PROGRESSIONI ARITMETICHE
S(n) = S + n d
con S e d assegnati
d si chiama ragione della progressione aritmetica
può essere definita per ricorrenza:
S(0) = S
S(n+1) = S(n) + d
valgono le seguenti relazioni
S(n+1) - S(n) = d
per ogni indice n
S(m) - S(n) = (m - n) d per ogni coppia di indici m,n
ESERCIZIO 1
Data la seguente progressione aritmetica
an = 10 + 3 n
calcolare i termini a12 , a7 , a21.
SOLUZIONE:
a12 =10 + 3 ·12 = 46, a7 = 31, a21 = 73.
ESERCIZIO 2 Sia an una progressione aritmetica tale
che a5 = 22, a3 = 8 calcolare il termine generale.
SOLUZIONE: per ogni coppia di indici
relazione
am - an = (m-n) d
quindi
m ed n vale la
a5 – a3 = (5- 3) d , 22 – 8 = 2 d , d = 7.
Il termine generale della successione è della forma:
an = a0 + 7 n.
Resta da calcolare il termine iniziale a0, ad esempio, come
segue:
a3 = a0 + 3 · 7, 8 = a0 + 21,
a0 =- 13.
PROGRESSIONI GEOMETRICHE
C(n) = C q n
con C e q assegnati
q si chiama ragione della progressione geometrica
può essere definita per ricorrenza:
C(0) = C
C(n+1) = C(n) q
valgono le proprietà
C(n+1) / C(n) = q per ogni indice n
C(m) / C(n) = q m-n per ogni coppia di indici m,n
ESERCIZIO 1 data la seguente progressione geometrica
an = 3·2 n, calcolare i termini a2 , a5.
SOLUZIONE:
a2 = 12, a5 = 96.
ESERCIZIO 2 sia an una progressione geometrica tale
che a10 = 96 , a4 = 12 calcolare il termine generale.
SOLUZIONE: per ogni coppia di indici
relazione
m ed n vale la
am / an = q m-n
quindi
a10 / a4 = q 10 - 4 , 96 / 12 = q 6 , q =
2.
Il termine generale della successione è della forma:
an = a0 .(
2)
n
.
Calcolo il termine iniziale a0, ad esempio come segue:
a4 = a0 ·(
2)
4
, 12 = a0 ·4 , a0 = 3.
Esercizi Successioni
ESERCIZIO 1 (V. Villani, Matematica per Discipline Biomediche, 3.1.2)
Esprimo tutti i dati in cm.
Il processo di crescita cellulare è schematizzato dalla
progressione geometrica
C(n) = 2n
dove n rappresenta il numero di tempi di raddoppio e C(n)
il numero di cellule.
Schematizzando la cellula come un cubetto ho:
lato della cellula 10-3cm
volume della cellula 10-9cm3
in un volume di 10 cm3 ci stanno 1010 cellule
1010 è circa 233
Ci vogliono circa 33 tempi di raddoppio per arrivare al
volume critico, necessario per la diagnosi del tumore.
In giorni sono 3300 giorni, ovvero 3300/365 ≈ 9 anni.
ESERCIZIO 2 In una data regione un’epidemia viene
individuata quando ci sono 29 casi di quella malattia.
Sapendo che il tempo di raddoppio dei casi è di 5 giorni,
dire quanti giorni prima c’è stato il primo caso di malattia.
SOLUZIONE: il fenomeno è descritto dalla legge C(n)=2n,
dove C(n) indica il numero di malati dopo n tempi di
raddoppio.
Ovviamente C(n)=29 per n=9, quindi il primo caso di
malattia si è verificato 9∙5=45 giorni prima.
ESERCIZIO 3 Sapendo che, a causa del decadimento
radioattivo, il tempo di dimezzamento del 14C è di 5730
anni, calcolare il rapporto tra la concentrazione di 14C di un
reperto di 11500 anni e la concentrazione di un analogo
organismo vivente.
SOLUZIONE: il fenomeno è descritto dalla legge
K(n)
1
2
n
K(0)
Noto che 11500 anni corrispondono circa a 2 tempi di
dimezzamento.
1
1
K (2) 1
K (2) 2 K (0) K (0)
.
4
K
(
0
)
4
2
