progressioni geometriche

PROGRESSIONI GEOMETRICHE
Si definisce progressione geometrica una successione in cui il rapporto tra ogni termine e il
suo precedente è costante. Il rapporto è detto ragione.
Esempi
1 2 4 8 ….. è una progressione geometrica di ragione 2;
1
1
4 -2 1 − ……. è una progressione geometrica di ragione − ;
2
2
3 9
3
2
..…. è una progressione geometrica di ragione ;
2 8
4
Se si conoscono il termine iniziale e la ragione q di una progressione geometrica si può trovare il
termine n-esimo con la formula
an = a1 ⋅ qn − 1 ,
n=1,2,3,…
(1.1)
mentre la relazione tra due termini qualsiasi della progressione, ar e as è
ar = as ⋅ qr − s .
(1.2)
La somma dei primi n termini di una progressione geometrica Sn = a1 + a 2 + ... + an si ottiene
dalla formula:
Sn = a1 ⋅
1 − qn
.
1− q
(1.3)
In particolare si osserva che se la ragione, diversa da zero, è un numero strettamente
compreso tra -1 e 1, la somma degli infiniti termini della progressione (detta anche serie
geometrica) è un numero finito, in quanto il termine qn si avvicina sempre più a zero, quando n
1
. A questo proposito consiglio di
1− q
leggere l’articolo Achille e la tartaruga, nella sezione Curiosità.
diventa sempre più grande, quindi, in questo caso, S∞ = a1 ⋅
Applicazioni
Le progressioni geometriche hanno numerose applicazioni, oltre che nel settore
specificamente matematico, anche in campo economico, biologico e fisico.
Esempio 1 (tratto da Manuale di matematica per l'analisi economica, di Knut Sydsaeter,
Peter Hammond).
Una stima approssimata delle riserve di gas e petrolio facenti parte della piattaforma
continentale norvegese all’inizio del 1999 era di 13 miliardi di tonnellate. La produzione di
quell’anno è stata di circa 250 milioni di tonnellate, Quando verranno esaurite le risorse se la
produzione viene mantenuta allo stesso livello del 1999? Ipotizzare invece che la produzione venga
ridotta ogni anno del 2% partendo dal 2000. Quanto dureranno le riserve in questo caso?
13 ⋅109
Soluzione. Il numero di anni di durata delle riserve è
= 52 . Le riserve si
250 ⋅106
esauriranno quindi nel 2051 (1999+52). Se invece la produzione fosse stata a = 250 ⋅106 nel 1999 e
2
calata del 2% a partire dal 2000, nel 2000 sarebbe stata a −
a = 0.98 ⋅ a , nel 2001
100
2
2
2
0.98 ⋅ a −
0.98a = 0.98a (1 −
) = 0.98 a , e così via. Se questo trend continuasse, la quantità
100
100
2
n
totale estratta dai giacimenti sarebbe a + 0.98 ⋅ a + 0.98 a + ... + 0.98 a + ... , che è la somma dei
n
1 − 0.98
termini di una progressione geometrica di ragione 0.98, quindi Sn = a
, mentre
1 − 0.98
1
S∞ = a
= 50a . Sostituendo a = 250 ⋅106 , si trova S∞ = 50 ⋅ 250 ⋅106 = 12.5 ⋅109 , che è inferiore a
1 − 0.98
13⋅109 , pertanto l’estrazione può essere proseguita indefinitamente, consentendo di lasciare nei
giacimenti 500 milioni di tonnellate, che non verranno mai estratti.
Esempio 2 (tratto da Manuale di matematica per l'analisi economica, di Knut Sydsaeter,
Peter Hammond).
Se un deposito di importo a viene effettuato su un conto bancario per n periodi e se il conto
produce interessi periodali al tasso r, il montante del conto bancario, immediatamente dopo l’ultimo
n
a
deposito è [(1 + r ) − 1] . Il valore attuale di una rendita con n rate costanti di importo a al tasso di
r
a
a
a
interesse r è
+
+ .. +
= (somma dei primi n termini di una progressione geometrica di primo
2
1 + r (1 + r )
(1 + r )n
a
1
a
1 
termine
e ragione
) = 1 −
n . Sulla base di queste formule, calcolare il valore attuale
1+ r
1+ r
r  (1 + r ) 
e il montante di un deposito di 1000 dollari annui per 8 anni, ipotizzando un tasso annuo di interesse
del 6%.
Soluzione. Il valore attuale è
1000 
1 
1 −
8  = 6209.79 dollari, mentre il montante è
0.06  1.06 
1000
[1.068 − 1] = 9897.47 dollari.
0.06
Esempio 3.(aumento di uno stipendio per effetto degli anni di anzianità)
Esempio 4
Curiosità: Il problema dei chicchi di grano
(http://web.math.unifi.it/ssis/59/storia59.htm)
L’inventore del gioco degli scacchi chiese al principe come ricompensa:
1 chicco di grano per la prima casella, 2 per la seconda, 4 per la terza, 8 per la quarta, e così via,
sempre raddoppiando.
Quanti sono i chicchi di grano?
La risposta è 264-1, non è sufficiente il grano di tutta la Terra.
Soluzione rapida di Fibonacci:
nella prima riga stanno
1+2+4+8+16+32+64+128=255=28-1, che è di uno minore del numero successivo 256.
Se moltiplico 256 per se stesso, ottengo 65.536=216, che supera di uno la somma dei numeri delle
prime due righe (infatti nella seconda riga stanno 256(1+2+…+128)=256x255 chicchi).
Moltiplico 65.536 per se stesso e trovo 4.294.967.296 =232, che supera di uno la somma dei numeri
delle prime quattro righe. Infine l’ultimo numero per se stesso dà
264 = 18.446.744.073.709.551.616 = 1,8 ⋅ 1019 chicchi
Fibonacci, per dare al lettore un’idea dell’enormità del numero, introduce delle unità di misura
crescenti.
Sostituisce delle monete d’oro ai chicchi di grano, per fare maggiore impressione.
65.536 monete = 1 cassa (prime due righe)
65.536 casse = 1 casa (prime quattro righe)
65.536 case = 1 città (prime sei righe)
65.536 città piene di monete d’oro = totale della scacchiera!