Geometria II , 2006/07
Laurea in Matematica, Università di Firenze
Prof. Giorgio Ottaviani
OBIETTIVI FORMATIVI:Conoscere la geometria affine e metrica dello spazio,
con particolare riferimento ai gruppi di trasformazioni. Utilizzare l’algebra lineare in
questioni geometriche. Saper classificare le coniche rispetto alle trasformazioni studiate. Conoscere i primi elementi degli spazi proiettivi.
PREREQUISITI E PROPEDEUTICITÀ: Il corso di Geometria I è un prerequisito formale ed è necessario averlo seguito perché fornisce il linguaggio dell’algebra
lineare. È consigliabile avere già seguito il corso di Algebra I. I corsi di Laboratorio
Matematico forniscono un importante aiuto e complemento. Nel corso si apprende la
descrizione in coordinate di problemi spaziali che è molto utile per i corsi di Analisi III
e Sistemi Dinamici. Il corso è propedeutico per Geometria III e per Topologia e Spazi
Metrici.
TIPOLOGIA DEL CORSO: Lezioni ed esercitazioni frontali.
1.Complementi di algebra lineare. Teorema spettrale e teorema di Sylvester.
Ortonormalizzazione di Gram-Schmidt. Una matrice simmetrica ha autovalori reali.
Teorema spettrale reale. Autovettori di una matrice simmetrica corrispondenti ad
autovalori distinti sono ortogonali. Forme quadratiche su Rn . Forme bilineari. Classificazione delle forme quadratiche e teorema di Sylvester. Il metodo babilonese (o di
Lagrange). Segnatura.
2.Sottospazi affini. Proiezioni ortogonali. Isometrie Lo spazio euclideo An
come spazio metrico. Combinazioni affini. Sottospazi affini. Equazioni parametriche e cartesiane. Parallelismo e perpendicolarità. Proiezioni ortogonali su iperpiani
e su sottospazi affini (dimostrazioni facoltative). Proprietà di minima distanza della
proiezione ortogonale. Cenno ai minimi quadrati (facoltativo). Isometrie e loro rappresentazione matriciale. Interpretazione geometrica della disuguaglianza triangolare.
Immagine di un sottospazio. Punti fissi. Simmetrie rispetto a iperpiani e sottospazi
affini(facoltativo).
3.Convessi, Geometria metrica del piano Inviluppo convesso. Parametrizzazione dell’ inviluppo convesso di m punti. Equazione della retta nel piano euclideo.
Classificazione delle isometrie del piano. Ogni isometria è composizione di simmetrie
assiali. La legge di riflessione come problema di minimo. La circonferenza di Apollonio
(facoltativo).
4.Orientazione. Il prodotto vettoriale e la geometria metrica dello spazio Orientazione di uno spazio vettoriale e di An . Isometrie dirette ed inverse. Il prodotto
vettoriale e le sue proprietà. Applicazioni ad aree e volumi.
5.Le coniche e la loro classificazione metrica. Invarianti metrici. L’ eccentricità. Le coniche. Matrici simmetriche associate. Coniche nonsingolari. Coniche a
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centro. Fuochi e proprietà focali. Classificazione metrica. Circonferenza per 3 punti.
Conica per 5 punti. Asintoti dell’iperbole. Semiassi dell’ellisse. L’ eccentricità.
6.Le similitudini Definizione di similitudine e di omotetia. Un’omotetia porta
ogni retta in una retta parallela. Ogni similitudine si ottiene componendo una isometria
ed una omotetia. Punti fissi. Criteri di similitudine. Il teorema di Talete. Due
triangoli con lati paralleli sono traslati oppure omotetici (caso parallelo di Desargues).
Rappresentazione matriciale delle similitudini. Classificazione delle coniche a meno
di similitudini (l’eccentricità è un invariante per similitudine). Fattori di scala per
lunghezze, aree e volumi.
7.Geometria affine del piano e dello spazio. Definizione assiomatica di spazio
affine. Le affinit e la loro rappresentazione matriciale. Invarianza del parallelismo.
Tutti i triangoli sono affinemente equivalenti. Punti indipendenti. Il teorema di Desargues (facoltativo). Il rapporto semplice come invariante affine. Punto medio e
baricentro. Classificazione affine delle coniche mediante invarianti. Comportamento
delle aree per affinità. L’area dell’ellisse.
8.Lo spazio proiettivo e le proiettività Lo spazio proiettivo. Completamento
di An con l’iperpiano all’infinito. Sottospazi proiettivi. Le proiettività e la loro rappresentazione matriciale. Equazione della retta nel piano proiettivo. Sistemi di riferimento
proiettivi. Esistenza ed unicità di una proiettività che porta un sistema di riferimento
in un altro. Il birapporto come invariante proiettivo. Classificazione proiettiva delle
coniche nonsingolari.
TESTI DI RIFERIMENTO: Il testo di riferimento principale è
• E. Sernesi, Geometria I, Boringhieri
È utile anche
• M. Abate, Geometria, McGraw-Hill
che è più congeniale per lo studio individuale. All’indirizzo http://www.math.unifi.it/ottavian
è in costruzione un ipertesto che riporta gli argomenti più importanti svolti a lezione.
MODALITÀ DI ESAME: Scritto e colloquio orale. Sono previste due prove
intermedie di verifica (compitini). Su http://www.math.unifi.it/ottavian c’è il regolamento completo per sostenere l’esame.
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