero di Froude è molto alto.
p*
p p
p0 p
g* =
g
g
t* f t
V *=
V
Vref
* Lref
p0 p
Salto di pressione
di riferimento
f Frequenza caratteristica
Calcolo della resistenza aerodinamica mediante
l’applicazione della Conservazione della quantità di moto
L’equazione di conservazione della quantità di moto può essere utilizzata per misurare la resistenza aerodinamica di un profilo alare all’interno di una
galleria del vento. A tal proposito è necessario che si sottolinei come l’equazione di cui sopra DEVE essere applicata ad un volume di fluido, pertanto è
importante che il corpo aerodinamico venga sottratto dal volume di fluido sostituendo ad esso la reazione che lo stesso esercita, R’.
Nel detrarre il corpo al fluido è indispensabile che si TAGLI il fluido stesso secondo la linea “c-d-e-f-g”, fatto questo è altrettanto importante che tale taglio
non porti ad una modifica morfologica del volume di controllo “a-b-h-i” e ciò può avvenire se il flusso di massa attraverso c-d è analogo a quello
attraverso f-g e non ci sono variazioni temporali apprezzabili. Il flusso all’ingresso è UNIFORME e STAZIONARIO e le linee di corrente che delimitano il
dominio di controllo sono sufficientemente lontane dal corpo di cui si vuole conoscere la RESISTENZA, in tali condizioni la variazione della quantità di
moto è uguale alla somma delle forze di pressione su volumetto e la reazione del corpo sul fluido:
dS )V pdS R '
S
a
Poiché lo scopo è valutare la resistenza aerodinamica
è necessari valutare solo la variazione della quantità
di moto lungo l’asse –x- :
p
e
dS ) u ( pdS ) x D '
abhi
Lungo le linee di corrente a-b, d-e-f- e h-i si ha:
Per cui la portata massica che entra attraverso il
contorno i-a deve essere analoga a quella uscente
attraverso la sezione b-h:
( V dS ) ( V dS )
ai
ai
( p dS ) x
ai
bh
a
D ' ( V dS ) u
i
h
La conservazione della massa ci porta alla:
d
f
R’
p
( V
bc
dS ) x
( V
gh
dS ) u
( p dS ) x ( p
bh
hi
D'
b
2
x
c
g
h
dS ) u
b
D ' 1 u 1 dy 2 u 22 dy (p p bh ) (y b y h ) (1)
2
(p
ab
pbh
x
i
V × dS = 0
y
R
u1(y)=u1
S ( V
b
p
u2(y)
S ( V
dS ) x
Se la galleria del vento presenta una
sezione di elevata profondità è
pensabile ridurre il fenomeno al
calcolo di una resistenza per unità di
lunghezza adottando una superficie
di flusso pari a: dS dy (1)
u 2 (u 1 u 2 )dy ( p p bh )(y b y h )(1)
h
a
b
a
b
i
h
i
h
1u1dy 2u 2dy e ricordando che all’ingresso il flusso è UNIFORME avremo:
2
1u1 dy 2u1u 2dy
Esercizio – parte prima
Consideriamo una lastra piana di lunghezza “c” soggetta ad un flusso di un fluido incomprimibile; lo strato limite all’uscita è ancora Laminare ed il suo
spessore finale è dato da
c
5
Rec
ed il coefficiente di resistenza è:
Cf
D'
1.328
q c (1)
Rec
Ipotizzando che la velocità nello strato limite sia rappresentabile da una legge di potenza calcolare l’indice “n” dell’equazione:
y
u V
n
SOLUZIONE
Su di una lastra piana orizzontale la variazione di pressione lungo il flusso è NULLA e la resistenza è così pari solo alla variazione della
quantità di moto.
D'
Cf
u2 (u1 u2 )dy
q c(1) 1 V 2c 0
2
/c
1.328
2
Rec
0
c
5
Rec
u1 V
/c
Cf 2
0
u2
u2 y
1
d
V V c
y / c n y / c 2 n y
/ c d c
/
c
1.328
2
2
Rec n 1 c 2 n 1 c
0.2656 n2 0.6016 n 0.1328 0
Rec
V c
Esercizio – parte seconda
Ricordando che:
c
5
Rec
si ha:
1.328
2
2
2
5
2
5
Rec n 1 c 2 n 1 c n 1 Rec 2 n 1 Rec
0.2656 n2 0.6016 n 0.1328 0
n=2
Soluzioni
n=0.25
La soluzione “n=2” non risulta accettabile mentre l’altra soluzione si avvicina molto di più alla distribuzione esatta dello strato limite laminare.
Equazioni di Eulero e di Bernoulli
Quando all’interno del campo di moto gli sforzi viscosi assumono un ruolo marginale è pensabile trascurarne il contributo dinamico e semplificare
l’equazione di Navier-Stokes nel modo seguente:
t
V dV V V dV p dV f dV
V
V
V
V
Poiché l’equazione è valida qualunque siano le dimensioni del volume di controllo possiamo arrivare ad una forma differenziale della stessa:
( V )
t V V p g
EQUAZIONE DI EULERO.
Se assumiamo il flusso STAZIONARIO ed il fluido INCOMPRIMIBILE l’equazione di Eulero diventa:
V2
V V 2 V ( V ) p g
Metodo del Vettore Identità
l’accelerazione gravitazionale è diretta lungo l’asse z per cui possiamo scrivere che: g =- gk = -g Ñz = Ñ(-g z )
2
V
p
gz V ( V )
2
EQUAZIONE DI BERNOULLI LUNGO
UNA LINEA DI CORRENTE.
Il termine al primo membro è ortogonale alla linea di corrente, in quanto risultato di un
prodotto vettoriale fra la Velocità ed il suo rotore. Oltre a ciò essendo il primo membro
gradiente di un campo scalare è un vettore ortogonale ad una superficie immaginaria sulla quale
lo scalare è costante; di conseguenza possiamo scrivere che IN UN FLUSSO ROTAZIONALE
LUNGO UNA LINEA DI CORRENTE l’equazione di Bernoulli diventa:
2
ed il valore della costante è diverso per ogni linea di corrente; qualora
p V
il FLUSSO fosse IRROTAZIONALE la costante sarebbe UNICA per
gz costante invece
tutte le linee di corrente, in quanto se il gradiente della quantità
2
scalare è uguale a zero la stessa deve essere identica ovunque.
Ñ´V
V
2
V
p
gz
2
Esercizio sull’equazione di Bernoulli in flussi Rotazionali
Un fluido ruota come un corpo rigido attorno all’asse z. Il campo di velocità incomprimibile è
descritto dalle equazioni: ur=0; u=wr e uz=0. La pressione nell’origine degli assi è pari a p0. Calcolare
il campo di pressione nel flusso e determinare la costante dell’equazione di Bernoulli lungo ogni
linea di corrente.
SOLUZIONE
Il campo di moto è stazionario, il flusso inviscido ed il fluido incomprimibile, poiché il moto avviene
solo sul piano x-y la distribuzione di pressione lungo z è di tipo idrostatico possiamo pertanto
utilizzare la:
2
p (r , z ) V
+
+ gz = C(r)
r
2
p(r , z) C (r )
w2 r2
2
gz
All’origine si ha:
r=0
C0
z=0
p = p0
p0
p p0
w 2r 2
Dall’equazione di Eulero in direzione ortogonale alle linee di corrente, ossia lungo il raggio, si ha:
u 2
p
w 2r
r
r
p
w 2r 2
2
B(z)
All’origine si ha:
r=0
z=0
p = B = p0
p(r ) z 0
w 2r 2
2
p0
Spostandosi lungo z la pressione diminuisce del solo contributo idrostatico, che non dipende da r,
per cui si ha:
2 2
p(r , z) p(r ) z 0 g z
wr
2 2
2
wr
p0 g z C (r )
2
p0 g z
w2 r2
2
gz
che uguagliata all’equazione di Bernoulli fornisce:
C (r )
p0
w 2r 2
Equazione di conservazione dell’energia
S
La conservazione dell’energia totale nel volume di controllo viene garantita
applicando il PRIMO PRINCIPIO della Termodinamica al volume stesso. In tal caso il
flusso di lavoro e quello di calore dovranno eguagliare la variazione di energia totale
del sistema.
Si ricorda che l’energia totale è, per un fluido comprimibile inteso come CONTINUO, la
somma dell’energia Interna, di quella cinetica e di quella potenziale.
dV
p
dm
dS
V
B1=Flusso di calore proveniente dall’ambiente ed aggiunto al Volume di Controllo
B2=Lavoro fatto sul fluido all’interno del Volume di Controllo nell’unità di tempo
B3=Variazione di energia totale del fluido che fluisce attraverso il Volume di Controllo
t
V
B2 Wvisc
S
visc
S
Lavoro delle forze viscose
nell’unità di tempo
e =u +
2
V
2
+ g z = energia totale per unità di massa
2
p V
ht u
g z entalpia totale per unità di massa
2
edV e V n dS
p V n dS W
n
V
B1+B2=B3
B3
p
S
V n dS
Lavoro delle forze di pressione
nell’unità di tempo
Riscaldamento Volumetrico Interno, dovuto all’assorbimento di
radiazioni dall’esterno e da eventuali emissioni, verso l’esterno,
di energia radiante generata da reazioni chimico-fisiche presenti
all’interno del fluido.
Scambio termico associato
alla Diffusione di massa ed
alla Conduzione Termica
B1
V
qdV Qvisc
Per Flussi Stazionari ed Adiabatici, in assenza di Forze di Massa, di Fluidi Non
Viscosi l’equazione di conservazione dell’energia si riduce a:
S
e V n dS
p
S
V n dS
h V n dS 0
S t
Ossia il flusso di entalpia totale attraverso la superficie del
volume di controllo DEVE rimanere costante.
In un flusso isotermo ed incomprimibile questa equazione coincide con
quella di Bernoulli vista in precedenza.
Funzione di corrente (Stream Function)
dx dy dz
u
v w
n=
A
Volume di
controllo
dy
ds
Y Y2
B
V
V
ds
dy
dx
i j
ds
ds
dy
ds
n
Y Y1
v
u
dx
n
y
dx
ds
x
In un campo di moto le Linee di Corrente (Streamlines) sono tangenti ad
ogni istante ed in ogni punto al vettore velocità; sono pertanto linee
IMPERMEABILI al flusso di massa e lo spazio compreso fra di esse può
essere visto come un insieme di tubi di flusso. In condizioni di flusso
STAZIONARIO le Linee di Corrente coincidono con le traiettorie dei
volumetti elementari. Se assegniamo ad una linea di corrente un valore
Y1 la linea di corrente successiva avrà un valore aumentato di una
quantità pari alla portata compresa fra le due linee di corrente.
Coordinate cilindriche
u
Y
Y
; v
y
x
Vr
Y
1 Y
; V
r
r
Per un fluido INCOMPRIMIBILE la Portata massica è analoga
alla Portata volumetrica, a meno di una costante, per cui la
Funzione di Corrente attraverso il contorno –B- può essere
rappresentata da quest’ultima:
dx
dy
dQ V n ds (1) u i v j i j ds
ds
ds
Y
Y
dQ udy v dx d Y
dx
dy
x
y
Q dQ V ndA
B
B
YY2
YY1
dY Y2 Y1
Flussi Potenziali
Conservazione della MASSA
La Funzione di corrente soddisfa sempre la conservazione della massa ed in flussi
incomprimibili bidimensionali consente di ridurre l’equazione di Conservazione della
quantità di moto da 2 ad una sola.
La funzione di corrente porta alla definizione di una nuova equazione differenziale:
Per flussi IRROTAZIONALI l’unica equazione differenziale da risolvere è:
quello di velocità e dall’equazione di Bernoulli a quello di pressione.
v u Y Y
2
Y V 2wz
x y x x y y
2 Y 2 Y
0 dal campo di funzione di corrente si risale a
x2 y2
Se però il campo è IRROTAZIONALE ovunque vuol dire che esiste una
funzione scalare di cui la velocità è il gradiente; a tale funzione viene
dato il nome di FUNZIONE POTENZIALE e DEVE rispettare la
conservazione della massa:
dY
Le linee con FUNZIONE di CORRENTE costante
sono ORTOGONALI alle LINEE EQUIPOTENZIALI
u v Y Y
0
x y x y y x
d
u
; v
; w
x
y
z
2 2 2
V 2 2 2 0
x y
z
2
Y
Y
dy
dx
dy v dx udy 0
x
y
dx
Ycos t
v
u
dy
u
dx
dy udx v dy 0
x
y
dx cos t
v
Poiché le equazioni differenziali che descrivono la Funzione di Corrente e la Funzione Potenziale sono LINEARI per esse varrà
il principio di SOVRAPPOSIZIONE delle SOLUZIONI elementari. Per cui se due campi di moto sono soluzioni delle equazioni
anche una loro combinazione lo sarà altrettanto. E’ indispensabile però che ognuno dei campi di moto elementari rispetti la
CONSERVAZIONE DELLA MASSA e l’IRROTAZIONALITA’ del moto.
Circolazione e Vorticità
La Circolazione, o Circuitazione, è una grandezza estremamente importante in aerodinamica in
quanto fornisce una lettura immediata della Portanza generata da un corpo. Da un punto di
vista matematico la Circolazione altri non è che l’integrale di linea della velocità lungo un
contorno chiuso; per convenzione l’integrale di linea viene effettuato ruotando in senso
ANTIORARIO mentre la Circolazione è calcolata in senso ORARIO.
V ds 0
ds
V ds
V1 > V 2
V1
a
V
Calcoliamo la circuitazione attorno ad un
volume elementare di fluido:
V2
u
ds
Proviamo ad immaginare un profilo alare inclinato
rispetto al flusso principale; in condizione di Portanza
positiva la distribuzione di velocità sull’estradosso è
superiore a quella sull’intradosso. Se si calcolasse
l’integrale di linea, lungo una qualunque linea chiusa
che contenga il profilo stesso, si otterrebbe una
Circolazione positiva . All’aumentare della differenza di
velocità fra sopra e sotto del profilo la Circolazione
aumenterebbe, così come la Portanza: esiste così una
relazione fra l’entità della Circolazione e la Portanza
generata dall’oggetto.
y
u
dy
y
u
v
u
dy dx v
dx dy udx v dy
y
x
v
v
dx
x
v
u
x
v u
x y
dxdy 2wz dx dy
V ds 2w z dA V dA
A
A
Flussi Elementari (1)
y
FLUSSO UNIFORME
Y2
Y
V
x y
Y
v
0
y
x
V
x
Y0
Y 1
Y 2
4
3
2
1 0 1
2
3
V x f (y)
u
Y1
v
f '(y) 0
y
f (y) cost
poiché la costante è arbitraria e la velocità viene ottenuta dalla derivata è
4
sensato porre f(y)=0 ed arrivare così alle:
V x
Y V y
In coordinate cilindriche avremo:
x r cos ; y r sen ; r x 2 y 2
y
Y2
r
Y 1
1 Y
V cos ; V
V sen
r r
r r
y
POZZO E SORGENTE
Forza della sorgente
x
2
Vr
Portata Volumetrica
2
m
Q Vr (r d ) l 2 r lVr
0
Y3
1
V r cos ; Y V r sen
Y1
V
3
Vr
x
Q
2 r Vr
l
1
0
r
r
1
r r 2 r
z
2
Irrotazionalità
1
1 Vr
V
0
rV
rr
r
Vr
ln(r )
2
l
Conservazione della Massa
V
1
1 V 1 c
rVr
r 0
rr
r r r r
Flussi Elementari (2)
V ds V 2 r
Forza del vortice
y
3
V
2
2 r
C
r
r
Y2
Y3
Vr
1
0
r r
V
C
1
r
r r
1
x
Y1
VORTICE LIBERO
Conservazione della Massa
V
V
1
1V 1 C
rVr 0
rr
r r r
Irrotazionalità
2
ln r
2
V
1
1V 1 C
rV r
r 0
rr
r r r r
Flusso Uniforme + Sorgente
V r sen
Vr
1
V cos
r r
2 r
V
2
1
V sen
r
r
1
V cos
0
r r
2 r
1
V
V sen 0
r
r
Nel punto di Ristagno si ha: Vr
; r
2 V
All’aumentare della velocità il punto di ristagno si avvicina all’origine della sorgente; all’aumentare della forza della sorgente il punto di
ristagno si allontana. La linea di corrente che passa per il Punto di Ristagno ha la forma geometrica di un CORPO SEMINFINITO. l’equazione
della linea di corrente che passa per IL Punto di Ristagno è data da:
V
sen( )
cos t.
2 V
2
2
Questa linea di corrente divide il dominio in 2 parti:
la prima, la zona racchiusa dalla linea, dove viene esercitata l’azione della sorgente, la seconda, quella esterna, dove si risente del flusso
uniforme. La linea rappresenta un corpo seminfinito.
Flusso Uniforme + Sorgente + Pozzo
V r sen
1 2
2
2
1
V cos
0
r r
2 r
1
V
V sen 0
r
r
Nel punto di Ristagno si ha: Vr
OA OB b2
b
V
Equazione della S.L. passante per il punto di ristagno
V r sen
(1 2 ) 0
2
Sorgente + Pozzo a distanza nulla (Doppietto)
(1 2 )
2
2
Imponiamo che “l” tenda a zero mantenendo costante il prodotto:
l cos tante Forza del Doppietto
d
l 0
2
lim
a l sen
b r l cos
d
l sen
a
b r l cos
sen
l sen
sen
lim
l 0
2 r
2 r l cos l 0 2 r l cos
lim
Linee di corrente
r
sen
cos tante c
2 r
sen
d sen
2 c
Isopotenziali
cos
2 r
Sorgente a Sx e Pozzo a DX
Flusso Uniforme + Doppietto
V r sen
sen
V r sen 1
2
2 r
2
V
r
(Cilindro)
1 1
R2
R2
Vr
(V r cos ) 1 2 (V cos ) 1 2
r r
r
r
V
2 R2
R2
R2
(V sen ) 1 2 (V r sen ) 3 (V sen ) 1 2
r
r
r
r
Cerchio di raggio R ed asse orizzontale
R
2 V
R2
V r sen 1 2
r
Poniamo R
2 V
2
Punti di Ristagno
R2
Vr (V cos ) 1 2 0
r
R2
V (V sen ) 1 2 0
r
r R; 0
r R;
Linea di corrente passante per i punti di ristagno
V r sen 1
R2
r2
0
Flusso Uniforme + Doppietto + Vortice (Cilindro Portante)
R2
R2
V r sen 1 2
r
ln(r )
2
Vr
1
R2
(V cos ) 1 2
r
r
V
R2
(V sen ) 1 2
r
r 2 r
Punti di Ristagno:
Vr V 0
r R
4 V R
arcsen
4 RV
4 RV
2 V
4 RV
Teorema di Kutta-Joukowski
All’aumentare della circuitazione del vortice libero i punti di ristagno si spostano verso il basso fino ad uscire dalla
superficie del cilindro.
Poiché la distribuzione di velocità lungo la superficie del cilindro mostra una simmetria rispetto all’asse -y- avremo che il
cilindro rotante risulterà Non Resistente (Paradosso di D’Alembert).
La distribuzione di velocità sulla linea di corrente passante per i punti di ristagno (Cilindro) mostra un’asimmetria
orizzontale e ciò rende possibile l’esistenza di una forza verticale (Portanza).
c
c
1
1
cl cn C p ,l dx C p ,u dx
c0
c0
x R (1 cos )
dx R sen d
c 2R
La velocità deve essere calcolata lungo la linea di corrente r = R:
2
0
1
1
cl C p ,l sen d C p ,u sen d
2
2
V V 2V sen
2 R
Ricordando la definizione del coefficiente di pressione e sostituendo il valore della Velocità a R si ha.:
2
2
sen
V2
C p 1 2 1 4sen2
V
RV
2
RV
Che sostituita nella formula del coefficiente di Portanza fornisce:
2
1
1
cl C p ,l sen d C p ,u sen d
2
2
V R
0
Teorema di Kutta-Joukowski
1
1
L ' V2 (c (1)) cl V2 (2R) cl V
2
2
Visualizzazioni di Flusso su cilindro portante
R
0
V
Effetto MAGNUS
R
4
V
