Didattica della Matematica per il triennio

Didattica della Matematica per il triennio
Geometria sintetica e geometria analitica
anno acc. 2012/2013
Univ. degli Studi di Milano
Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano)
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Coniche come curve algebriche di ordine due
index
1
Coniche come curve algebriche di ordine due
2
Classificazione euclidea metrica, euclidea simile, e affine delle coniche
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Coniche come curve algebriche di ordine due
Luogo, non insieme
Piano euclideo E2 , coordinate (x, y).
Conica = luogo del secondo ordine, descritto da
f (x, y) = a1,1 x2 + 2a1,2 xy + a2,2 y2 + 2a1,3 x + 2a2,3 y + a3,3 = 0
con f polinomio di secondo grado (cioè (a1,1 , a1,2 , a2,2 ) 6= (0, 0, 0)).
Insieme degli zeri del polinomio f , Z(f ) = {p ≡ (x, y)|f (x, y) = 0}.
Ovviamente, per ρ 6= 0, si ha Z(ρf ) = Z(f ) : conta l’equazione, non il
polinomio.
La conica definita da f viene identificata a quella definita da ρf .
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Coniche come curve algebriche di ordine due
Conica Γ = coppia (Z(f ), f ), (o meglio, classe di equivalenza di coppie del
tipo (Z(f ), f ), modulo la relazione che identifica (Z(ρf ), ρf ) con (Z(f ), f ), se
ρ 6= 0.)
Può accadere che sia Z(f1 ) = Z(f2 ), con f1 non proporzionale a f2 , (ad esempio
nel caso x2 = 0 e x = 0, oppure nel caso x2 + y2 = 0 e 2x2 + 3y2 = 0).
In tale caso bisogna tenere distinte le coppie Γ1 = (Z(f1 ), f1 ) e
Γ2 = (Z(f2 ), f2 ).
Sono due coniche distinte, con lo stesso insieme degli zeri.
La conica si dice riducibile se il polinomio f lo è (in C).
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Coniche come curve algebriche di ordine due
Matrice associata
f (x, y) = a1,1 x2 + 2a1,2 xy + a2,2 y2 + 2a1,3 x + 2a2,3 y + a3,3 =
( x y 1 )
a1,1 a1,2 a1,3
a1,2 a2,2 a2,3
a1,3 a2,3 a3,3
!
x
y
1
!
=0
A matrice simmetrica, matrice dei coefficienti della conica.
TEOREMA - Γ = (Z(f ), f ) è riducibile se e solo se det(A) = 0.
traccia della dimostrazione
Sappiamo che (a1,1 , a1,2 , a2,2 ) 6= (0, 0, 0).
Se a1,1 = a2,2 = 0, allora a1,2 6= 0 e l’equazione diventa
2x(a1,2 y + a1,3 ) + 2a2,3 y + a3,3 = 0,
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Coniche come curve algebriche di ordine due
per cui f è riducibile se e solo se
2(a1,2 y + a1,3 ) = ρ(2a2,3 y + a3,3 )
ovvero se e solo se a1,2 a3,3 − 2a1,3 a2,3 − 0, e questo accade se e solo se
!
0 a1,2 a1,3
det( a1,2 0 a2,3 ) = a1,2 (2a1,3 a2,3 − a1,2 a3,3 ) = 0.
a1,3 a2,3 a3,3
Se invece, ad esempio, a2,2 6= 0, allora l’equazione diviene
a2,2 y2 + 2(a1,2 x + a2,3 )y + (a1,1 x2 + 2a1,3 x + a3,3 ) = 0
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Coniche come curve algebriche di ordine due
che si spezza in a2,2 (y − α)(y − β) = 0 con α, β polinomi, se e solo se
∆
4
= (a1,2 x + a2,3 )2 − a2,2 (a1,1 x2 + 2a1,3 x + a3,3 ) =
− a1,1 a2,2 )x2 + 2a1,2 a2,3 − a2,2 a1,3 x + (a22,3 − a2,2 a3,3 )
(a21,2
è un quadrato perfetto, ovvero se e solo se
0 = (a1,2 a2,3 − a2,2 a1,3 )2 − (a21,2 − a1,1 a2,2 )(a22,3 − a2,2 a3,3 ) = a2,2 det(A)
quindi (essendo a2,2 6= 0) se e solo se det(A) = 0.
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Classificazione euclidea metrica, euclidea simile, e affine delle
coniche
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Classificazione euclidea metrica, euclidea simile, e affine delle coniche
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Classificazione euclidea metrica, euclidea simile, e affine delle
coniche
Invarianti ortogonali
Γ ⊂ E2 conica di equazione
f (x, y) = a1,1 x2 +2a1,2 xy+a2,2 y2 +2a1,3 x+2a2,3 y+a3,3 = ( x y 1 ) A
Consideriamo le seguenti quantità estratte da A.
I1 (A) = a1,1 + a2,2 , I2 (A) = a1,1 a2,2 − a21,2 ,
x
y
1
!
I3 (A) = det(A).
Se si considera, come polinomio che definisce Γ, il polinomio ρf in luogo di
f , la matrice associata diviene ρA in luogo di A e le quantità sopra definite si
trasformano in
I1 (ρA) = ρI1 (A), I2 (ρA) = ρ2 I1 (A), I3 (ρA) = ρ3 I1 (A).
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=
Classificazione euclidea metrica, euclidea simile, e affine delle
coniche
Consideriamo ora una traslazione definita da (x = x0 + a, y = y0 + b) oppure
una rotazione con centro nell’origine definita da
(x = x0 cos(θ) − y0 sin(θ), y = x0 sin(θ) + y0 cos(θ)) e il polinomio trasformato
f 0 (x0 , y0 ) = f (x, y).
Detta A0 la matrice associata a f 0 , si ha
I1 (A0 ) = I1 (A), I2 (A0 ) = I2 (A), I3 (A0 ) = I3 (A).
Le quantità I1 (A), I2 (A) e I3 (A) vengono detti invarianti ortogonali ,
rispettivamente, lineare, quadratico e cubico di f .
Il gruppo delle congruenze (dirette) è generato da traslazioni e rotazioni
attorno all’origine.
L’annullarsi di Ii (A), per i = 1, 2, 3, il segno di I2 (A), e il segno del prodotto
I1 (A)I3 (A), esprimono proprietà di Γ (non solo di f ) invarianti per
congruenze (dirette).
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Classificazione euclidea metrica, euclidea simile, e affine delle
coniche
Il caso I2 (A) 6= 0
OSSERVAZIONE - Se I2 (A) 6= 0, esiste una traslazione (della forma
(x = x0 + a, y = y0 + b)) che riduce l’equazione di Γ nella forma
(∗) a01,1 x02 + 2a01,2 x0 y0 + a02,2 y02 + a03,3 = 0.
Infatti la condizione a01,3 = a02,3 = 0, corrisponde a
a1,1 a + a1,2 b + a1,3 = 0, a1,2 a + a2,2 b + a2,3 = 0
e quest’ultimo è un sistema di due equazioni in due incognite che, per
l’ipotesi I2 (A) 6= 0, è Crameriano.
Si noti che questo ci dice che I2 (A) 6= 0 implica l’esistenza di un centro di
simmetria.
OSSERVAZIONE - Sia Γ una conica di equazione (∗). Esiste una rotazione
(della forma (x0 = x00 cos(θ) − y00 sin(θ), y0 = x00 sin(θ) + y00 cos(θ))) che riduce
l’equazione di Γ nella forma
(∗∗)
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a001,1 x002 + a002,2 y002 + a003,3 = 0.
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Classificazione euclidea metrica, euclidea simile, e affine delle
coniche
Infatti la condizione a001,2 = 0, corrisponde alla equazione
−a01,2 sin2 (θ) − (a01,1 − a02,2 )sin(θ)cos(θ) + a01,2 cos2 (θ) = 0
ovvero
a01,2 tang2 (θ) + (a01,1 − a02,2 )tang(θ) − a01,2 = 0
che ha soluzione poichè il suo disciminante è non negativo (come somma di
quadrati).
Quanto visto sopra mostra che ogni conica con I2 6= 0 (conica a centro), è
congruente ad una di equazione !a1,1 x2 + a2,2 y2 + a3,3 = 0, cioè con
a1,1 0
0
0 a2,2 0
matrice A =
, con a1,1 , a2,2 6= 0, (i cui con invarianti
0
0 a3,3
ortogonali sono I1 = a1,1 + a2,2 , I2 = a1,1 a2,2 , I3 = a1,1 a2,2 a3,3 ).
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Classificazione euclidea metrica, euclidea simile, e affine delle
coniche
Classificazione delle coniche con I2 6= 0 (ovvero coniche a
centro)
A) Caso riducibile (I3 = 0)
A1 ) p2 x2 + q2 y2 = 0 (I2 > 0, coppia di rette immaginarie coniugate)
A2 ) p2 x2 − q2 y2 = 0 (I2 < 0, coppia di rette reali distinte)
B) Caso irriducibile (I3 6= 0)
B1 )
x2
a2
+
y2
b2
= 1 (I2 > 0, I1 I3 < 0, ellisse reale)
B2 )
x2
a2
+
y2
b2
= −1 (I2 > 0, I1 I3 > 0, ellisse immaginaria)
B3 )
x2
a2
−
y2
b2
= 1 (I2 < 0, iperbole)
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Classificazione euclidea metrica, euclidea simile, e affine delle
coniche
Il caso I2 (A) = 0
OSSERVAZIONE - Se I2 (A) = 0, la parte quadratica
a1,1 x2 + 2a1,2 xy + a2,2 y2 di f è un quadrato perfetto.
Sia a1,1 x2 + 2a1,2 xy + a2,2 y2 = (αx + βy)2 . Con una rotazione si trasforma la
retta di equazione αx + βy = 0 nell’asse delle ascisse, per cui l’equazione
della conica si trasforma in
(ky0 )2 + 2a01,3 x0 + 2a02,3 y0 + a03,3 = 0, con k 6= 0
ovvero
y02 + 2a001,3 x0 + 2a002,3 y0 + a003,3 = 0,
e quindi
 la matrice associata
 diviene
0
o a001,3
1 a002,3  .
A00 =  0
00
a1,3 a002,3 a003,3
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Classificazione euclidea metrica, euclidea simile, e affine delle
coniche
Classificazione delle coniche con I2 = 0
C) Caso riducibile (I3 = 0)
I3 = 0 se e solo se a001,3 = 0, quindi in questo caso l’equazione della
conica trasformata è
y02 + 2a002,3 y0 + a003,3 = 0,
e pertanto la conica è costituita da
C1 ) due rette parallele
C2 ) insieme vuoto (due fattori lineari complessi coniugati)
C3 ) due rette coincidenti
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Classificazione euclidea metrica, euclidea simile, e affine delle
coniche
D) Caso irriducibile (I3 6= 0)
Se I3 6= 0, ovvero a001,3 6= 0, con una traslazione l’equazione
y02 + 2a001,3 x0 + 2a002,3 y0 + a003,3 = 0, si trasforma in
y002 − 2px00 = 0, con p 6= 0,
e pertanto
D) la conica è una parabola.
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Classificazione euclidea metrica, euclidea simile, e affine delle
coniche
Classificazione euclidea metrica
Ogni conica è congruente ad una tra le seguenti (forme canoniche)
B1 )
x2
a2
+
2
B2 ) ax2 +
vuoto)
B3 )
x2
a2
−
y2
b2
= 1 (I3 6= 0, I2 > 0, I1 I3 < 0, ellisse reale)
y2
b2
= −1 (I3 6= 0, I2 > 0, I1 I3 > 0, ellisse immaginaria: insieme
y2
b2
= 1 (I3 6= 0, I2 < 0, iperbole)
D) y2 − 2px = 0 (I3 6= 0, I2 = 0, parabola)
A1 ) p2 x2 + q2 y2 = 0 (I3 = 0, I2 > 0, coppia di rette immaginarie: un solo
punto reale)
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Classificazione euclidea metrica, euclidea simile, e affine delle
coniche
A2 ) p2 x2 − q2 y2 = 0 (I3 = 0, I2 < 0, coppia di rette reali incidenti)
C1 ) x2 − a2 = 0 (I3 = 0, I2 = 0 coppia di due rette reali parallele)
C2 ) x2 + a2 = 0 (I3 = 0, I2 = 0 coppia di rette immaginarie: insieme vuoto)
C3 ) x2 = 0 (I3 = 0, I2 = 0, retta doppia)
N.B. Due coniche che appartengono a famiglie diverse, tra le
B1), B2), . . . , C3 sopra elencate, non sono equivalenti dal punto di vista
euclideo. Due coniche di una stessa famiglia, con valori diversi dei parametri
coinvolti, in alcuni casi, possono essere equivalenti: ad esempio l’ellisse di
2
2
2
2
equazione ax2 + by2 = 1 è congruente a quello di equazione bx2 + ay2 = 1.
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Classificazione euclidea metrica, euclidea simile, e affine delle
coniche
Classificazione euclidea simile
Dal punto di vista simile, la classificazione è ovviamente ancora meno fine:
2
2
2
2
ad esempio due ellissi di equazioni ax2 + by2 = 1 e xc2 + dy 2 = 1 sono simili se e
solo se ab = dc oppure ab = dc (cioè se e solo se hanno lo stesso rapporto tra
semiasse maggiore e minore: hanno la stessa forma).
Dal punto di vista simile tutte le parabole sono equivalenti: l’omotetia di
equazioni y0 = ay , x0 = ax trasforma y = x2 in y0 = ax02 .
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Classificazione euclidea metrica, euclidea simile, e affine delle
coniche
Nessuno direbbe
che la
circonferenza rossa
è più stretta della
circonferenza blu.
Tutte le
circonferenze
hanno la stessa
forma.
Lo stesso accade
per le parabole:
hanno tutte la
stessa forma!
Dal punto di vista
metrico, quello che
cambia è la
curvatura.
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Classificazione euclidea metrica, euclidea simile, e affine delle
coniche
Classificazione affine
Sia Γ una conica nel piano affine A2 . Con le trasformazioni usate per la
classificazione metrica (che sono congruenze e quindi affinità) l’equazione di
Γ si riduce ad una delle forme viste sopra. Con un’ulteriore affinità della
forma (x = ax0 , y = by0 ), l’equazione della conica si riduce ad una delle
seguenti:
x02 + y02 = 1 ellisse reale
x02 + y02 = −1 ellisse immaginaria
x02 − y02 = 1 iperbole
y02 − 2x0 = 0 parabola
x02 − y02 = 0 coppia di rette reali incidenti
x02 + y02 = 0 coppia di rette immaginarie incidenti in un punto reale
x02 − 1 = 0 coppia di rette reali parallele
x02 + 1 = 0 coppia di rette immaginarie parallele
x02 = 0 retta doppia
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Classificazione euclidea metrica, euclidea simile, e affine delle
coniche
Classificazione proiettiva
Dal punto di vista proiettivo, esistono solo 5 coniche tra loro distinte:
1
2
3
4
5
conica reale irrducibile
conica immaginaria irriducibile
due rette reali distinte
due rette immaginarie distinte (conplesse coniugate)
retta doppia
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