la geometria “protagonista” - Istituto Comprensivo G. Leva di
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LA GEOMETRIA “PROTAGONISTA” NELLA SCUOLA Spunti per insegnare ad affrontare e risolvere problemi geometrici 15 novembre 2016 Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 1 Posizione reciproca di due rette nel piano • Rette incidenti - perpendicolari - oblique • Rette parallele - concetto di direzione Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 2 Angoli formati da rette incidenti s d b Le coppie di semirette non appartenenti alla stessa retta individuano quattro angoli denominati opposti al vertice. a r c Si ha: aPc bPd, aPd bPc il simbolo della congruenza tra angoli. Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 3 rs b s d a r c Con questa impostazione, si definiscono perpendicolari due rette incidenti che formano quattro angoli di uguale ampiezza. A partire dalla perpendicolarità si può introdurre la denominazione di angolo retto per ciascuno degli angoli formati da due rette perpendicolari. Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 4 s d b a r c Quando i quattro angoli formati da due rette r e s incidenti non sono tutti congruenti, le due rette sono tra loro oblique. Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 5 Perpendicolarità tra segmenti e tra semirette Due segmenti o due semirette sono perpendicolari se appartengono a rette perpendicolari, e sono obliqui se lo sono le rette su cui giacciono. Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 6 Dalle pieghe della carta alle rette della geometria • Procura anche tu un foglio rettangolare e segui le istruzioni rappresentate: • Sul tuo foglio ripassa con un colore il segno lasciato dalle piegature. Hai messo in evidenza una coppia di ………………………………… Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 7 Dalle pieghe della carta alle rette della geometria • Ora, con un altro foglio, procedi come descritto dai disegni: • Sul tuo foglio ripassa con un colore il segno lasciato dalle piegature. Hai messo in evidenza una coppia di ………………………………… Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 8 Oltre alla manipolazione … Proposta di alcune costruzioni classiche nelle quali vengono assegnati dei problemi e gli strumenti con i quali risolverli. Esempi 1) Data una retta r, tracciare rette perpendicolari ad r usando riga e squadra. 1. Disegnata la retta r, si appoggia uno dei cateti della squadra alla retta r. 2. Si appoggia il dorso della riga all'ipotenusa della squadra. 3. Si fa scorrere la squadra sul dorso della riga. 4. Si tracciano le rette s, v, …, seguendo l'altro cateto della squadra: tali rette sono perpendicolari ad r. Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 9 Dato un segmento AB suddividerlo in un numero fissato di parti congruenti, usando riga e squadra. (teorema di Talete) • Si supponga di volere individuare sul segmento di estremi A e B in 7 parti congruenti: s • dall’estremo A si traccia una semiretta qualsiasi s, • con apertura a piacere, a partire da A si riportano con il compasso sulla semiretta s 7 segmenti tra loro congruenti e a due a due adiacenti, t • si unisce con la retta t il secondo estremo dell’ultimo segmento ottenuto sulla semiretta s con l’estremo B, • con riga e squadra si tracciano le parallele alla retta t passanti per gli estremi intermedi dei segmenti costruiti sulla semiretta s, • i punti di intersezione di tali rette con il segmento AB lo dividono in 7 parti uguali A Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 B 10 ORTOGONALITÀ Nello spazio, due direzioni si dicono ortogonali se le due rette passanti per un punto fissato, quindi complanari, e aventi le direzioni date sono perpendicolari, nel significato del termine definito nella geometria piana. a H b Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 11 Etimologia dei due termini • perpendicolare deriva dal latino “perpendiculum" che significa "filo a piombo“ • ortogonale deriva dal greco ed è composto da "orthos" che ha due significati • "corretto, giusto" come in ortografia, scrittura corretta • "raddrizzato, non deformato", come in ortopedia, ortodonzia, ortofonia e in geometria, dove, con il suffisso "gonia", indicante angolo, designa una angolo retto come angolo non deformato. Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 12 FARE DELL’ETIMOLOGIA UN GIOCO (da Bollettino dei docenti di matematica n°68- centro didattico cantonale Bellinzona Svizzera) Se si conoscono i significati di un certo numero di termini base, … si possono da un lato scoprire i significati di parole sconosciute o inventarne di nuove. Diceva Don Milani: «Finché ci sarà uno che conosce 2000 parole e uno che ne conosce 200, questi sarà oppresso dal primo. La parola ci fa uguali.» curiosità Poveri noi maestri (magis di più) che dobbiamo stare agli ordini dei ministri (minus di meno) Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 13 Osservazione Durante un corso di geometria un maestro osservò che i suoi allievi, come tutti i loro coetanei, nei primi anni di scuola sono inondati, o investiti, da una grande quantità di parole nuove e difficili come «parallelo», «perpendicolare», «diagonale», «isoscele»,… Capita quindi con una certa frequenza che pur avendo la risposta giusta, la sbagliano perché confondono le parole: «le diagonali di un quadrato sono parallele». In realtà sanno benissimo come sono, ma la confusione con perpendicolari li ha traditi. Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 14 Rette parallele nel piano il concetto di direzione Due rette nel piano sono parallele se sono coincidenti oppure non hanno alcun punto di intersezione inoltre Due rette non incidenti sono parallele e due rette non parallele sono incidenti Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 15 La proprietà astratta che accomuna le rette appartenenti ad una classe di equivalenza, ossia tra loro parallele, viene chiamata direzione. direzione r R t a b r s Q t a c . v v r s g b c g direzione a Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 17 Due semirette o due segmenti sono tra loro paralleli se appartengono a rette parallele. Non ha, invece, alcun senso parlare di linee parallele in questo caso una linea è traslata rispetto all’altra. Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 18 DISTANZA Dati una retta r e un punto P non appartenente a r, si definisce distanza di P da r il segmento appartenente alla retta n, per P e perpendicolare a r, e avente come estremi P e il punto di intersezione tra r e n. n P r H PH è la distanza di P da r Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 19 Pertanto, se due rette distinte sono parallele allora sono equidistanti. Si dimostra essere vera pure l’implicazione inversa: se due rette distinte sono equidistanti allora sono parallele. Direzione, verso Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 20 Verso – Direzione Per quali linee si può parlare di verso? Per quali linee si può parlare di direzione? Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 21 Verso – Direzione Per quali linee si può parlare di verso? Per tutte. Su ogni linea si hanno due versi. Per quali linee si può parlare di direzione? • Per la retta? Sì. • Per le poligonali? Sì. Siano esse aperte o chiuse, la direzione cambia in ogni vertice. Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 22 Verso – Direzione • Per la circonferenza? Sì. • In ogni punto la direzione è quella della retta tangente alla circonferenza in quel punto. Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 23 ATTENZIONE! I concetti di “parallela”, “incidente”, “perpendicolare”, “obliqua” sono concetti relativi, non assoluti, nel senso che esprimono relazioni binarie. in particolare, sono tutte relazioni simmetriche: •se la retta r è parallela alla retta s anche la retta s è parallela alla retta r; •se la retta r è incidente la retta s anche la retta s è incidente la retta r; •se la retta r è perpendicolare alla retta s anche la retta s è perpendicolare alla retta r; •se la retta r è obliqua alla retta s anche la retta s è obliqua alla retta r; per cui le relazioni possono essere espresse senza precisare l’ordine in cui si considerano le due rette e si parla di due rette tra loro parallele, incidenti, oblique, perpendicolari. Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 24 Il concetto di verticale, è un concetto fisico più che matematico, in quanto indica la direzione del filo a piombo nello spazio reale tridimensionale e dominio della forza di gravità. Orizzontali sono tutte le rette che appartengono a piani perpendicolari alla verticale. Segue che: ha senso parlare di direzione verticale, mentre non ha senso parlare di direzione perpendicolare in senso assoluto; quando un foglio è disteso, tutte le “rette” disegnate sono orizzontali; se poi il foglio viene appeso, alcune delle “rette” possono diventare verticali; tra orizzontale e verticale vi è un legame di perpendicolarità, ma non è vero il viceversa: vi sono rette tra loro perpendicolari oppure rette e piani tra loro perpendicolari che però non sono orizzontali-verticali; riportate al piano del foglio, le parole verticale e orizzontale assumono un significato convenzionale, riferito ai bordi del foglio. Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 25 Osserviamo, riflettiamo e rappresentiamo (da “Nel mondo della geometria” vol. 2 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson) pag. 84 UN APPUNTAMENTO DI MIX Mix sta viaggiando lungo la retta b ed ha appuntamento con Flox, la sua fidanzata, che sta viaggiando lungo la retta c. Individua il punto in cui si incontrano le due rette e denominalo M. Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 26 Osserviamo, riflettiamo e rappresentiamo Il punto T rappresenta la fontanella nel parco in cui Mix e Flox stanno passeggiando. La fontanella è all’incrocio di parecchie strade. .T •Traccia tu due rette che rappresentano due possibili strade che si incrociano nel punto T. Le due rette che hai tracciato si dicono RETTE INCIDENTI perché si incontrano in un punto. •Puoi tracciare altre rette tra loro incidenti nel punto T?................................... •Quante pensi di poterne tracciare?..................................................................... •Confronta la tua risposta con quella di un tuo compagno. Cosa noti?.................... Discutine con l’insegnante. Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 27 UN MONDO DI ... INCIDENTI (da “Nel mondo della geometria” vol. 2 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson) pag. 87 • Evidenzia con simboli gli angoli determinati da ciascuna coppia di rette incidenti. • Usa lo stesso simbolo per gli angoli di uguale ampiezza. •Trascrivi tutte le coppie di rette date. (a,b),..................................... •Sono tutte coppie di rette fra loro incidenti?.................. •Scrivi le coppie di rette incidenti perpendicolari …… Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 28 UN MONDO DI ... INCIDENTI (da “Nel mondo della geometria” vol. 2 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson) pag. 88 • Rappresenta nel seguente diagramma di Eulero-Venn la classificazione delle coppie di rette date Essere incidenti Essere incidenti perpendicolari Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 29 UN MONDO DI ... INCIDENTI Su un foglio di carta quadrettata (o bianca) disegna, se è possibile: • una coppia di rette incidenti • una coppia di rette incidenti perpendicolari • una coppia di rette incidenti non perpendicolari • una coppia di rette perpendicolari non incidenti • Hai potuto disegnare tutte le coppie di rette richieste?..... • Perché?................ • Confronta il tuo lavoro con quello dei compagni. Cosa noti?.................... Discutine con l’insegnante. Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 30 UN INCONTRO MANCATO (da “Nel mondo della geometria” vol. 2 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson) pag. 95 Come ricorderai Mix e Flox, camminando lungo le rette b e c, si sono incontrati nel punto M. Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 31 UN INCONTRO MANCATO Ora Mix e Flox, che hanno appuntamento per la cena, stanno viaggiando rispettivamente sulle rette r e s. Mix e Flox riusciranno ad incontrarsi per la cena?.....Perchè?.......................... Confronta le due diverse situazioni. Le due rette b e c si incontrano nel punto M perché hanno direzione …………………….............…. Le due rette r e s ………… si possono incontrare perché hanno direzione ...........…………………. Due rette che non si incontrano, che hanno cioè la stessa direzione si dicono RETTE PARALLELE. Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 32 RETTE IN COPPIA Osserva le seguenti coppie di rette. In quale altro modo puoi esprimere la proprietà di non essere incidenti? Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 33 RETTE IN COPPIA Per ognuna delle seguenti affermazioni segna con una crocetta se è vera (V) o falsa (F). Tutte le rette incidenti sono tra loro perpendicolari. V F Tutte le rette perpendicolari sono tra loro incidenti. V F Tutte le rette non incidenti sono parallele. V F Tutte le rette che non sono tra loro parallele sono tra loro incidenti. V F Due rette nel piano sono tra loro o incidenti o parallele. Se sono incidenti sono o perpendicolari o non perpendicolari. Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 34 MIX E FLOX AL PARCO pag.101 • Mix e Flox, al termine di una piacevole passeggiata, si sono seduti a riposare su una panchina del parco. Dopo un po’, Flox decide di salire sulla ruota spaziale panoramica per godersi il paesaggio,mentre Mix, che è affamato, vuole gustare un astropanino. Nello spazio sottostante, rappresenta -con un punto la panchina dalla quale sono partiti Mix e Flox, -con una linea retta la strada, -con delle frecce il verso di percorrenza di ciascuno di loro. Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 35 MIX E FLOX AL PARCO pag.102 Ora Mix è sazio e vuole andare anche lui a godersi il panorama dalla ruota spaziale e Flox, che sente un certo languorino allo stomaco, vuole mangiare un astropanino. Nello spazio sottostante, rappresenta con una linea retta la strada e indica con delle frecce i versi di percorrenza di Mix e di Flox. -Quanti versi puoi individuare su una retta?.................................................. -Quante direzioni?......................................................................................... Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 36 La definizione di segmenti adiacenti è corretta? ERRORE: la retta è un ente fondamentale e non si può definire. Devono essere consecutivi Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 37 L’angolo Per Euclide la parola “angolo” compare nei Termini, ossia nelle proposizioni in cui egli “descrive” il significato di alcuni nomi geometrici: VIII – Angolo piano è l’inclinazione reciproca di due linee su un piano, le quali si incontrano tra loro e non giacciono in linea retta. IX – Quando le due linee che comprendono l’angolo sono rette, l’angolo si chiama rettilineo. il termine angolo è utilizzato in modo più generale rispetto all’accezione odierna, in quanto indica anche i cosiddetti angoli di contingenza (o contatto), ossia quelli formati da due linee qualunque incidenti tra loro Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 38 Angolo come coppia di semirette Date due semirette appartenenti a rette distinte e con l’origine in comune, si chiama angolo l’insieme costituito da tali semirette. Vantaggi definizione univoca Svantaggi l’angolo non ha associato una regione piana non sono definibili gli angoli notevoli non sono definibili le classi di angoli (concavo, convesso, acuto, ottuso) 39 Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 Angolo come rotazione Data una coppia ordinata di semirette con l’origine O in comune, si chiama angolo la rotazione di centro O che trasforma la prima semiretta nella seconda. Vantaggi definizione univoca Svantaggi presuppone il concetto di rotazione è “operativa” permette di definire gli angoli notevoli l’angolo come ente viene confuso con la grandezza ad esso associata e la relativa misura permette di determinare in ogni caso la somma tra angoli 40 Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 Angolo come insieme di semirette Considerato un fascio orientato di semirette, siano a e b due semirette di tale fascio; si chiama angolo di primo lato a e secondo lato b l’insieme costituito dalle semirette del fascio che seguono a e precedono b nel verso fissato, oltre che dalle semirette a e b. a O b Vantaggi definizione univoca permette la definizione degli angoli notevoli 41 Svantaggi presuppone la nozione di orientamento di un fascio, quindi di rotazione Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 Angolo come regione piana Date due semirette con l’origine in comune, si chiama angolo ognuna delle due parti di piano individuate da tali semirette. Vantaggi Svantaggi associa all’angolo una regione piana, che è un insieme di punti non è univoca: le stesse semirette individuano due angoli che hanno proprietà “diverse” comprende angoli notevoli Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 42 Angolo come intersezione di semipiani Date due rette r e s incidenti in O e su di esse, rispettivamente le semirette r’ e s’ di origine O, si chiama angolo l’intersezione del semipiano di origine r contenente s’ e del semipiano di origine s contenente r’. s’ r O s r’ Svantaggi Vantaggi definizione univoca associa all’angolo una regione piana ricorre ad operazioni di tipo “insiemistico” definisce solo angoli convessi (per i concavi si ricorre all’unione dei può essere estesa all’intersezione semipiani) di due semipiani individuati da due è ambigua nel caso dell’angolo piatto rette parallele (striscia) Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 43 Angolo come cambiamento di direzione Date due semirette r’ e s’ con l’origine in comune, si chiama angolo il cambiamento di direzione tra la retta r su cui giace r’ e la retta s su cui giace s’. L’angolo come cambiamento di direzione individuato dalle semirette r’ e s’ non è quello che ha come lati tali semirette, ossia non è alcuno dei due angoli evidenziati in figura. O r’ s’ Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 44 Se si vuole rilevare il cambiamento di direzione della retta r cui appartiene r’ rispetto alla direzione della retta s cui appartiene s’, si traccia la semiretta opposta a r’ ed essa è il primo lato dell’angolo, mentre il secondo lato è la semiretta s’: r O r’ s’ Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 45 Se si vuole rilevare il cambiamento di direzione della retta s cui appartiene s’ rispetto alla direzione della retta r cui appartiene r’, si traccia la semiretta opposta a s’ ed essa è il primo lato dell’angolo, mentre il secondo lato è la semiretta r’: I due angoli individuati sono opposti al vertice, quindi sono tra loro congruenti s O Vantaggi Svantaggi accezione applicata nella le semirette date non sono i lati definizione di anglo esterno di un poligono dell’angolo congruenza tra i due angoli angoli notevoli non permette la definizione degli individuati r’ s’ Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 46 Angoli esterni di poligoni convessi ATTENZIONE!!! La nozione di angolo esterno è delicata: oltre alle difficoltà insiste nel concetto di angolo, la denominazione di angolo esterno richiama una presunta “negazione” rispetto agli angoli interni, per cui è diffusa la convinzione errata secondo cui, se l’angolo interno di un poligono convesso è l’angolo avente per lati le due semirette a cui appartengono due lati consecutivi del poligono e nella cui regione angolare esso è completamente contenuto, il corrispondente angolo esterno è quello con gli stessi lati dell’angolo interno, ma nella cui regione angolare non è contenuto il poligono, dunque l’angolo esplementare (completamento all’angolo giro) dell’angolo interno con lo stesso vertice. Esempio di errata individuazione di un angolo esterno di un triangolo Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 47 Angoli esterni di poligoni convessi • L’accezione del termine angolo che può utilmente supportare la definizione di angolo esterno nel caso di poligoni convessi è quella di angolo come cambiamento di direzione Dato un poligono, se A è un suo vertice, l’angolo esterno di vertice A è l’angolo individuato dal cambiamento di direzione tra le rette alle quali appartengono i lati del poligono consecutivi in A Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 48 Angoli esterni di poligoni convessi Se vuole rilevare il cambiamento della direzione della retta BC rispetto a quella della retta AB, è necessario prima di tutto evidenziare il mantenimento della direzione di AB, quindi si deve tracciare la semiretta di origine B opposta a quella che contiene il segmento AB; tale semiretta è il primo lato dell’angolo, mentre il suo secondo lato è la semiretta BC: α Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 49 Angoli esterni di poligoni convessi Se vuole rilevare il cambiamento della direzione della retta AB rispetto a quella della retta BC, è, invece, necessario evidenziare il mantenimento della direzione di BC, quindi si deve tracciare la semiretta di origine B opposta a quella che contiene il segmento BC; tale semiretta è il primo lato dell’angolo, mentre il suo secondo lato è la semiretta BA: β Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 50 Angoli esterni di poligoni convessi Come tutte le differenze, il risultato è diverso in base all’ordine con cui si considerano le due direzioni; tuttavia, gli angoli e sono tra loro opposti al vertice, per cui sono congruenti. α β Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 51 Angoli esterni di poligoni convessi Si propongono ancora attività motorie: in cortile, in palestra o su carta da pacco si traccia un poligono convesso piuttosto grande e si invita un alunno a posizionarsi su un vertice e a camminare lungo uno dei due lati uscenti da tale vertice tenendo le braccia tese in avanti, parallelamente al lato stesso, fino a raggiungere l’altro estremo del segmento. Quando raggiunge tale estremo, l’alunno deve tenere immobile un braccio davanti a se, mantenendo la direzione di provenienza, e ruotare l’altro braccio fino a disporlo parallelamente alla direzione individuata dal lato consecutivo del poligono. Se per esempio, il bambino è partito dal vertice A ed è giunto nel vertice B si ha: Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 52 Angoli esterni di poligoni convessi La riflessione su quanto fatto dovrebbe fare emergere che il contorno del poligono è stato percorso in un verso fissato (orario nel caso rappresentato) e che i lati dell’angolo indicante il cambiamento di direzione sono formati dal “prolungamento” del primo lato del poligono e dal secondo lato del poligono. Queste osservazioni dovrebbero aiutare nell’individuazione grafica degli angoli esterni di un poligono convesso e nella formulazione della definizione: l’angolo esterno di un poligono convesso è l’angolo che, fissato un verso di percorrenza della poligonale, indica il cambiamento di direzione tra le rette di due lati consecutivi del poligono Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 53 Il concetto di angolo è complesso pluralità di definizioni che ne mettono in evidenza aspetti particolari e talvolta incompatibili comporta i concetti di illimitatezza e di infinità l’aspetto figurativo è “debole” rispetto a quello concettuale: come distinguere con un disegno angoli che differiscono tra loro di uno o più angoli giro? gli angoli notevoli risultano da “forzature” di alcune definizioni … Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 54 Dal punto di vista didattico … necessità di indagare il significato attribuito spontaneamente dai bambini al termine angolo: parte ristretta di spazio, una punta, uno spigolo, una svolta brusca, un incrocio, una delimitazione necessità di una pluralità di approcci per portare all’intuizione e alla progressiva astrazione dalle diverse esperienze del concetto di angolo in tutta la sua complessità Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 55 Elementi costitutivi di un angolo lato : ognuna delle due semirette Or e Os vertice : l’origine O comune ai due lati O s regione angolare : una delle due parti di piano definite dalle due semirette ed evidenziata rispetto all’altra punto interno : ogni punto della regione angolare r Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 56 Angoli notevoli Richiedono “forzature” nella definizione di angolo Angolo piatto : ciascuno dei due angoli individuati da due semirette che sono una l’opposta dell’altra O la regione angolare è un semipiano qual è il vertice di un angolo piatto? quali sono i suoi lati? Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 57 Siano r ed s due semirette di origine O, coincidenti. Si chiama angolo giro l’angolo formato dalle due semirette e avente come regione angolare il piano. O O Angolo giro Si chiama angolo nullo l’angolo costituito dalle sole due semirette. Angolo nullo Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 58 La definizione dell’angolo retto dipende dalla definizione generale di angolo dalla nozioni già definite e da quelle che si voglio definire a partire dall’angolo retto È un angolo retto ciascuno dei due angoli individuati dalla bisettrice di un angolo piatto presuppone fonda la perpendicolarità tra rette la congruenza tra angoli la nozione di “suddivisione” di un angolo la nozione di bisettrice (definizione ed esistenza) Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 59 È un angolo retto un angolo congruente al proprio adiacente presuppone fonda la perpendicolarità tra rette la congruenza tra angoli la nozione di angolo adiacente È un angolo retto ognuno dei quattro angoli formati da due rette tra loro perpendicolari presuppone la perpendicolarità tra rette Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 60 Classi notevoli di angoli: angoli concavi e angoli convessi Possibilità di formulare definizioni utilizzando diversi criteri Tramite confronto con l’angolo piatto: un angolo è detto presuppone segue concavo se è maggiore dell’angolo piatto convesso se è minore dell’angolo piatto l’angolo nullo è convesso la nozione di angolo piatto l’angolo retto è convesso il confronto tra angoli l’angolo piatto è né concavo né convesso l’angolo giro Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016è concavo 61 Tramite applicazione della distinzione definita per figure piane: un angolo è detto presuppone concavo se è concava la sua regione angolare la nozione di regione piana concava/convessa convesso se è convessa la sua regione angolare segue l’angolo nullo è convesso l’angolo retto è convesso l’angolo piatto è convesso l’angolo giro è convesso Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 62 Tramite prolungamento dei lati: un angolo è detto segue concavo se contiene le semirette opposte dei suoi lati convesso se non contiene le semirette opposte dei suoi lati l’angolo nullo è convesso l’angolo retto è convesso l’angolo piatto è concavo l’angolo giro è concavo Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 63 Ripartizione dell’insieme degli angoli piani Angolo nullo Se si escludono l’angolo piatto, l’angolo giro e l’angolo nullo, le precedenti definizioni si equivalgono Angoli convessi Angoli concavi a c u t i O * 64 Angolo piatto Angolo giro O . r e tt o o t t u s i Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 Classi notevoli di angoli convessi: angoli acuti e angoli ottusi La classificazione degli angoli convessi viene ulteriormente raffinata tramite il confronto con l’angolo retto: un angolo convesso è detto ottuso acuto se è maggiore dell’angolo retto e minore dell’angolo piatto se è minore dell’angolo retto e maggiore dell’angolo nullo Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 65 La descrizione della posizione reciproca dei due lati dell’angolo retto è strettamente connessa all’impostazione adottata nella trattazione della posizione reciproca tra due rette: se due rette sono state chiamate perpendicolari quando formano quattro angoli congruenti tra loro, allora le semirette che delimitano l’angolo retto possono essere qualificate come perpendicolari. Se, invece, due rette sono state dette perpendicolari quando formano quattro angoli retti, allora la nozione di perpendicolarità è successiva a quella di angolo retto e, quindi, le semirette lati di un angolo retto, non possono essere qualificate perpendicolari, se non si vuole cadere in un circolo vizioso dal punto di vista logico. Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 66 Il problema degli angoli maggiori dell’angolo giro È necessario dare significato anche agli angoli maggiori dell’angolo giro, per esempio per poter parlare di somma degli angoli interni di un poligono. L’accezione di angolo che meglio si presta a questa estensione è quella di angolo come rotazione: date due semirette r e s con l’origine O in comune, fissata r come primo lato dell’angolo e il verso orario come verso positivo, non è univocamente determinato il movimento rigido di rotazione che porta r su s , poiché sono infinite le rotazioni che danno luogo allo stesso angolo, rotazioni che differiscono tra loro per un numero intero di angoli giro. Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 67 Figure convesse e figure concave Si consideri una figura piana F, ossia un qualunque sottoinsieme di punti del piano F è convessa se contiene il segmento che congiunge due suoi qualsiasi punti F è concava se non è convessa, ossia se esistono almeno due suoi punti che sono estremi di un segmento non contenuto nella figura A B P Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 Q 68 In base alla definizione data La circonferenza è concava Il cerchio è convesso Il contorno del quadrato è concavo Il quadrato è convesso La retta e ogni sua parte sono figure convesse A B r Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016 69
