FORMULARIO DI ALGEBRA SCOMPOSIZIONE DI UN POLINOMIO

FORMULARIO DI ALGEBRA
PRODOTTI NOTEVOLI
SCOMPOSIZIONE DI UN POLINOMIO
REGOLE DI SCOMPOSIZIONE DEL BINOMIO
an ± bn
1) n pari ( = 2p )
a) an + bn non è scomponibile
b) an - bn = (ap + bp)(ap - bp) = ..
2) n dispari
a) an + bn = (a + b)(an-1 - an-2b + an-3b2 - ... + bn-1)
b) an - bn = (a - b)(an-1 + an-2b + an-3b2 + ... + bn-1)
QUESITI DELLA LEZIONE
1
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Qual è la seconda cifra (partendo da sinistra) del numero
(1016+1)(108+1)(104+1)(102+1)(10+1) ?
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4
Francesco vuole scrivere il polinomio x16 + x come prodotto di più polinomi a
coefficienti interi, ognuno di grado almeno 1. Quanti fattori potrà ottenere al massimo?
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5
Per quante quaterne (a, b, c, d) di numeri interi non negativi le tre espressioni a 2 c2, b2 - d2 e ab + bc + cd + da sono tutte uguali a 1024 ?
(A) 0 (B) 1 (C) 4 (D) 9 (E) 11
SUGGERIMENTI
1
x 2 y
è una espressione non negativa . Calcola il quadrato ..
2
Dal prodotto notevole:
10
n
3
4

 
 110n  1  102 n  1  10n  1 

102 n  1
10n  1

x16  x  x x15  1  x x 5  1 x10  x 5  1  ..
Scomponi i tre polinomi:
a2 - c2 = (a + c)(a - c) = A·B = b2 - d2 = (b + d)(b - d) = C·D =
= ab + bc + cd + da = b(a + c) + d(a + c) = (a + c)(b + d) = A·C
Quindi A·B = C·D = A·C = 1024 = 210 ..
5
4


2 20 1  2 7  211  212  217  2 20  2 5 4 1  2 7  211  212  217  2 20 
2 5 4 1  2 2 2 5  2  210  2 2  210  2 2 215  2 20 
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9
Le soluzioni intere del sistema sono le terne (5,1,1) ..
Verifichiamo se esistono altre soluzioni reali: sarebbero anche soluzione
dell'equazione (t-x)(t-y)(t-z) = 0.
Sviluppiamo: t3 - (x+y+z)t2 + (xy+xz+yz)t - xyz = 0 ..
SOLUZIONI
1
x 2 y
è una espressione non negativa . Calcoliamo il quadrato:
x 2 y 
2
2
10
16


1
1
 2 1
4
Si può ottenere 1 ? 2
Si (B)
 x 2  4 y 2  4 xy  1  4 xy  1


 1 108  1 104  1 102  1 11 

10

32
1032  1 1016  1 108  1 104  1
1032  1




11

1016  1 108  1 104  1 102  1
9
 1
9

999.... 9
 11.... 1
9
(B)
3
4
5
Scomponi i tre polinomi:
a  c  b  d
a2 - c2 = (a + c)(a - c) = A·B = b2 - d2 = (b + d)(b - d) = C·D =

= ab + bc + cd + da = b(a + c) + d(a + c) = (a + c)(b + d) = A·C
a  c  b  d
Quindi A·B = C·D = A·C = 1024 = 210 ..
Sottraendo membro a membro → -2c = 2d → c = -d. Quindi i numeri c e d dovrebbero essere
opposti, ma essendo entrambi non negativi segue che necessariamente c = d = 0. Riscriviamo le
equazioni iniziali: a2 = b2 = ab = 1024. Segue che a = b = 25 = 32. Quindi l'unica quaterna è
(32,32,0,0)

 2 5 4 1  4  2 5  6  210  4  215  2 20  2 5 4 1  2 5

4


 2 5  1  2 5  2 5  210
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9
Per calcolare xy+xz+yz sviluppiamo (x+y+z)2 = x2 + y2 + z2 + 2(xy+xz+yz) →
49 = 27 + 2(xy+xz+yz) → xy+xz+yz = 11
Quindi l'equazione diventa t3 - 7t2 + 11t - 5 = 0 che si scompone proprio in (t-5)(t-1)(t-1) = 0.
In conclusione non si hanno altre soluzioni reali ed in totale sono solo 3 (Risposta B)
ALTRI QUESITI
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SOLUZIONI QUESITI DI ALGEBRA
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Siano A = (x-1) - B = (x-2) - C = (x-3) - D = (x+1). I polinomi p(x) e q(x) sono = A·B· (altri fattori a scelta
tra A,B,B,C,D) in modo, però, che in entrambi non vi sia mai la stessa potenza di A o B .
Il polinomio p(x) deve essere di grado inferiore, quindi può moltiplicare A,B,C o D (4 combinazioni)
BB,AC,AD,CD
(4
combinazioni)
per
un
totale
di
8
possibilità
(Risposta
C)
NB - La combinazione p(x) = ABAB = (x-1)2(x-2)2 porterebbe a q(x) = ABCD = (x-1)(x-2)(x-3)(x+1) con
lo stesso grado.
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