progressioni

PROGRESSIONI ARITMETICHE E GEOMETRICHE
Definizione . Si chiama progressione aritmetica una successione di tre o più numeri tali che la
differenza tra ciascuno di essi (eccettuato il primo) e il precedente sia costante; la differenza,
costante, tra ogni termine e il suo precedente si chiama ragione della progressione aritmetica e si
indica con d.
Teorema 1. L’ ennesimo termine, an, di una progressione aritmetica è uguale alla somma del primo
termine, a1, con il prodotto della ragione d per il numero dei termini che precedono an; cioè:
an = a1 + (n – 1)d.
Teorema 2. Se ar e as sono due termini qualunque di una progressione aritmetica, risulta:
as= ar + (s – r)d.
Teorema 3. In una progressione aritmetica (finita) la somma di due termini equidistanti dagli
estremi è costante, ed è uguale alla somma dei termini estremi.
Teorema 4. La somma dei primi n termini consecutivi di una progressione aritmetica è uguale alla
semisomma dei termini estremi , a1 e an, moltiplicata per il numero n dei termini; cioè :
a  a2
Sn  1
n.
2
ESEMPI
1. Calcolare la somma dei primi sette termini di una progressione aritmetica il cui primo
termine è –8 e la ragione è 5.
Essendo a1 = -8, d = 5, n = 7, si ha a7 = -8 + 6x5 = 22 e quindi si ricava
 8  22
S7 
 7  49.
2
2. Calcolare la somma dei primi 100 termini della progressione aritmetica: 3, 7, 11, 15, …
3  399
 100  20100
Si ha a1 = 3, d = 4, n = 100; a100 = 3 + 99x4 = 399 e pertanto S n 
2
3. Calcolare la somma dei primi n numeri della progressione aritmetica 1, 3, 5, 7, …
1  2n  1
 n  n2.
Si ha a1 = 1, d = 2, n = n; an = 1 + (n-1)2 = 2n - 1 e pertanto S n 
2
Definizione . Si chiama progressione geometrica una successione di tre o più numeri tali che il
quoziente tra ciascuno di essi (eccettuato il primo) e il precedente sia costante; il quoziente,
costante, tra ogni termine e il suo precedente si chiama ragione della progressione geometrica e si
indica con q.
1
Teorema 1. L’ ennesimo termine, an, di una progressione geometrica è uguale al primo termine, a1,
moltiplicato per la ragione q elevata a un esponente uguale al numero dei termini che precedono an;
cioè: an = a1  q n 1
Teorema 2. Se ar e as sono due termini qualunque di una progressione geometrica, risulta:
as= ar  q s  r
.
Teorema 3. In una progressione geometrica (finita) il prodotto di due termini equidistanti dagli
estremi è costante, ed è uguale al prodotto dei termini estremi.
Teorema 4. Il prodotto dei primi n termini consecutivi di una progressione geometrica, a termini
positivi, è uguale alla radice quadrata del prodotto dei termini estremi , a1 e an, elevata al numero n
dei termini; cioè : Pn 
a1  an n .
Teorema 5. La somma Sn dei primi n termini di una progressione geometrica (con q  1) è
1 qn
espressa da: S n  a1 
; se q = 1 Sn = na1.
1 q
ESEMPI
1. In una progressione geometrica il quarto termine è 15 e la ragione è
1
; trovare l’ ottavo
3
termine.
4
Essendo r = 4, s = 8, a4 = 15, q 
1
5
1
.
si ha a8  15  
3
27
 3
2. In una progressione geometrica il secondo termine è 6 e il sesto è
Ponendo r = 2, s = 6, ar = 6, as =
32
, si ha:
27
32
. Trovare la ragione.
27
32
 6  q 4 , da cui si ricava
27
16 3  399
2
 .
81 2
3
3. Una progressione geometrica, di ragione 2, è formata da tre termini la somma dei quali è 63.
Trovare il valore dei termini della progressione.
1  23
Si ha q = 2, S3 = 63; pertanto 63  a1
, da cui si ricava a1 = 9; i termini della
1 2
progressione sono 9, 18, 36.
q  4
4. Determinare la somma dei primi 5 termini di una progressione geometrica, noti a1 
a8 = 486.
La ragione è q  7 486 
2 35  1 242
9 7 7

.
 3 e quindi S5  
9 3 1
9
2
GENERALITA’ SULLE SERIE NUMERICHE
Data la successione numerica a1, a2, …,an, …, si chiama serie relativa ai suoi termini la

successione delle somme parziali e si indica con il simbolo
a
k 1
2
k
 a1  a 2  ...  a n  ...
2
e
9
Gli elementi della successione an  si chiamano termini della serie.
Una serie si dice:
a. Convergente, se la successione S n  delle somme parziali è convergente; in tal caso, posto
S  lim S n , S viene detta somma della serie;
n  
b. Divergente, se la successione S n  delle somme parziali è divergente;
c. Indeterminata, se la successione S n  delle somme parziali è indeterminata.

Un caso particolarmente interessante è la serie geometrica:
x
k
 1  x  x 2 ...  x n  ... di
n 0
ragione x  R .

Se x = 1 la serie si riduce alla seguente:
1
n
 1  1  1  ...  1  ... che è ovviamente divergente.
n 0
Se x  1 la somma parziale S n è data da: S n 
xn  1
xn
1
.


x 1 x 1 1 x
Si hanno allora i seguenti casi:
a. Se x  1 , allora la serie converge poiché lim x n  0 e quindi la somma della serie è
n
1
;
1 x
b. Se x > 1, allora la serie diverge poiché lim x n   ;
S  lim S n 
n  
n
c. Se x  1 , allora la serie è indeterminata in quanto non esiste il lim x n .
n
Attraverso la serie geometrica si può giustificare la regola di calcolo della frazione generatrice
di un numero periodico. Ad esempio:
7
7
7
7 
1
1


 ...  n  ...  1 
 ...  n 1  ...  ; l’ espressione tra parentesi
10 100
10
10  10
10

1
1
10

è la serie geometrica di ragione
la cui somma è S 
; pertanto
1
10
9
1
10
7 10 7
0.7 

 ;
10 9 9
5
5
5 
1

0.45  0.4555...  0.4 

 ...  0.4 
1   ...  
100 1000
100  10

5 10 4
5 41 45  4
0.4 
 



.
100 9 10 90 90
90
0.7  0 
3