Didattica della Matematica per il triennio Geometria sintetica e geometria analitica anno acc. 2012/2013 Univ. degli Studi di Milano Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica per il triennio 1 / 22 Coniche come curve algebriche di ordine due index 1 Coniche come curve algebriche di ordine due 2 Classificazione euclidea metrica, euclidea simile, e affine delle coniche Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica per il triennio 2 / 22 Coniche come curve algebriche di ordine due Luogo, non insieme Piano euclideo E2 , coordinate (x, y). Conica = luogo del secondo ordine, descritto da f (x, y) = a1,1 x2 + 2a1,2 xy + a2,2 y2 + 2a1,3 x + 2a2,3 y + a3,3 = 0 con f polinomio di secondo grado (cioè (a1,1 , a1,2 , a2,2 ) 6= (0, 0, 0)). Insieme degli zeri del polinomio f , Z(f ) = {p ≡ (x, y)|f (x, y) = 0}. Ovviamente, per ρ 6= 0, si ha Z(ρf ) = Z(f ) : conta l’equazione, non il polinomio. La conica definita da f viene identificata a quella definita da ρf . Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica per il triennio 3 / 22 Coniche come curve algebriche di ordine due Conica Γ = coppia (Z(f ), f ), (o meglio, classe di equivalenza di coppie del tipo (Z(f ), f ), modulo la relazione che identifica (Z(ρf ), ρf ) con (Z(f ), f ), se ρ 6= 0.) Può accadere che sia Z(f1 ) = Z(f2 ), con f1 non proporzionale a f2 , (ad esempio nel caso x2 = 0 e x = 0, oppure nel caso x2 + y2 = 0 e 2x2 + 3y2 = 0). In tale caso bisogna tenere distinte le coppie Γ1 = (Z(f1 ), f1 ) e Γ2 = (Z(f2 ), f2 ). Sono due coniche distinte, con lo stesso insieme degli zeri. La conica si dice riducibile se il polinomio f lo è (in C). Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica per il triennio 4 / 22 Coniche come curve algebriche di ordine due Matrice associata f (x, y) = a1,1 x2 + 2a1,2 xy + a2,2 y2 + 2a1,3 x + 2a2,3 y + a3,3 = ( x y 1 ) a1,1 a1,2 a1,3 a1,2 a2,2 a2,3 a1,3 a2,3 a3,3 ! x y 1 ! =0 A matrice simmetrica, matrice dei coefficienti della conica. TEOREMA - Γ = (Z(f ), f ) è riducibile se e solo se det(A) = 0. traccia della dimostrazione Sappiamo che (a1,1 , a1,2 , a2,2 ) 6= (0, 0, 0). Se a1,1 = a2,2 = 0, allora a1,2 6= 0 e l’equazione diventa 2x(a1,2 y + a1,3 ) + 2a2,3 y + a3,3 = 0, Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica per il triennio 5 / 22 Coniche come curve algebriche di ordine due per cui f è riducibile se e solo se 2(a1,2 y + a1,3 ) = ρ(2a2,3 y + a3,3 ) ovvero se e solo se a1,2 a3,3 − 2a1,3 a2,3 − 0, e questo accade se e solo se ! 0 a1,2 a1,3 det( a1,2 0 a2,3 ) = a1,2 (2a1,3 a2,3 − a1,2 a3,3 ) = 0. a1,3 a2,3 a3,3 Se invece, ad esempio, a2,2 6= 0, allora l’equazione diviene a2,2 y2 + 2(a1,2 x + a2,3 )y + (a1,1 x2 + 2a1,3 x + a3,3 ) = 0 Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica per il triennio 6 / 22 Coniche come curve algebriche di ordine due che si spezza in a2,2 (y − α)(y − β) = 0 con α, β polinomi, se e solo se ∆ 4 = (a1,2 x + a2,3 )2 − a2,2 (a1,1 x2 + 2a1,3 x + a3,3 ) = − a1,1 a2,2 )x2 + 2a1,2 a2,3 − a2,2 a1,3 x + (a22,3 − a2,2 a3,3 ) (a21,2 è un quadrato perfetto, ovvero se e solo se 0 = (a1,2 a2,3 − a2,2 a1,3 )2 − (a21,2 − a1,1 a2,2 )(a22,3 − a2,2 a3,3 ) = a2,2 det(A) quindi (essendo a2,2 6= 0) se e solo se det(A) = 0. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica per il triennio 7 / 22 Classificazione euclidea metrica, euclidea simile, e affine delle coniche index 1 Coniche come curve algebriche di ordine due 2 Classificazione euclidea metrica, euclidea simile, e affine delle coniche Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica per il triennio 8 / 22 Classificazione euclidea metrica, euclidea simile, e affine delle coniche Invarianti ortogonali Γ ⊂ E2 conica di equazione f (x, y) = a1,1 x2 +2a1,2 xy+a2,2 y2 +2a1,3 x+2a2,3 y+a3,3 = ( x y 1 ) A Consideriamo le seguenti quantità estratte da A. I1 (A) = a1,1 + a2,2 , I2 (A) = a1,1 a2,2 − a21,2 , x y 1 ! I3 (A) = det(A). Se si considera, come polinomio che definisce Γ, il polinomio ρf in luogo di f , la matrice associata diviene ρA in luogo di A e le quantità sopra definite si trasformano in I1 (ρA) = ρI1 (A), I2 (ρA) = ρ2 I1 (A), I3 (ρA) = ρ3 I1 (A). Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica per il triennio 9 / 22 = Classificazione euclidea metrica, euclidea simile, e affine delle coniche Consideriamo ora una traslazione definita da (x = x0 + a, y = y0 + b) oppure una rotazione con centro nell’origine definita da (x = x0 cos(θ) − y0 sin(θ), y = x0 sin(θ) + y0 cos(θ)) e il polinomio trasformato f 0 (x0 , y0 ) = f (x, y). Detta A0 la matrice associata a f 0 , si ha I1 (A0 ) = I1 (A), I2 (A0 ) = I2 (A), I3 (A0 ) = I3 (A). Le quantità I1 (A), I2 (A) e I3 (A) vengono detti invarianti ortogonali , rispettivamente, lineare, quadratico e cubico di f . Il gruppo delle congruenze (dirette) è generato da traslazioni e rotazioni attorno all’origine. L’annullarsi di Ii (A), per i = 1, 2, 3, il segno di I2 (A), e il segno del prodotto I1 (A)I3 (A), esprimono proprietà di Γ (non solo di f ) invarianti per congruenze (dirette). Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica per il triennio 10 / 22 Classificazione euclidea metrica, euclidea simile, e affine delle coniche Il caso I2 (A) 6= 0 OSSERVAZIONE - Se I2 (A) 6= 0, esiste una traslazione (della forma (x = x0 + a, y = y0 + b)) che riduce l’equazione di Γ nella forma (∗) a01,1 x02 + 2a01,2 x0 y0 + a02,2 y02 + a03,3 = 0. Infatti la condizione a01,3 = a02,3 = 0, corrisponde a a1,1 a + a1,2 b + a1,3 = 0, a1,2 a + a2,2 b + a2,3 = 0 e quest’ultimo è un sistema di due equazioni in due incognite che, per l’ipotesi I2 (A) 6= 0, è Crameriano. Si noti che questo ci dice che I2 (A) 6= 0 implica l’esistenza di un centro di simmetria. OSSERVAZIONE - Sia Γ una conica di equazione (∗). Esiste una rotazione (della forma (x0 = x00 cos(θ) − y00 sin(θ), y0 = x00 sin(θ) + y00 cos(θ))) che riduce l’equazione di Γ nella forma (∗∗) Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) a001,1 x002 + a002,2 y002 + a003,3 = 0. Didattica della Matematica per il triennio 11 / 22 Classificazione euclidea metrica, euclidea simile, e affine delle coniche Infatti la condizione a001,2 = 0, corrisponde alla equazione −a01,2 sin2 (θ) − (a01,1 − a02,2 )sin(θ)cos(θ) + a01,2 cos2 (θ) = 0 ovvero a01,2 tang2 (θ) + (a01,1 − a02,2 )tang(θ) − a01,2 = 0 che ha soluzione poichè il suo disciminante è non negativo (come somma di quadrati). Quanto visto sopra mostra che ogni conica con I2 6= 0 (conica a centro), è congruente ad una di equazione !a1,1 x2 + a2,2 y2 + a3,3 = 0, cioè con a1,1 0 0 0 a2,2 0 matrice A = , con a1,1 , a2,2 6= 0, (i cui con invarianti 0 0 a3,3 ortogonali sono I1 = a1,1 + a2,2 , I2 = a1,1 a2,2 , I3 = a1,1 a2,2 a3,3 ). Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica per il triennio 12 / 22 Classificazione euclidea metrica, euclidea simile, e affine delle coniche Classificazione delle coniche con I2 6= 0 (ovvero coniche a centro) A) Caso riducibile (I3 = 0) A1 ) p2 x2 + q2 y2 = 0 (I2 > 0, coppia di rette immaginarie coniugate) A2 ) p2 x2 − q2 y2 = 0 (I2 < 0, coppia di rette reali distinte) B) Caso irriducibile (I3 6= 0) B1 ) x2 a2 + y2 b2 = 1 (I2 > 0, I1 I3 < 0, ellisse reale) B2 ) x2 a2 + y2 b2 = −1 (I2 > 0, I1 I3 > 0, ellisse immaginaria) B3 ) x2 a2 − y2 b2 = 1 (I2 < 0, iperbole) Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica per il triennio 13 / 22 Classificazione euclidea metrica, euclidea simile, e affine delle coniche Il caso I2 (A) = 0 OSSERVAZIONE - Se I2 (A) = 0, la parte quadratica a1,1 x2 + 2a1,2 xy + a2,2 y2 di f è un quadrato perfetto. Sia a1,1 x2 + 2a1,2 xy + a2,2 y2 = (αx + βy)2 . Con una rotazione si trasforma la retta di equazione αx + βy = 0 nell’asse delle ascisse, per cui l’equazione della conica si trasforma in (ky0 )2 + 2a01,3 x0 + 2a02,3 y0 + a03,3 = 0, con k 6= 0 ovvero y02 + 2a001,3 x0 + 2a002,3 y0 + a003,3 = 0, e quindi la matrice associata diviene 0 o a001,3 1 a002,3 . A00 = 0 00 a1,3 a002,3 a003,3 Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica per il triennio 14 / 22 Classificazione euclidea metrica, euclidea simile, e affine delle coniche Classificazione delle coniche con I2 = 0 C) Caso riducibile (I3 = 0) I3 = 0 se e solo se a001,3 = 0, quindi in questo caso l’equazione della conica trasformata è y02 + 2a002,3 y0 + a003,3 = 0, e pertanto la conica è costituita da C1 ) due rette parallele C2 ) insieme vuoto (due fattori lineari complessi coniugati) C3 ) due rette coincidenti Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica per il triennio 15 / 22 Classificazione euclidea metrica, euclidea simile, e affine delle coniche D) Caso irriducibile (I3 6= 0) Se I3 6= 0, ovvero a001,3 6= 0, con una traslazione l’equazione y02 + 2a001,3 x0 + 2a002,3 y0 + a003,3 = 0, si trasforma in y002 − 2px00 = 0, con p 6= 0, e pertanto D) la conica è una parabola. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica per il triennio 16 / 22 Classificazione euclidea metrica, euclidea simile, e affine delle coniche Classificazione euclidea metrica Ogni conica è congruente ad una tra le seguenti (forme canoniche) B1 ) x2 a2 + 2 B2 ) ax2 + vuoto) B3 ) x2 a2 − y2 b2 = 1 (I3 6= 0, I2 > 0, I1 I3 < 0, ellisse reale) y2 b2 = −1 (I3 6= 0, I2 > 0, I1 I3 > 0, ellisse immaginaria: insieme y2 b2 = 1 (I3 6= 0, I2 < 0, iperbole) D) y2 − 2px = 0 (I3 6= 0, I2 = 0, parabola) A1 ) p2 x2 + q2 y2 = 0 (I3 = 0, I2 > 0, coppia di rette immaginarie: un solo punto reale) Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica per il triennio 17 / 22 Classificazione euclidea metrica, euclidea simile, e affine delle coniche A2 ) p2 x2 − q2 y2 = 0 (I3 = 0, I2 < 0, coppia di rette reali incidenti) C1 ) x2 − a2 = 0 (I3 = 0, I2 = 0 coppia di due rette reali parallele) C2 ) x2 + a2 = 0 (I3 = 0, I2 = 0 coppia di rette immaginarie: insieme vuoto) C3 ) x2 = 0 (I3 = 0, I2 = 0, retta doppia) N.B. Due coniche che appartengono a famiglie diverse, tra le B1), B2), . . . , C3 sopra elencate, non sono equivalenti dal punto di vista euclideo. Due coniche di una stessa famiglia, con valori diversi dei parametri coinvolti, in alcuni casi, possono essere equivalenti: ad esempio l’ellisse di 2 2 2 2 equazione ax2 + by2 = 1 è congruente a quello di equazione bx2 + ay2 = 1. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica per il triennio 18 / 22 Classificazione euclidea metrica, euclidea simile, e affine delle coniche Classificazione euclidea simile Dal punto di vista simile, la classificazione è ovviamente ancora meno fine: 2 2 2 2 ad esempio due ellissi di equazioni ax2 + by2 = 1 e xc2 + dy 2 = 1 sono simili se e solo se ab = dc oppure ab = dc (cioè se e solo se hanno lo stesso rapporto tra semiasse maggiore e minore: hanno la stessa forma). Dal punto di vista simile tutte le parabole sono equivalenti: l’omotetia di equazioni y0 = ay , x0 = ax trasforma y = x2 in y0 = ax02 . Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica per il triennio 19 / 22 Classificazione euclidea metrica, euclidea simile, e affine delle coniche Nessuno direbbe che la circonferenza rossa è più stretta della circonferenza blu. Tutte le circonferenze hanno la stessa forma. Lo stesso accade per le parabole: hanno tutte la stessa forma! Dal punto di vista metrico, quello che cambia è la curvatura. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica per il triennio 20 / 22 Classificazione euclidea metrica, euclidea simile, e affine delle coniche Classificazione affine Sia Γ una conica nel piano affine A2 . Con le trasformazioni usate per la classificazione metrica (che sono congruenze e quindi affinità) l’equazione di Γ si riduce ad una delle forme viste sopra. Con un’ulteriore affinità della forma (x = ax0 , y = by0 ), l’equazione della conica si riduce ad una delle seguenti: x02 + y02 = 1 ellisse reale x02 + y02 = −1 ellisse immaginaria x02 − y02 = 1 iperbole y02 − 2x0 = 0 parabola x02 − y02 = 0 coppia di rette reali incidenti x02 + y02 = 0 coppia di rette immaginarie incidenti in un punto reale x02 − 1 = 0 coppia di rette reali parallele x02 + 1 = 0 coppia di rette immaginarie parallele x02 = 0 retta doppia Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica per il triennio 21 / 22 Classificazione euclidea metrica, euclidea simile, e affine delle coniche Classificazione proiettiva Dal punto di vista proiettivo, esistono solo 5 coniche tra loro distinte: 1 2 3 4 5 conica reale irrducibile conica immaginaria irriducibile due rette reali distinte due rette immaginarie distinte (conplesse coniugate) retta doppia Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica per il triennio 22 / 22