LA GEOMETRIA
“PROTAGONISTA” NELLA SCUOLA
Spunti per insegnare ad affrontare e risolvere problemi geometrici
15 novembre 2016
Dova Patrizia - Marinella Del Torchio Mathesis autunno 2016
1
Posizione reciproca di due rette
nel piano
• Rette incidenti
- perpendicolari
- oblique
• Rette parallele
- concetto di direzione
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2
Angoli formati da rette incidenti
s
d
b
Le coppie di semirette
non appartenenti alla
stessa retta individuano
quattro angoli
denominati opposti al
vertice.
a
r
c
Si ha:
aPc bPd, aPd bPc
il simbolo della
congruenza tra angoli.
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3
rs
b
s
d
a
r
c
Con questa
impostazione, si
definiscono
perpendicolari due
rette incidenti che
formano quattro
angoli di uguale
ampiezza.
A partire dalla perpendicolarità si può
introdurre la denominazione di angolo retto
per ciascuno degli angoli formati da due
rette perpendicolari.
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4
s
d
b
a
r
c
Quando i quattro angoli formati da due rette r e
s incidenti non sono tutti congruenti, le due
rette sono tra loro oblique.
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5
Perpendicolarità tra segmenti e tra
semirette
Due segmenti o due semirette
sono perpendicolari se
appartengono a rette
perpendicolari,
e sono obliqui se lo sono le
rette su cui giacciono.
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6
Dalle pieghe della carta alle rette della geometria
• Procura anche tu un foglio rettangolare e segui le istruzioni
rappresentate:
• Sul tuo foglio ripassa con un colore il segno lasciato dalle piegature. Hai
messo in evidenza una coppia di …………………………………
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7
Dalle pieghe della carta alle rette della geometria
• Ora, con un altro foglio, procedi come descritto dai disegni:
• Sul tuo foglio ripassa con un colore il segno lasciato dalle piegature. Hai
messo in evidenza una coppia di …………………………………
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8
Oltre alla manipolazione …
Proposta di alcune costruzioni classiche nelle quali vengono assegnati dei
problemi e gli strumenti con i quali risolverli.
Esempi
1)
Data una retta r, tracciare rette perpendicolari ad r usando riga e squadra.
1. Disegnata la retta r, si appoggia
uno dei cateti della squadra alla
retta r.
2. Si appoggia il dorso della riga
all'ipotenusa della squadra.
3. Si fa scorrere la squadra sul
dorso della riga.
4. Si tracciano le rette s, v, …,
seguendo l'altro cateto della
squadra: tali rette sono
perpendicolari ad r.
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9
Dato un segmento AB suddividerlo in un numero
fissato di parti congruenti, usando riga e squadra.
(teorema di Talete)
• Si supponga di volere individuare sul segmento di
estremi A e B in 7 parti congruenti:
s
• dall’estremo A si traccia una semiretta qualsiasi s,
• con apertura a piacere, a partire da A si riportano
con il compasso sulla semiretta s 7 segmenti tra
loro congruenti e a due a due adiacenti,
t
• si unisce con la retta t il secondo estremo
dell’ultimo segmento ottenuto sulla semiretta s
con l’estremo B,
• con riga e squadra si tracciano le parallele alla
retta t passanti per gli estremi intermedi dei
segmenti costruiti sulla semiretta s,
• i punti di intersezione di tali rette con il segmento
AB lo dividono in 7 parti uguali
A
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B
10
ORTOGONALITÀ
Nello spazio, due direzioni si dicono ortogonali se le due rette
passanti per un punto fissato, quindi complanari, e aventi le
direzioni date sono perpendicolari, nel significato del termine
definito nella geometria piana.
a
H
b
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11
Etimologia dei due termini
• perpendicolare deriva dal latino “perpendiculum" che significa "filo a
piombo“
• ortogonale deriva dal greco ed è composto da "orthos" che ha due
significati
• "corretto, giusto" come in ortografia, scrittura corretta
• "raddrizzato, non deformato", come in ortopedia, ortodonzia, ortofonia e in
geometria, dove, con il suffisso "gonia", indicante angolo, designa una angolo
retto come angolo non deformato.
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12
FARE DELL’ETIMOLOGIA UN GIOCO
(da Bollettino dei docenti di matematica n°68- centro didattico cantonale Bellinzona Svizzera)
Se si conoscono i significati di un certo numero di termini base, … si possono
da un lato scoprire i significati di parole sconosciute o inventarne di nuove.
Diceva Don Milani: «Finché ci sarà uno che conosce 2000 parole e uno che ne
conosce 200, questi sarà oppresso dal primo. La parola ci fa uguali.»
curiosità
Poveri noi maestri (magis di più)
che dobbiamo stare agli ordini dei
ministri (minus di meno)
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13
Osservazione
Durante un corso di geometria un maestro osservò che i
suoi allievi, come tutti i loro coetanei, nei primi anni di
scuola sono inondati, o investiti, da una grande quantità
di parole nuove e difficili come «parallelo»,
«perpendicolare», «diagonale», «isoscele»,… Capita
quindi con una certa frequenza che pur avendo la
risposta giusta, la sbagliano perché confondono le
parole: «le diagonali di un quadrato sono parallele».
In realtà sanno benissimo come sono, ma la confusione
con perpendicolari li ha traditi.
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14
Rette parallele nel piano
il concetto di direzione
Due rette nel piano sono parallele se sono
coincidenti oppure non hanno alcun punto
di intersezione
inoltre
Due rette non incidenti sono parallele e
due rette non parallele sono incidenti
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15
La proprietà
astratta che
accomuna le rette
appartenenti ad
una classe di
equivalenza, ossia
tra loro parallele,
viene chiamata
direzione.
direzione
r
R
t
a
b
r
s
Q
t
a
c
.
v
v
r s
g
b
c
g
direzione
a
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17
Due semirette o due segmenti sono tra loro
paralleli se appartengono a rette parallele.
Non ha, invece,
alcun senso parlare
di linee parallele in
questo caso una
linea è traslata
rispetto all’altra.
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18
DISTANZA
Dati una retta r e un
punto P non
appartenente a r, si
definisce distanza di P
da r il segmento
appartenente alla retta
n, per P e
perpendicolare a r, e
avente come estremi P e
il punto di intersezione
tra r e n.
n
P
r
H
PH è la distanza di P da r
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19
Pertanto, se due rette distinte sono
parallele allora sono equidistanti.
Si dimostra essere vera pure l’implicazione
inversa: se due rette distinte sono
equidistanti allora sono parallele.
Direzione, verso
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20
Verso – Direzione
Per quali linee si
può parlare di
verso?
Per quali linee si
può parlare di
direzione?
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21
Verso – Direzione
Per quali linee si può parlare di verso?
Per tutte. Su ogni linea si hanno due versi.
Per quali linee si può parlare di direzione?
• Per la retta? Sì.
• Per le poligonali? Sì.
Siano esse aperte o chiuse, la direzione cambia in ogni vertice.
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22
Verso – Direzione
• Per la circonferenza? Sì.
• In ogni punto la direzione è quella della retta tangente alla circonferenza in
quel punto.
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23
ATTENZIONE!
I concetti di “parallela”, “incidente”, “perpendicolare”, “obliqua” sono concetti
relativi, non assoluti, nel senso che esprimono relazioni binarie.
in particolare, sono tutte relazioni simmetriche:
•se la retta r è parallela alla retta s anche la retta s è parallela alla retta r;
•se la retta r è incidente la retta s anche la retta s è incidente la retta r;
•se la retta r è perpendicolare alla retta s anche la retta s è perpendicolare alla
retta r;
•se la retta r è obliqua alla retta s anche la retta s è obliqua alla retta r;
per cui le relazioni possono essere espresse senza precisare l’ordine in cui si
considerano le due rette e si parla di due rette tra loro parallele, incidenti,
oblique, perpendicolari.
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24
Il concetto di verticale, è un concetto fisico più che matematico, in quanto
indica la direzione del filo a piombo nello spazio reale tridimensionale e
dominio della forza di gravità.
Orizzontali sono tutte le rette che appartengono a piani perpendicolari alla
verticale.
Segue che:
ha senso parlare di direzione verticale, mentre non ha senso parlare di direzione
perpendicolare in senso assoluto;
quando un foglio è disteso, tutte le “rette” disegnate sono orizzontali; se poi il foglio viene
appeso, alcune delle “rette” possono diventare verticali;
tra orizzontale e verticale vi è un legame di perpendicolarità, ma non è vero il viceversa: vi
sono rette tra loro perpendicolari oppure rette e piani tra loro perpendicolari che però non
sono orizzontali-verticali;
riportate al piano del foglio, le parole verticale e orizzontale assumono un significato
convenzionale, riferito ai bordi del foglio.
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25
Osserviamo, riflettiamo e rappresentiamo
(da “Nel mondo della geometria” vol. 2 a cura di
C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson) pag. 84
UN APPUNTAMENTO DI MIX
Mix sta viaggiando lungo la retta b ed ha appuntamento con Flox, la sua fidanzata,
che sta viaggiando lungo la retta c.
Individua il punto in cui si incontrano le due rette e denominalo M.
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26
Osserviamo, riflettiamo e rappresentiamo
Il punto T rappresenta la fontanella nel parco in cui Mix e Flox stanno passeggiando.
La fontanella è all’incrocio di parecchie strade.
.T
•Traccia tu due rette che rappresentano due possibili strade che si incrociano nel punto T.
Le due rette che hai tracciato si dicono RETTE INCIDENTI perché si incontrano in un
punto.
•Puoi tracciare altre rette tra loro incidenti nel punto T?...................................
•Quante pensi di poterne tracciare?.....................................................................
•Confronta la tua risposta con quella di un tuo compagno. Cosa noti?....................
Discutine con l’insegnante.
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27
UN MONDO DI ... INCIDENTI
(da “Nel mondo della geometria” vol. 2 a cura di
C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson) pag. 87
• Evidenzia con simboli gli angoli determinati da ciascuna coppia di rette incidenti.
• Usa lo stesso simbolo per gli angoli di uguale ampiezza.
•Trascrivi tutte le coppie di
rette date.
(a,b),.....................................
•Sono tutte coppie di rette fra
loro incidenti?..................
•Scrivi le coppie di rette
incidenti perpendicolari ……
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28
UN MONDO DI ... INCIDENTI
(da “Nel mondo della geometria” vol. 2 a cura di
C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson) pag. 88
• Rappresenta nel seguente diagramma di Eulero-Venn la classificazione delle coppie
di rette date
Essere
incidenti
Essere incidenti
perpendicolari
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UN MONDO DI ... INCIDENTI
Su un foglio di carta quadrettata (o bianca) disegna, se è possibile:
• una coppia di rette incidenti
• una coppia di rette incidenti perpendicolari
• una coppia di rette incidenti non perpendicolari
• una coppia di rette perpendicolari non incidenti
• Hai potuto disegnare tutte le coppie di rette richieste?.....
• Perché?................
• Confronta il tuo lavoro con quello dei compagni. Cosa noti?....................
Discutine con l’insegnante.
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30
UN INCONTRO MANCATO
(da “Nel mondo della geometria” vol. 2 a cura di
C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson) pag. 95
Come ricorderai Mix e Flox, camminando lungo le rette b e c,
si sono incontrati nel punto M.
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31
UN INCONTRO MANCATO
Ora Mix e Flox, che hanno appuntamento per la cena, stanno viaggiando
rispettivamente sulle rette r e s.
Mix e Flox riusciranno ad incontrarsi per la cena?.....Perchè?..........................
Confronta le due diverse situazioni.
Le due rette b e c si incontrano nel punto M perché hanno direzione
…………………….............….
Le due rette r e s ………… si possono incontrare perché hanno direzione
...........………………….
Due rette che non si incontrano, che hanno cioè la stessa direzione si dicono RETTE
PARALLELE.
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32
RETTE IN COPPIA
Osserva le seguenti
coppie di rette.
In quale altro modo
puoi esprimere la
proprietà di non
essere incidenti?
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33
RETTE IN COPPIA
Per ognuna delle seguenti affermazioni segna con una crocetta se è vera (V) o falsa (F).
Tutte le rette incidenti sono tra loro perpendicolari.
V
F
Tutte le rette perpendicolari sono tra loro incidenti.
V
F
Tutte le rette non incidenti sono parallele.
V
F
Tutte le rette che non sono tra loro parallele sono tra loro incidenti.
V
F
Due rette nel piano sono tra loro o incidenti o parallele.
Se sono incidenti sono o perpendicolari o non perpendicolari.
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34
MIX E FLOX AL PARCO pag.101
• Mix e Flox, al termine di una piacevole passeggiata, si sono seduti a riposare su una panchina
del parco. Dopo un po’, Flox decide di salire sulla ruota spaziale panoramica per godersi il
paesaggio,mentre Mix, che è affamato, vuole gustare un astropanino.
Nello spazio sottostante, rappresenta
-con un punto la panchina dalla quale sono partiti Mix e Flox,
-con una linea retta la strada,
-con delle frecce il verso di percorrenza di ciascuno di loro.
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35
MIX E FLOX AL PARCO pag.102
Ora Mix è sazio e vuole andare anche lui a godersi il panorama dalla ruota spaziale
e Flox, che sente un certo languorino allo stomaco, vuole mangiare un
astropanino.
Nello spazio sottostante, rappresenta con una linea retta la strada e indica con delle
frecce i versi di percorrenza di Mix e di Flox.
-Quanti versi puoi individuare su una retta?..................................................
-Quante direzioni?.........................................................................................
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36
La definizione
di segmenti
adiacenti è
corretta?
ERRORE: la retta è un
ente fondamentale e
non si può definire.
Devono essere
consecutivi
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37
L’angolo
Per Euclide la parola “angolo” compare nei Termini, ossia nelle proposizioni in cui egli
“descrive” il significato di alcuni nomi geometrici:
VIII – Angolo piano è l’inclinazione reciproca di due linee su un piano, le quali si
incontrano tra loro e non giacciono in linea retta.
IX – Quando le due linee che comprendono l’angolo sono rette, l’angolo si chiama
rettilineo.
il termine angolo è utilizzato in modo più generale rispetto all’accezione odierna, in
quanto indica anche i cosiddetti angoli di contingenza (o contatto), ossia quelli formati
da due linee qualunque incidenti tra loro
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38
Angolo come coppia di semirette
Date due semirette appartenenti a rette distinte e con l’origine in
comune, si chiama angolo l’insieme costituito da tali semirette.
Vantaggi
definizione univoca
Svantaggi
l’angolo non ha associato una
regione piana
non sono definibili gli angoli
notevoli
non sono definibili le classi di
angoli (concavo, convesso, acuto,
ottuso)
39
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Angolo come rotazione
Data una coppia ordinata di semirette con l’origine O in comune, si
chiama angolo la rotazione di centro O che trasforma la prima
semiretta nella seconda.
Vantaggi
definizione univoca
Svantaggi
presuppone il concetto di
rotazione
è “operativa”
permette di definire gli angoli
notevoli
l’angolo come ente viene confuso
con la grandezza ad esso associata e
la relativa misura
permette di determinare in ogni
caso la somma tra angoli
40
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Angolo come insieme di semirette
Considerato un fascio orientato di semirette, siano a e b due semirette di
tale fascio; si chiama angolo di primo lato a e secondo lato b l’insieme
costituito dalle semirette del fascio che seguono a e precedono b nel verso
fissato, oltre che dalle semirette a e b.
a
O
b
Vantaggi
definizione univoca
permette la definizione degli
angoli notevoli
41
Svantaggi
presuppone la nozione di
orientamento di un fascio, quindi di
rotazione
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Angolo come regione piana
Date due semirette con l’origine in comune, si chiama angolo ognuna delle
due parti di piano individuate da tali semirette.
Vantaggi
Svantaggi
associa all’angolo una regione
piana, che è un insieme di punti
non è univoca: le stesse semirette
individuano due angoli che hanno
proprietà “diverse”
comprende angoli notevoli
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42
Angolo come intersezione di semipiani
Date due rette r e s incidenti in O e su di esse, rispettivamente le semirette r’ e s’ di origine O, si chiama angolo
l’intersezione del semipiano di origine r contenente s’ e del semipiano di origine s contenente r’.
s’
r
O
s
r’
Svantaggi
Vantaggi
definizione univoca
associa all’angolo una regione
piana
ricorre ad operazioni di tipo
“insiemistico”
definisce solo angoli convessi (per i
concavi si ricorre all’unione dei
può essere estesa all’intersezione semipiani)
di due semipiani individuati da due
è ambigua nel caso dell’angolo piatto
rette parallele (striscia)
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43
Angolo come cambiamento di direzione
Date due semirette r’ e s’ con l’origine in comune, si chiama angolo il
cambiamento di direzione tra la retta r su cui giace r’ e la retta s su cui
giace s’.
L’angolo come cambiamento di
direzione individuato dalle
semirette r’ e s’ non è quello che
ha come lati tali semirette, ossia
non è alcuno dei due angoli
evidenziati in figura.
O
r’
s’
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44
Se si vuole rilevare il cambiamento di direzione della retta r cui appartiene
r’ rispetto alla direzione della retta s cui appartiene s’, si traccia la semiretta
opposta a r’ ed essa è il primo lato dell’angolo, mentre il secondo lato è la
semiretta s’:
r
O
r’
s’
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45
Se si vuole rilevare il cambiamento di direzione della retta s cui appartiene s’ rispetto alla direzione della retta r
cui appartiene r’, si traccia la semiretta opposta a s’ ed essa è il primo lato dell’angolo, mentre il secondo lato è la
semiretta r’:
I due angoli individuati sono opposti al vertice, quindi sono tra loro
congruenti
s
O
Vantaggi
Svantaggi
accezione applicata nella
le semirette date non sono i lati
definizione di anglo esterno di un
poligono
dell’angolo
congruenza tra i due angoli
angoli notevoli
non permette la definizione degli
individuati
r’
s’
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46
Angoli esterni di poligoni convessi
ATTENZIONE!!!
La nozione di angolo esterno è delicata: oltre alle difficoltà insiste nel concetto di angolo,
la denominazione di angolo esterno richiama una presunta “negazione” rispetto agli
angoli interni, per cui è diffusa la convinzione errata secondo cui, se l’angolo interno di
un poligono convesso è l’angolo avente per lati le due semirette a cui appartengono due
lati consecutivi del poligono e nella cui regione angolare esso è completamente
contenuto, il corrispondente angolo esterno è quello con gli stessi lati dell’angolo
interno, ma nella cui regione angolare non è contenuto il poligono, dunque l’angolo
esplementare (completamento all’angolo giro) dell’angolo interno con lo stesso vertice.
Esempio di errata individuazione di un
angolo esterno di un triangolo
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47
Angoli esterni di poligoni convessi
• L’accezione del termine angolo che può
utilmente supportare la definizione di
angolo esterno nel caso di poligoni convessi
è quella di angolo come cambiamento di
direzione
Dato un poligono, se A è un suo vertice,
l’angolo esterno di vertice A è l’angolo
individuato dal cambiamento di direzione
tra le rette alle quali appartengono i lati
del poligono consecutivi in A
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48
Angoli esterni di poligoni convessi
Se vuole rilevare il cambiamento della direzione della retta BC rispetto a quella della
retta AB, è necessario prima di tutto evidenziare il mantenimento della direzione di
AB, quindi si deve tracciare la semiretta di origine B opposta a quella che contiene il
segmento AB; tale semiretta è il primo lato dell’angolo, mentre il suo secondo lato è la
semiretta BC:
α
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49
Angoli esterni di poligoni convessi
Se vuole rilevare il cambiamento della direzione della retta AB rispetto a quella della
retta BC, è, invece, necessario evidenziare il mantenimento della direzione di BC,
quindi si deve tracciare la semiretta di origine B opposta a quella che contiene il
segmento BC; tale semiretta è il primo lato dell’angolo, mentre il suo secondo lato è la
semiretta BA:
β
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50
Angoli esterni di poligoni convessi
Come tutte le differenze, il risultato è diverso in base all’ordine con cui si considerano
le due direzioni; tuttavia, gli angoli e sono tra loro opposti al vertice, per cui sono
congruenti.
α
β
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51
Angoli esterni di poligoni convessi
Si propongono ancora attività motorie: in cortile, in palestra o su carta da pacco si
traccia un poligono convesso piuttosto grande e si invita un alunno a posizionarsi su un
vertice e a camminare lungo uno dei due lati uscenti da tale vertice tenendo le braccia
tese in avanti, parallelamente al lato stesso, fino a raggiungere l’altro estremo del
segmento. Quando raggiunge tale estremo, l’alunno deve tenere immobile un braccio
davanti a se, mantenendo la direzione di provenienza, e ruotare l’altro braccio fino a
disporlo parallelamente alla direzione individuata dal lato consecutivo del poligono. Se
per esempio, il bambino è partito dal vertice A ed è giunto nel vertice B si ha:
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Angoli esterni di poligoni convessi
La riflessione su quanto fatto dovrebbe fare emergere che il contorno del poligono è
stato percorso in un verso fissato (orario nel caso rappresentato) e che i lati dell’angolo
indicante il cambiamento di direzione sono formati dal “prolungamento” del primo
lato del poligono e dal secondo lato del poligono. Queste osservazioni dovrebbero
aiutare nell’individuazione grafica degli angoli esterni di un poligono convesso e nella
formulazione della definizione:
l’angolo esterno di un poligono convesso è l’angolo che, fissato un verso di
percorrenza della poligonale, indica il cambiamento di direzione tra le rette di due
lati consecutivi del poligono
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53
Il concetto di angolo è complesso
pluralità di definizioni che ne mettono in evidenza aspetti particolari e talvolta
incompatibili
comporta i concetti di illimitatezza e di infinità
l’aspetto figurativo è “debole” rispetto a quello concettuale: come distinguere
con un disegno angoli che differiscono tra loro di uno o più angoli giro?
gli angoli notevoli risultano da “forzature” di alcune definizioni
…
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Dal punto di vista didattico …
necessità di indagare il significato attribuito spontaneamente dai bambini al
termine angolo: parte ristretta di spazio, una punta, uno spigolo, una svolta brusca,
un incrocio, una delimitazione
necessità di una pluralità di approcci per portare all’intuizione e alla progressiva
astrazione dalle diverse esperienze del concetto di angolo in tutta la sua
complessità
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55
Elementi costitutivi di un angolo
lato : ognuna delle due semirette Or e Os
vertice : l’origine O comune ai due lati
O
s
regione angolare : una delle due parti di
piano definite dalle due semirette ed
evidenziata rispetto all’altra
punto interno : ogni punto della regione
angolare
r
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56
Angoli notevoli
Richiedono “forzature” nella definizione di angolo
Angolo piatto : ciascuno dei due angoli
individuati da due semirette che sono una
l’opposta dell’altra
O
la regione angolare è un semipiano
qual è il vertice di un angolo piatto?
quali sono i suoi lati?
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57
Siano r ed s due semirette di origine O,
coincidenti.
Si chiama angolo giro l’angolo formato dalle due
semirette e avente come regione angolare il
piano.
O
O
Angolo giro
Si chiama angolo nullo l’angolo costituito dalle
sole due semirette.
Angolo nullo
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La definizione dell’angolo retto dipende
dalla definizione generale di angolo
dalla nozioni già definite e da quelle che si voglio definire a partire
dall’angolo retto
È un angolo retto ciascuno dei due angoli individuati dalla
bisettrice di un angolo piatto
presuppone
fonda
la perpendicolarità tra
rette
la congruenza tra angoli
la nozione di “suddivisione” di un angolo
la nozione di bisettrice (definizione ed esistenza)
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È un angolo retto un angolo
congruente al proprio adiacente
presuppone
fonda
la perpendicolarità tra
rette
la congruenza tra angoli
la nozione di angolo adiacente
È un angolo retto ognuno dei quattro
angoli formati da due rette tra loro
perpendicolari
presuppone
la perpendicolarità tra rette
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Classi notevoli di angoli:
angoli concavi e angoli convessi
Possibilità di formulare definizioni utilizzando diversi criteri
Tramite confronto con l’angolo piatto:
un angolo è detto
presuppone
segue
concavo
se è maggiore
dell’angolo piatto
convesso
se è minore dell’angolo
piatto
l’angolo nullo è convesso
la nozione di angolo piatto
l’angolo retto è convesso
il confronto tra angoli
l’angolo piatto è né concavo né
convesso
l’angolo
giro
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autunno
2016è
concavo
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Tramite applicazione della distinzione definita per
figure piane:
un angolo è detto
presuppone
concavo
se è concava la sua
regione angolare
la nozione di regione piana
concava/convessa
convesso
se è convessa la sua
regione angolare
segue
l’angolo nullo è convesso
l’angolo retto è convesso
l’angolo piatto è convesso
l’angolo giro è convesso
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Tramite prolungamento dei lati:
un angolo è detto
segue
concavo
se contiene le semirette
opposte dei suoi lati
convesso
se non contiene le
semirette opposte dei suoi
lati
l’angolo nullo è convesso
l’angolo retto è convesso
l’angolo piatto è concavo
l’angolo giro è concavo
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Ripartizione dell’insieme degli angoli piani
Angolo
nullo
Se si escludono l’angolo
piatto, l’angolo giro e
l’angolo nullo, le
precedenti definizioni si
equivalgono
Angoli
convessi
Angoli
concavi
a
c
u
t
i
O
*
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Angolo
piatto
Angolo
giro
O
.
r
e
tt
o
o
t
t
u
s
i
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Classi notevoli di angoli convessi:
angoli acuti e angoli ottusi
La classificazione degli angoli convessi viene ulteriormente raffinata
tramite il confronto con l’angolo retto:
un angolo convesso è detto
ottuso
acuto
se è maggiore
dell’angolo retto e
minore dell’angolo
piatto
se è minore
dell’angolo retto e
maggiore dell’angolo
nullo
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La descrizione della posizione reciproca dei due lati dell’angolo retto è strettamente
connessa all’impostazione adottata nella trattazione della posizione reciproca tra due
rette:
se due rette sono state chiamate perpendicolari quando formano quattro angoli
congruenti tra loro, allora le semirette che delimitano l’angolo retto possono essere
qualificate come perpendicolari.
Se, invece, due rette sono state dette perpendicolari quando formano quattro angoli
retti, allora la nozione di perpendicolarità è successiva a quella di angolo retto e,
quindi, le semirette lati di un angolo retto, non possono essere qualificate
perpendicolari, se non si vuole cadere in un circolo vizioso dal punto di vista logico.
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Il problema degli angoli maggiori dell’angolo giro
È necessario dare significato anche agli angoli maggiori dell’angolo giro, per
esempio per poter parlare di somma degli angoli interni di un poligono.
L’accezione di angolo che meglio si presta a questa estensione è quella di angolo
come rotazione:
date due semirette r e s con l’origine O in comune, fissata r come primo lato
dell’angolo e il verso orario come verso positivo, non è univocamente determinato
il movimento rigido di rotazione che porta r su s , poiché sono infinite le rotazioni
che danno luogo allo stesso angolo, rotazioni che differiscono tra loro per un
numero intero di angoli giro.
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Figure convesse e figure concave
Si consideri una figura piana F, ossia un qualunque sottoinsieme di punti del piano
F è convessa se contiene il
segmento che congiunge due suoi
qualsiasi punti
F è concava se non è convessa, ossia
se esistono almeno due suoi punti
che sono estremi di un segmento
non contenuto nella figura
A
B
P
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Q
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In base alla definizione data
La circonferenza è concava
Il cerchio è convesso
Il contorno del quadrato è concavo
Il quadrato è convesso
La retta e ogni sua parte sono figure convesse
A
B
r
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