Sulle progressioni geometriche

Sulle progressioni geometriche
Sintesi
1) La progressione
a1 , a2 ,..., an ,...
con nN-{0} e an reale qualsiasi
è geometrica se il rapporto tra un termine qualsiasi successivo al primo ed il precedente è costante
an
q;
an 1
il valore del rapporto è detto ragione della progressione. Evidentemente, perché abbia senso la
definizione data tutti i termini della progressione ed il valore della ragione devono essere diversi da
zero.
2) Sussistono le seguenti proprietà.
a. a2  a1  q ,
dove q è la ragione della progressione.
b.
a3  a2  q  a1  q 2
c.
an  a1  q n 1 , da cui anche
q  n 1
an
, quest’ultima, nel caso in cui (n-1) sia pari, quindi con n dispari e maggiore o
a1
uguale a 3, sussiste solo se an ed a1 sono concordi.
d.
as  ar  q s  r
quali che siano r ed s numeri naturali positivi.
e. Somma dei primi n termini della progressione
Sn  a1  a2  ...  an  a1 
f.
1  qn
, con q  1 .
1 q
Prodotto dei primi n termini
Sussistono le seguenti uguaglianze
Pn  a1  a2  a3  ...  an  a1n q
Pn 
 a1an 
( n 1) n
2
n
g. Somma degli infiniti termini di una progressione geometrica con ragione q  1
Ricordiamo che non ha senso sommare un numero infinito di termini. L’espressione
“somma di infiniti termini di una progressione geometrica” sta ad indicare semplicemente il
risultato del seguente limite
lim Sn  lim a1 
n 
n 
1  qn
1 q
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quando esiste ed è finito.
Ebbene, se è soddisfatta la condizione q  1 , allora risulta
lim a1 
n 
a
1  qn
 1
1 q 1 q
Per una progressione geometrica avente ragione q  1 , il cui primo termine sia a1, si è soliti
scrivere
S 
a1
1 q
h. Inserimento di n termini medi geometrici tra due numeri reali a e b assegnati
Ponendo a1  a e an  2  b , la ragione q della progressione verifica l’uguaglianza
an  2  a1  q n 1 , da cui
1
 a  n 1
q   n2  
 a1 
n 1
an  2 n 1 b

a1
a
Ebbene, il radicale ottenuto, se n+1 è pari, quindi se n è dispari, richiede che a e b siano
concordi. Ne segue che se i valori numerici a e b assegnati sono discordi allora non è
possibile inserire tra essi un numero dispari di termini in modo da ottenere una
progressione geometrica.
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