Programma del corso - Dipartimento di Matematica

Analisi Matematica 1, parte B – Laurea in Matematica
Anno Accademico 2013–2014
Docente: Umberto Marconi
PROGRAMMA
1. Derivate
Rapporto incrementale e derivata. Significato geometrico. Approssimazione lineare dell’incremento. La derivabilità implica la continuità D . Calcolo delle derivate delle funzioni elementari D . Linearità dell’operatore di derivazione, regole algebriche di derivazione D . Regola della
catena DD . Derivata della funzione inversa D , diffeomorfismi. Derivata di f (x)g(x) . Derivata logaritmica. Il differenziale, il simbolismo dei differenziali. Derivazione di funzioni definite
implicitamente. Problemi su velocità collegate e problemi di massimo e minimo; variazione del
livello di un liquido, dV
dh = S(h). Curve parametriche, esempi (cicloide, asteroide,. . . ).
2. Integrale secondo Riemann
Funzioni a scalino a supporto compatto. Lo spazio vettoriale Sc (R). L’integrale di una funzione Sc e sue proprietà D . Somme inferiori e somme superiori. Definizione di funzione
Riemann-integrabile. Proprietà dell’integrale di Riemann D . Integrabilità e area del trapezioide. Integrale esteso a un intervallo e sue proprietà D . Funzioni bilanciate, caratterizzazione
e integrabilità DD . Integrale esteso a un intervallo orientato e proprietà D . Funzione integrale.
Continuità e derivabilità della funzione integrale DD . Teorema fondamentale del calcolo D .
Integrale indefinito, simbolismo differenziale e tabella di antiderivate (primitive). Esempi di
calcolo di integrali; integrazione di funzioni razionali. Integrazione per parti per l’integrale indefinito e per l’integrale definito DD . Integrazione per sostituzione per l’integrale indefinito e
per l’integrale definito DD . Tecniche di integrazione. L’integrale come limite delle somme di
Riemann. Teorema della media pesata D . Funzioni circolari e funzioni iperboliche. Area fra
due curve; volume di solidi.
3. Teoremi classici del calcolo differenziale
Nei punti di estremo locale interno la derivata si annulla D . Teorema di Rolle DD . Teorema
di Lagrange sul valor medio e i suoi corollari DD . Monotonia e segno della derivata prima DD .
Teorema degli incrementi finiti, regola di de L’Hôpital e corollario. Concavità, convessità e segno
della derivata seconda. Asintoti obliqui. Studio di grafici.
4. Serie di potenze
Formula di Taylor con il resto in forma integrale DD . Stima del resto D . Serie di Taylor
e criterio di sviluppabilità D . Formula di Taylor con il resto nella forma di Peano e con il
resto nella forma di Lagrange D . Serie resto di una serie numerica convergente. Integrabilità
e derivabilità termine a termine di una serie di potenze DD . Serie prodotto, composizione.
Sviluppo in serie di ex , sin x, cos x, log(1 + x), arctan x, sinh x, cosh x D . La serie binomiale D .
Sviluppo in serie di arcsin x.
1
2
5. Confronto locale
Relazione o piccolo e principio di sostituzione degli infinitesimi. Asintoticità. Sviluppi asintotici
delle funzioni elementari. Relazione O grande.
6. Integrali generalizzati
Definizione di integrale generalizzato ed esempi. Criterio del confronto per funzioni positive DD .
Integrali assolutamente convergenti D . Sommabilità. Criterio di asintoticità D . Criterio di
Abel-Dirichlet DD . Criterio dell’integrale DD . Stime del resto D . La costante di EuleroMascheroni D . Funzioni euleriane.
BIBLIOGRAFIA
•
•
•
•
•
G. De Marco, Analisi Uno, Decibel-Zanichelli.
G. De Marco, C. Mariconda, Esercizi di calcolo in più variabili, Decibel Zanichelli.
James Stewart, Calcolo - Funzioni di una variabile, Apogeo (2001), Maggioli (2013).
G F. Simmons, Calculus with Analytic Geometry, McGraw-Hill, New York (1996).
Argomenti dal corso di Analisi per Ingegneria A.A. 2013/2014:
http://www.math.unipd.it/~umarconi/ing.htm
• Tabella di marcia settimanale A.A. 2013/2014:
http://www.math.unipd.it/~umarconi/did.htm