capitolo G1 - generalità sulle funzioni

G1. Generalità sulle funzioni - Esercizi
Determinare se l’equazione data rappresenta o no una funzione.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
x-y+1=0
x2+3y-x=0
x+2-y2=0
x2+y2=9
y=x3-3x
y3=x
xy=6
1
8)
+
x
9)
10)
1
[si]
[si]
[no]
[no]
[si]
[si]
[si]
[si]
=2
y
1
1
+
=2
x2
y2
y3-3y=x
[no]
[no]
Determina il dominio delle seguenti funzioni e traccia il risultato trovato sugli assi cartesiani.
11)
y=2x2-3x+5
12)
y=
13)
x-3
y=x4-5x2
14)
y=
[ D=R ]
2
[ D=R -{3} ]
[ D=R ]
3x-4
[ D= R -
5-x2
15)
x 2 -x
y=
{ 5;- 5} ]
[ D=R -{2} ]
x 2 - 4x+4
16)
y = 4 - x2
[ D=[-2;2] ]
17)
y = 4x 2 - 9
[ D=]-∞;-3/2]∪[3/2;+∞[ ]
18)
y=
x+2
x
19)
20)
2
[ D=R ]
+ x +1
[ D= [3/2;+∞[ ]
y = 2x + 3 - 2x - 3
x+2
y=
[ D={x ≥-2;x≠2} ]
x - x+2
21)
y = x-2 + x-3
22)
y=
23)
y=
24)
y=
25)
y = x2 +1 - x
26)
y=3
[ D= [3;+∞[ ]
2
[ D=R ]
x2 +1
2
[ D=R -{-1;1} ]
x2 - 1
2x
[ D=R -{0;-1} ]
x2 + x
[ D=R ]
x
[ D=R -{7} ]
x-7
27)
y = 3 5x+4
28)
y=3
29)
y = log
[ D=R ]
1-x
[ D=]-∞;1] ]
( )
x
[ D=]0;1[ ]
1- x
(
30)
y = log 5 2x - 4
31)
y=
32)
y=
)
[ D=]2;+∞[ ]
[ D= [3/7;+∞[ ]
ln(7x-2)
(
log 3 1 - x
)
[ D={x<1;x≠1/2} ]
2x - 1
Esercizi
G1-1
33)
y=2
34)
y=
7
x-1
[ D={x≥0; x≠1} ]
x -1+ 3- x
[ D= [1;3] ]
4+x
35)
1
y=
[ D=]-∞;3/2[ ]
3 - 2x
36)
y = x -1 - 1- x
[ D={1} ]
37)
y = 2- x - x -1
[ D= [1;2] ]
38)
y=
2-x - x-2
[ D=∅ ]
x-2
39)
x -1
y=
[ D=]-∞;-1]∪[1;+∞[ ]
x +1
40)
y=
3
[ D=R -{0} ]
x
41)
y=-
3
[ D=R -{0} ]
x2
Determina il segno delle seguenti funzioni e traccia il risultato trovato sugli assi cartesiani.
Funzioni polinomiali:
42)
y=x3-12x
[
-2√3
43)
y=x4-16x2
[
-4
44)
y=2x3-x4
45)
0
2√3
0
4
]
[
0
2
]
y=x3-1
[
1
46)
y=x2-4x4
[
-1/2
47)
y=x4-2x3+1
[
48)
y=x3-6x+5
[
49)
y=x4-5x2+4
[
50)
y=3x2+2x
[
51)
y=x3-x2
[
]
0
1
(-1-√21)/ 2
-2
-1
1
1/2
Circa2
(-1+√21) / 2
1 2
y=
53)
y=
54)
y=
Esercizi
x2 - 4
[
x2 - 1
x 2 - 3x + 2
[
x2 - 1
x2 - 4
[
x2 + 4
G1-2
]
]
]
]
-2/ 3 0
]
0
1
]
-2
-1
1 2
]
-1
1
2
]
-2
2
]
Funzioni razionali:
52)
]
55)
y=
56)
y=
57)
y=
58)
y=
x2 - x - 2
2
3
]
[
0
1
]
[
0
2
]
2
5
]
[
x 2 - 6x + 9
x4
x3 - 1
x3 - 8
x2
x 2 - 7x + 10
[
-1
0
x
59)
y=
60)
y=
61)
y=
x2
1+ x + x2
x
1+ x + x2
3x - x 3
[
1 - 3x 2
[
0
]
[
0
]
-√3
0
-√3/3
√3/3 √3
Funzioni irrazionali:
62)
y = x2 - 4
63)
y=
64)
y = x ⋅ 4 - x2
65)
y=
[
x2 - 4
x 2 -1
x 2 - 2x
-2
2
]
[
-2
-1
1 2
]
[
-2
0
2
]
0
2
]
[
x
66)
x
y = x+
[
0
[
-1
[
0
]
[
0
]
[
0
]
[
-1
[
0
]
1+ x2
67)
x3
y=
0
]
x +1
Funzioni esponenziali e logaritmiche:
-1
68)
y = x⋅ex
69)
y=
70)
y=
71)
y = x2 -1 ⋅ ex
72)
y=
1
xe x
x2
e 2x
(
Esercizi
)
5x
1+ e x
G1-3
1
]
]
]
1
73)
y = x2 ⋅ e x
74)
y=
0
[
ln 2 x
0
[
1
]
2
]
1 √2
]
x-2
(
)
[
-√2 -1
( )
[
-2
0
]
[
0
1
]
1
1,…
]
75)
y = ln x 2 - 1
76)
y = ln
x
x+2
77)
1
y=
lnx
78)
y = x + ln x 2 - 1
(
)
[
79)
y = ln 1 + 2x - x
[
(
)
-1
≅-0,5 0 ≅1,5
Determina se le seguenti funzioni sono pari o dispari.
80)
y=2x2-3x+5
81)
y=
82)
x-3
y=x4-5x2
83)
[né pari né dispari]
2
[né pari né dispari]
[pari]
3x
y=
[dispari]
5-x 2
84)
x2
y=
[pari]
x 2 +4
85)
y = 9 - x2
[pari]
86)
y =| x | +2
[pari]
x
2
87)
y=
88)
y=
89)
y=
90)
y=
91)
y =| x + 2 |
[dispari]
x3 + x
2
[pari]
x2 +1
2
[pari]
x2 - 1
2x
[né pari né dispari]
x2 + x
92)
y=3
93)
y=
[né pari né dispari]
5x+4
[né pari né dispari]
3
[dispari]
x
94)
y =| x | +3x 2 + 2
x
[pari]
3
[dispari]
95)
y=
96)
y = 2x - x 2
[né pari né dispari]
97)
y = x6
[pari]
98)
y=x
7
99)
y=-
Esercizi
x4 +1
[dispari]
5
[pari]
x2
G1-4
]
100)
y = ln (2x + 1)
[né pari né dispari]
101)
y = ln (x 2 + 1)
[pari]
102)
103)
y = sen(x 2 )
y = sen x
[pari]
[dispari]
104)
105)
y = cos (x 2 )
y = cos x
[pari]
[pari]
Determina la funzione inversa delle seguenti funzioni, se esiste.
106)
y = 3x - 2
107)
y=-x+1
108)
y=
1
x-
2
109)
y=
2
3
x-
1
[y =
3
y=
y=
x
[y =
y=
3
]
]
x -1
2x + 1
1
[y =
]
x-2
-3x + 2
[y =
-2x + 2
x +2
114)
]
2
x
113)
3
8
[ y = -5x +
x -1
112)
x+
10
x
y=
3
2
x+
5
111)
[ y = 2x + 3 ]
4
1
y=-
1
2
3
110)
2
x+ ]
3
3
[y=-x+1]
[y =
]
x+3
x2
[non è invertibile]
x -1
115)
y=
x+2
[y =
2x + 2
x-2
116)
y=
1
]
x -1
[ y = 3 3x ]
x3
3
117)
y = x3 - 1
4
[y =
2
3
x +1 ]
118)
y=x
119)
y = tg x
[y = arctg x; è invertibile in − π ; π  ]
 2 2 
120)
y = sen x
[y = arcsen x; è invertibile in − π ; π  ]
 2 2 
- 4x
121)
y = cotg x
122)
y = cos x
[non è invertibile]
[y = arccotg x; è invertibile in ]0;π[ ]
[y = arccos x ; è invertibile in ]0;π[ ]
x
Per risolvere i successivi esercizi ricordare che a =b ⇔ x=loga b.
123)
y = ex
[y = ln x]
124)
y = log 2 x
[ y = 2x ]
125)
y = e 2x+1
[y =
ln(x) - 1
]
2
126)
y = e 2x + 1
[y =
ln(x + 1)
]
2
127)
y = 3x − 3
[ y = log 3 (x + 3) ]
x-1
2 x
128)
y=
129)
y = e 2x-1 + 2
[y =
x+1
Esercizi
[y =
G1-5
1
1-log2x
]
1+ln(x-2)
2⋅ln(x-2)-1
]
x-2
130)
y=3
131)
y = log 5 (x + 3)
[ y = 5x - 3 ]
132)
y = ln(2x - 3)
[y=
133)
y = log 3 (x 4 + 2)
[non è invertibile]
134)
y = log 2 (3x) - 2
[y=
2 x+2
]
3
135)
y = ln(5x + 1) + 2
[y=
e x-2 -1
]
5
136)
y=
[ y = log 3 (x) + 2 ]
e x +3
]
2
x
-ln(x+1)
[ y = e x-1 - 1 ]
1-ln(x+1)
Date le funzioni f(x) e g(x) determina le funzioni (f°g)(x) e (g°f)(x).
137)
f(x) = x 2
138)
f(x) =
139)
f(x) = 3x 2 - x
g(x) =
140)
f(x) = x 2 + 2x
g(x) =
141)
f(x) = x - 3
g(x) = 2x + 1
[ (f°g)(x) = 2x - 2 ;
(g°f)(x) = 2x - 5 ]
g(x) =
[ (f°g)(x) = x + x ;
(g°f)(x) =
x+1
x
2
g(x) = x - 2
[ (f°g)(x) = x 2 - 4x + 4 ; (g°f)(x) = x 2 - 2 ]
g(x) = x - 3
[ (f°g)(x) =
x-2
;
x-3
(g°f)(x) =
1
x
[ (f°g)(x) =
3-x
;
x2
(g°f)(x) =
x
x-1
[ (f°g)(x) =
3x 2 -2x
(x-1)2
;
(g°f)(x) =
1-2x
]
x
1
3x 2 -x
]
x 2 +2x
x 2 +2x-1
]
x2 +x ]
142)
f(x) = x
143)
f(x) = 2x - 1
g(x) = senx
[ (f°g)(x) = 2sen(x) - 1 ; (g°f)(x) = sen(2x - 1) ]
144)
f(x) =
g(x) = cosx
[ (f°g)(x) =
+x
x
x
2
cosx ;
(g°f)(x) = cos( x ) ]
2
(g°f)(x) = ln 2 x - 3 ]
145)
f(x) = lnx
g(x) = x
146)
f(x) = x 3
g(x) = senx
[ (f°g)(x) = sen 3 x ;
147)
f(x) =
g(x) = e x
[ (f°g)(x) =
g(x) = lnx
[ (f°g)(x) =
2x
x-1
[ (f°g)(x) = ln(x
-3
2ex
ex -1
f(x) =
x
x+1
(g°f)(x) =
g(x) = tgx
[ (f°g)(x) = x ;
(g°f)(x) = x ]
151)
f(x) = e x
g(x) = lnx
152)
f(x) =
g(x) =
f(x) =
g(x) = 2x - 1
x
f(x) = x 3
 x2 
]

 x+1 
(g°f)(x) = ln 
4x2 -4x+1
;
2x
[ (f°g)(x) = log(tgx)) ;
150)
153)
;
[ (f°g)(x) =
x
x+1
f(x) = logx
149)
2x
lnx+1
2
(g°f)(x) = sen(x 3 ) ]
(g°f)(x) = e x-1 ]
;
ln2x
2
148)
- 3) ;
g(x) =
2x
;
x-3
2x2 -x-1
]
x+1
(g°f)(x) = tg(logx) ]
2x
x-3
[ (f°g)(x) =
2x
x-3
 2x 
 ;
[ (f°g)(x) = 

 x-3 
(g°f)(x) =
2 x
(g°f)(x) =
]
x -3
3
2x 3
x 3 -3
]
Data la funzione (f°g)(x) determina le funzioni f(x) e g(x).
154)
(f°g)(x) = logx
[ f(x) =
x
g(x) = logx ]
155)
(f°g)(x) = e cosx
[ f(x) = e x
g(x) = cosx ]
[ f(x) = -cosx
g(x) = x 2 + 1 ]
[ f(x) =
g(x) = 2x - 1 ]
2
156)
(f°g)(x) = -cos(x
157)
(f°g)(x) =
158)
(f°g)(x) = sen
159)
(f°g)(x) = ln 2 x - 3lnx + 2
160)
+ 1)
2x - 1
( x)
(f°g)(x) = (3x - 2)
3
x
[ f(x) = senx
g(x) =
[ f(x) = x 2 - 3x + 2
g(x) = lnx ]
[ f(x) = x
3
x]
g(x) = 3x - 2 ]
Date le funzioni f(x) e g(x) determina se f(x) è restrizione, prolungamento di g(x) o nessuna delle due.
Esercizi
G1-6
161)
162)
163)
164)
165)
x
x+3
f(x) =
f(x) = x2 -4
2x2 -x
f(x) =
x
2
f(x) =
3x-3
2x+4
f(x) =
x+2
x
g(x) =
g(x) = x-2 x+2
[prolung]
g(x) = 2x - 1
[restr]
g(x) =
6
167)
f(x) = e x-1
f(x) = x + 3
[niente]
9x-9
[restr]
g(x) = 2
x2 -1
166)
[prolung]
x+3
g(x) = e
g(x) =
x+1
x
2
[restr]
+ 2x - 3
[prolung]
x -1
168)
f(x) = x
g(x) =
x
2x-1
169)
f(x) = x2
g(x) =
( x)
170)
f(x) =| x |
g(x) = x2
171)
f(x) = x x-3
172)
f(x) =
1
x
173)
lnx
f(x) = e
[niente]
2
[prolung]
[niente]
2
[restr]
g(x) = x -3x
f(x) =
x
[niente]
x
[restr]
g(x) = x
Date le funzioni f(x) e g(x) traccia il grafico di:
•
f(x)+2
•
f(x)-2
•
f(x+2)
•
f(x-2)
•
|f(x)|
•
2f(x)
•
1/2f(x)
•
-1/2f(x)
•
-2f(x)
•
-f(x)
•
f(-x)
•
f(x)+g(x)
•
f(x)⋅⋅g(x)
•
f(x)/g(x)
•
g(x)/f(x)
174)
f(x) = x 2
g(x) = x
175)
f(x) =
g(x) = x
176)
f(x) = sen x
g(x) = cosx
177)
f(x) = e x
g(x) = x
x
Traccia il grafico delle seguenti funzioni utilizzando le tecniche viste con i grafici deducibili.
178)
f(x) = x 2 + 1
179)
f(x) = 2senx
180)
f(x) = 2senx - 1
181)
f(x) = e -x
182)
f(x) = sen(x - π)
183)
f(x) = (x - 3) 2
184)
f(x) =| senx |
185)
f(x) =
186)
f(x) = -cosx
187)
f(x) = cos(-x)
188)
f(x) = -log 2 x
Esercizi
1
2
ex
G1-7
189)
f(x) = (x - 1) 3
190)
f(x) = x 3 - 2
191)
f(x) = e x + 1
192)
f(x) = e x+1 + 1
193)
f(x) =| senx |
194)
f(x) = x 3 + x
195)
f(x) = senx - x
196)
f(x) = x ⋅ senx
197)
f(x) = sen(3x)
198)
f(x) = cos(-
199)
f(x) = e 2x
200)
f(x) =| sen(-
201)
f(x) = (3x) 2
202)
f(x) = tg(3x)
Esercizi
1
x)
2
1
2
x) |
G1-8