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Gyre e Gimble
a cura di Chiara Baldovino
Paul Klee, Highways and Byways, 1929
Progressione aritmetica
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(Arithmetic progression)
Si dice progressione una successione in cui ogni termine si ottiene dal precedente
secondo precise regole di calcolo.
Si chiama progressione aritmetica una successione a1 ,a2 ,a3 ,a4 ,.....,a n,.... in cui è costante
la differenza tra ogni termine e il suo precedente. Tale differenza costante è detta ragione
della progressione. Gli infiniti termini della progressione aritmetica sono determinati quando si
conoscono il termine iniziale a 1 e la ragione q.
La progressione aritmetica dei numeri naturali
ha termine iniziale a 1=1 e ragione q=1.
1,2,3,4,…, n, …
La progressione aritmetica dei numeri pari
ha termine iniziale a 1=2 e ragione q=2.
2,4,6,8,…,2n,…
La progressione aritmetica dei numeri dispari
ha termine iniziale a 1=1 e ragione q=2.
1,3,5,7,…,2n-1,…
A partire dal termine iniziale una progressione aritmetica cresce o decresce in modo costante a seconda
che la ragione sia positiva o negativa.
Poiché per definizione risulta che
si ha il teorema
L’ennesimo termine di una progressione aritmetica di valore iniziale a1 e ragione q è
Ne derivano altre proprietà a n=a 1+(n-1)q interessanti:
La somma di due termini equidistanti dagli estremi è costante e uguale alla somma dei
termini estremi, vale a dire a1+k+an-k =a1 +an.
Infatti per il teorema precedente si ha che
a 1+k=a 1+(1+k-1)q=a 1+kq e a n-k=a 1+(n-k-1)q.
Sommando i due termini si ottiene
a 1+k+a n-k=a 1+kq+a 1+(n-k-1)q=a 1+a 1+(n-1)q=a 1+a n
La somma di n termini consecutivi di una progressione aritmetica è data da
Infatti se denotiamo con Sn la somma dei primi n termini di una progressione aritmetica, vale a dire
Sn=a 1+a 2 +a 3 +a 4 +.....+a n, per la proprietà commutativa si avrà anche che Sn=a n+.....+a 3 +a 2 +a 1
e quindi sommando membro a membro si ha
2Sn=n(a1+a n)+(a 2 +a n-1)+(a 3 +a n-2 ) +.....+(a n+a 1)
e per la precedente proprietà risulta che
2Sn=n(a1+a n) da cui
.
Esaminiamo attraverso la formula appena trovata le somme delle progressioni aritmetiche analizzate
sopra.
*Progressione aritmetica dei numeri naturali: 1,2,3,4,…, n, …
La somma dei primi n numeri naturali è
La somma dei primi n numeri naturali è oggetto di un celebre aneddoto riguardante il grande
matematico Carl Friedrich Gauss (Brunswick 1777 - Göttingen 1855).
“Da fanciullo Gauss frequentò la scuola locale, dove l’insegnante aveva fama di essere molto esigente nei
riguardi dei suoi allievi. Un giorno, per tenerli occupati, assegnò loro l’esercizio di sommare tutti i
numeri da 1 a 100, chiedendo che ciascuno deponesse la sua lavagnetta su un tavolo non appena avesse
finito il calcolo. Quasi immediatamente Carl depose sul tavolo la propria lavagnetta dicendo "Ecco
fatto"; l’insegnante gli diede un’occhiata sprezzante mentre gli altri continuavano diligentemente a fare i
loro calcoli. Quando, alla fine, l’insegnante esaminò i risultati ottenuti dai vari allievi, trovò che la
lavagnetta di Gauss era l’unica a presentare il risultato esatto, 5050, senza alcun calcolo. Il fanciullo, che
aveva allora dieci anni, evidentemente aveva calcolato mentalmente la somma della progressione
aritmetica 1+2+3+…+100.”
Da “Storia della Matematica” di Carl. B. Boyer
Pare che il ragionamento fatto da Gauss sia stato il seguente che anticipa la dimostrazione presentata
precedentemente: sembra che Gauss infatti avesse notato che
S=1+2+3+….+100, ma anche che S=100+99+98+…+1 e quindi che
2S=101+101+…+101 con 101 addendo ripetuto 100 volte;
da qui immediatamente pare ottenesse che
*Progressione aritmetica dei numeri pari: 2,4,6,8,…,2n,…
La somma dei primi n numeri pari è
*Progressione aritmetica dei numeri dispari: 1,3,5,7,…,2n-1,…
La somma dei primi n numeri dispari è
In questo modo troviamo il seguente notevole risultato:
Ogni numero quadrato perfetto n 2 si ottiene come somma dei primi n numeri dispari.
12 =1
22 =1+3
32 =1+3+5
Indice in italiano
4 2 =1+3+5+7
Indice in inglese
