circuito rlc in serie - formulario di matematica

~1~
CIRCUITO RLC IN SERIE
1. Considerazioni generali
Il circuito RLC in serie (vedi figura) è formato da una sola maglia in cui sono
presenti una resistenza R, un’induttanza L, un condensatore di capacità C e un
generatore di tensione alternata
caratterizzato da una forza
elettromotrice
f = V0 sen(ωt) .
Poiché la somma algebrica delle
differenze di potenziale deve
essere 0 in una maglia, la somma
degli aumenti di potenziale deve
essere uguale a quella delle sue
diminuzioni. Il potenziale aumenta
in corrispondenza delle forze
elettromotrici:
quella
del
generatore
f = V0 sen(ωt )
e
di
quella
autoindotta
f ' = −L ,
dt
mentre subisce una diminuzione
q
∆V tale che C =
(e quindi
∆V
q
∆V = ) attraverso il condensatore, ed una ∆V ' = Ri attraverso la resistenza. Quindi, dal
C
secondo principio di Kirchhoff, si ricava
di
q
V0 sen(ωt) − L
= Ri + ,
dt
C
e derivando entrambi i membri rispetto al tempo
d2i
di 1 dq
V0 ω cos(ωt ) − L 2 = R
+
dt C dt
dt
dq
Tenendo presente che, per definizione di intensità di corrente, i =
, ed indicando,
dt
per brevità, con i’ e i’’ le derivate prima e seconda di i rispetto al tempo, si ha
1
V0 ω cos(ωt) − Li' ' = Ri'+ i , da cui
C
1
Li' '+Ri'+ i = V0 ω cos(ωt ) , o anche
C
LCi' '+RCi'+i = V0 ωC cos(ωt ) .
Prima di risolvere questa equazione, occorre aprire una parentesi di carattere
matematico.
2. Equazioni differenziali omogenee a coefficienti costanti
Consideriamo l’equazione 4y' '−8 y'+3y = 0 (1).
Si tratta di un’equazione differenziale, in quanto l’incognita non è un numero, ma una
funzione y=f(x), ed inoltre conosciamo una relazione non tra le potenze della funzione (y,
y², y³…), ma tra essa e le sue derivate (y, y’, y’’…).
~2~
In particolare i coefficienti di y, y’ e y’’ sono costanti (non dipendono dalla variabile
indipendente x), e per questo si parla di equazione differenziale a coefficienti costanti;
inoltre il massimo ordine di derivata che compare è il secondo (y’’), e per questo si dice
che l’equazione è del secondo ordine. Infine, a secondo membro abbiamo 0, e per questo
l’equazione viene detta omogenea.
Per risolvere un’equazione differenziale omogenea a coefficienti costanti occorre
innanzitutto considerare il polinomio associato, cioè quello che si ottiene sostituendo y, y’,
y’’ con 1 ( x 0 ), x ( x 1 ), x 2 ( e così via, se necessario), e trovare per quali valori si annulla.
Nell’esercizio (1), per esempio:
4 ± 16 − 12 4 ± 2
2 1
6 3
4x 2 − 8 x + 3 = 0 , da cui x 1,2 =
=
, e quindi x 1 = =
e x2 = = .
4
4
4 2
4 2
Se, come in questo caso, troviamo due soluzioni reali distinte ( ∆ > 0 ), la soluzione
generale dell’equazione differenziale è y = K 1e x1x + K 2 e x 2 x , essendo, da qui in poi, K 1 e
K 2 due costanti arbitrarie appartenenti all’insieme dei numeri reali. In altre parole si
ottengono non una, ma infinite soluzioni (una per ogni valore reale di K 1 e K 2 ).
Nell’esempio (1) la soluzione generale è y = K 1e
soluzioni
particolari,
per
esempio,
1
x
2
+ K 2e
y = 3 e x − 4 e3x
3
x
2
= K 1 e x + K 2 e 3 x . Sono
(K1 = 3 ,
K 2 = −4 ),
e
y = −π e x + 25 7 e 3 x ( K 1 = −π , K 2 = 25 7 ).
Se invece il polinomio associato ha due soluzioni reali coincidenti ( ∆ = 0 ), la soluzione
generale dell’equazione differenziale è y = K 1e x1x + K 2 xe x1x . Per esempio la soluzione di
4y' '−4y'+ y = 0 (tenendo presente che 4x 2 − 4 x + 1 = 0 diventa (2x − 1) 2 = 0 , e quindi
1
1
x
x
1
x = ) è y = K 1e 2 + K 2 xe 2 .
2
Infine quando ∆ < 0 esistono due soluzioni complesse coniugate x 1,2 = α ± βi , dove α e
β sono numeri reali e i è l’unità immaginaria (cioè i 2 = −1 ). In questo caso la soluzione
generale dell’equazione differenziale è y = K 1 sen(βx )e αx + K 2 cos(βx )e αx . Così
y' '−2y'+5 y = 0 ,
poiché
x 2 − 2x + 5 = 0
per
x 1,2 = 1 ± 1 − 10 = 1 ± − 9 = 1 ± 3i
( α = 1 , β = 3 ), è verificata per y = K 1 sen(3 x )e + K 2 cos(3x )e x
In definitiva la soluzione generale dell’equazione ay' '+by'+cy = 0 , se a, b e c sono
x
costanti dipende dalle soluzioni x 1 e x 2 dell’equazione ax 2 + bx + c = 0 ; più
esattamente tale soluzione è:
1)
y = K 1e x 1x + K 2 e x 2x , se ∆ = b 2 − 4ac > 0 ;
2)
y = K 1e x 1x + K 2 xe x 1x , se ∆ = b 2 − 4ac = 0 ;
3)
y = K 1 sen(β x)e αx + K 2 cos(β x )e αx , con x1,2 = α ± β i , se ∆ = b 2 − 4ac < 0 .
3. Equazioni differenziali non omogenee
Prendiamo ora in considerazione un’equazione differenziale in cui, al posto dello zero
che compariva finora nel secondo membro, figuri una funzione f(x), come x 2 , 3senx, o
anche, più semplicemente, 5. Si ottiene una equazione differenziale detta non omogenea.
La soluzione generale di una tale equazione si ottiene sommando una sua soluzione
particolare a quella generale dell’equazione omogenea che si ricava sostituendo 0 al posto
di f(x).
Risolviamo, per esempio, 5 y' '−2y'+ y = −2 + x (2).
~3~
Se y = x , y' = 1 e y' ' = 0 , per cui 5 y' '−2y'+ y = 5 ⋅ 0 − 2 ⋅ 1 + x = −2 + x : è quindi evidente
che y=x è una soluzione particolare di (2). L’equazione omogenea associata è
5 y' '−2y'+ y = 0 , e per risolverla occorre preventivamente studiare 5 x 2 − 2x + 1 = 0 , da cui
1
3
1 ± 1 − 10 1 ± − 9 1 ± 3i 1 3
e β = , la
=
=
= ± i . Essendo α =
5
5
5
5
5
5 5
x
x
3
3
soluzione generale dell’equazione omogenea è y = K 1 sen x e 5 + K 2 cos x e 5 .
5
5
Quella dell’equazione non omogenea si ottiene sommando x (soluzione particolare
x
x
3
3
5
5
dell’equazione non omogenea) a K 1 sen x e + K 2 cos x e (soluzione generale
5
5
si ricava
x 1,2 =
x
x
3
3
dell’equazione omogenea), ed è quindi y = x + K 1 sen x e 5 + K 2 cos x e 5 .
5
5
4. Soluzione particolare per il circuito RLC in serie
Riprendiamo in esame l’equazione LCi' '+RCi'+i = V0 ωC cos(ωt ) (3) che governa il
circuito RLC in serie, e cerchiamo una sua soluzione particolare che abbia la forma
i = i 0 sen(ωt + ϕ) , proponendoci non solo di dimostrare la validità di tale ipotesi, ma anche
di calcolare i valori che assumono le costanti i 0 e ϕ . Vi potreste domandare perché i(t)
debba avere proprio questa forma (o anche come capire, nell’esempio del paragrafo
precedente, che y=x è una soluzione particolare di 5 y' '−2y'+ y = −2 + x ). Una prima
risposta è: fidatevi, perché qualcuno ci ha provato prima di voi, e se non ci fosse riuscito in
questo modo non starei qui a raccontarvelo; comunque non è così irragionevole l’ipotesi
che, in presenza di un generatore di tensione sinusoidale, l’intensità di corrente sia
anch’essa sinusoidale e abbia la stessa pulsazione (e quindi la stessa frequenza e lo
stesso periodo).
Dunque, se i = i 0 sen(ωt + ϕ) , è anche i' = i 0 ω cos(ωt + ϕ) e i' ' = −i 0 ω 2 sen(ωt + ϕ) .
Sostituendo queste quantità nell’equazione (3), si ottiene la seguente uguaglianza, che
deve essere vera per ogni valore di t:
− LCi 0 ω 2 sen(ωt + ϕ) + RCi 0 ω cos(ωt + ϕ) + i 0 sen(ωt + ϕ) ≡ V0 ωC cos(ωt ) .
Applichiamo ora le formule di addizione, e sviluppiamo i calcoli.
− LCi 0 ω 2 [sen(ωt ) cos ϕ + cos( ωt ) sen ϕ] + RCi 0 ω[cos(ωt ) cos ϕ − sen(ωt ) sen ϕ] +
+ i 0 [sen(ωt ) cos ϕ + cos(ωt ) sen ϕ] ≡ V0 ωC cos(ωt ) ;
− LCi 0 ω 2 sen(ωt ) cos ϕ − LCi 0 ω 2 cos( ωt ) sen ϕ + RCi 0 ω cos(ωt ) cos ϕ − RCi 0 ω sen(ωt ) sen ϕ +
+ i 0 sen(ωt ) cos ϕ + i 0 cos(ωt ) sen ϕ ≡ V0 ωC cos(ωt ) ;
( −LCi 0 ω 2 cos ϕ − RCi 0 ω sen ϕ + i 0 cos ϕ) sen(ωt ) +
+ (−LCi 0 ω 2 sen ϕ + RCi 0 ω cos ϕ + i 0 sen ϕ) cos( ωt ) ≡ V0 ωC cos( ωt ) .
a = −LCi 0 ω 2 cos ϕ − RCi 0 ω sen ϕ + i 0 cos ϕ
Ponendo b = −LCi 0 ω 2 sen ϕ + RCi 0 ω cos ϕ + i 0 sen ϕ , si ricava
c = V0 ωC
a ⋅ sen( ωt ) + b ⋅ cos( ωt ) ≡ c ⋅ cos( ωt ) , dove a, b e c sono costanti (dato che non
dipendono dal tempo) e i due membri sono funzioni lineari in sen( ωt ) , cos( ωt ) .
~4~
Ora, si può dimostrare che due funzioni lineari sono identiche se e solo se sen( ωt ) e
cos( ωt ) hanno ordinatamente gli stessi coefficienti. Si ricava:
a = 0 (uguaglianza coefficienti sen(ωt))
, ovvero:
b = c (uguaglianza coefficienti cos(ωt))
− LCi 0 ω 2 cos ϕ − RCi 0 ω sen ϕ + i 0 cos ϕ = 0
− LCi 0 ω 2 sen ϕ + RCi 0 ω cos ϕ + i 0 sen ϕ = V0 ωC
i 0 (LCω 2 − 1) cos ϕ + RCi 0 ω sen ϕ = 0
i 0 (LCω 2 − 1) sen ϕ − RCi 0 ω cos ϕ = − V0 ωC
;
.
Dalla prima equazione, dividendo entrambi i membri per i 0 cos ϕ (nel caso in cui tale
π
quantità sia diversa da zero, cioè ϕ ≠ ± ), si ha
2
1 − LCω 2
1
− Lω
2
1 − LCω
2
ω
C
ω
C
(LCω − 1) + RCωtgϕ = 0 , da cui tgϕ =
=
=
(in definitiva
RCω
R
RCω
ωC
1
− Lω
ω
C
ϕ = arctg
).
R
Inoltre, se eleviamo a quadrato e sommiamo membro a membro le due equazioni:
2
2
i 0 (LCω 2 − 1) 2 cos 2 ϕ + R 2 C 2 i 0 ω 2 sen 2 ϕ + 2 ⋅ i 0 (LCω 2 − 1)RCi 0 ω sen ϕ cos ϕ = 0
i 0 (LCω 2 − 1) 2 sen 2 ϕ + R 2 C 2 i 0 ω 2 cos 2 ϕ − 2 ⋅ i 0 (LCω 2 − 1)RCi 0 ω sen ϕ cos ϕ = V0 ω 2 C 2
2
2
2
i 0 (LCω 2 − 1) 2 (sen 2 ϕ + cos 2 ϕ) + R 2 C 2 i 0 ω 2 (sen 2 ϕ + cos 2 ϕ) = V0 ω 2 C 2 ;
Tenendo presente la prima relazione fondamentale della goniometria
2
2
i 0 (LCω 2 − 1) 2 + R 2 C 2 ω 2 = V0 ω 2 C 2 , e quindi
2
2
[
2
]
V0 ω 2 C 2
2
V0 ω 2 C 2
2
i0
=
2
2
V0
ω2 C 2
=
=
=
2
2
2 2 2
2
2
2 2 2
(LCω − 1) + R C ω
(LCω − 1) + R C ω
LCω 2 − 1
ω2 C 2
ωC
V0
2
1
ωL −
ωC
; estraendo radice i 0 =
2
+R
Il valore Z =
V0
1
ωL −
ωC
2
1
ωL −
ωC
=
2
+ R2
.
2
+ R2
2
+ R 2 viene detto impedenza, e rappresenta il rapporto
V0
V
Z = 0 ). Il
Z
i0
fatto che Z sia, in generale, diverso da R non deve far pensare che non valga, nel circuito
RLC in serie, la prima legge di Ohm: infatti il rapporto tra differenza di potenziale e
intensità di corrente è effettivamente uguale in ogni istante alla resistenza R. Tuttavia, a
causa dello sfasamento ϕ tra tensione e corrente, i rispettivi valori massimi non vengono
raggiunti nello stesso istante: quindi il loro rapporto può essere diverso da R senza violare
la prima legge di Ohm.
tra i valori massimi della tensione e dell’intensità di corrente ( i 0 =
~5~
1
1
1
e ω=
) si dice che il circuito
= 0 (cioè ω 2 LC − 1 = 0 , da cui ω 2 =
ωC
LC
LC
è
in
condizioni
di
risonanza,
in
quanto,
essendo
1
− Lω
−0
ϕ = arctg ωC
= arctg
= arctg 0 =0, non c’è sfasamento tra tensione e corrente.
R
R
In questo caso si ha Z=R, cioè l’impedenza uguaglia la resistenza, esattamente come se
non ci fossero né induttanza né condensatore.
Se ωL −
Andamento a regime circuito RLC
i,f
intensità di
corrente
t
forza
elettromotrice
Andamento a regime circuito RLC
In definitiva una soluzione
dell’equazione
differenziale
LCi' '+RCi'+i = V0 ωC cos(ωt ) , che
governa il circuito RLC in serie,
è i = i 0 sen(ωt + ϕ) (vedi figure a
lato: in alto ϕ>0, in basso ϕ<0),
dove
V0
i0 =
ωL −
i,f
1
ωC
e
2
+ R2
1
− Lω
. Il circuito è
ϕ = arctg ωC
forza
R
t
elettromotrice
quindi attraversato da una
corrente
alternata
di
tipo
sinusoidale, sfasata rispetto alla
forza elettromotrice (a meno che
1
ωL −
= 0 , nel qual caso
ωC
ϕ = 0 ). Si noti che, se è presente il condensatore, ma non l’induttanza (L=0),
1
1
− Lω
π
ωC
= ωC > 0 , da cui 0 < ϕ < . In questo caso l’intensità di corrente è in anticipo
2
R
R
rispetto alla forza elettromotrice. Se, viceversa, manca il condensatore (C=+∞1), è
1
− Lω
Lω
π
ωC
=−
< 0 , e quindi − < ϕ < 0 . In questo caso l’intensità di corrente è in
R
R
2
ritardo rispetto alla forza elettromotrice.
intensità di
corrente
1
Infatti la capacità di un condensatore piano (o, approssimativamente, quella di uno di
forma qualunque, purché la distanza d tra le sue armature sia piccola rispetto alla loro
S
superficie S), è C = ε 0 ε r . Si può eliminare il condensatore dal circuito connettendo le
d
S
sue armature, cioè ponendole a distanza nulla; in questo caso C = lim+ ε 0 ε r = +∞ .
d→ 0
d
~6~
5. Soluzione generale per il circuito RLC in serie
Abbiamo visto che i = i 0 sen(ωt + ϕ) è una soluzione particolare dell’equazione non
omogenea LCi' '+RCi'+i = V0 ωC cos(ωt ) ; quella generale si ottiene sommando ad
essa la soluzione generale dell’equazione omogenea associata. Dobbiamo quindi
per prima cosa studiare il polinomio associato LCx 2 + Rx + 1 = 0 . Distinguiamo tre
casi, a seconda del segno assunto da ∆ = R 2 − 4LC .
1) ∆>0
− R ± R 2 − 4LC
.
2LC
Soluzione dell’equazione differenziale omogenea: i(t ) = K 1e x 1t + K 2 e x 2 t .
Poiché l’equazione LCx 2 + Rx + 1 = 0 ha tutti i coefficienti positivi, e quindi due
permanenze di segno, x 1 e x 2 sono entrambi negativi. Di conseguenza
Soluzioni del polinomio associato: x 1,2 =
lim K 1e x1t + K 2 e x 2t = K 1e −∞ + K 2 e −∞ = 0 + 0 = 0 .
t → +∞
Soluzione
dell’equazione
differenziale
non
omogenea:
x 1t
x2t
x 1t
x 2t
i(t ) = i 0 sen(ωt + ϕ) + K 1e + K 2 e . Poiché lim K 1e + K 2 e = 0 , a regime, per t che
t → +∞
tende a +∞
∞, l’intensità di corrente coincide, praticamente, col valore della soluzione
particolare precedentemente trovata, cioè i(t ) ≅ i 0 sen(ωt + ϕ)
2) ∆=0
− R ± R 2 − 4LC
R
=−
.
2LC
2LC
Soluzione dell’equazione differenziale omogenea: i(t ) = K 1e x1t + K 2 te x 1t .
Poiché anche in questo caso abbiamo due permanenze di segno, le due soluzioni
coincidenti
del
polinomio
sono
negative;
perciò
x1t
x1t
−∞
−∞
lim K 1e + K 2 te = K 1e + K 2 ⋅ 0 ⋅ e = 0 + 0 = 0 .
Soluzioni del polinomio associato: x 1 = x 2 =
t → +∞
Soluzione
dell’equazione
i(t ) = i 0 sen(ωt + ϕ) + K 1e x 1t + K 2 te x 1t .
i(t ) ≅ i 0 sen(ωt + ϕ)
3) ∆<0
Soluzioni
x1 = x2 =
differenziale
Ancora una volta,
del
omogenea:
tende a +∞
∞,
polinomio
− R ± R − 4LC
R
R − 4LC
R
=−
±
=−
±
2LC
2LC
2LC
2LC
2
non
se t
2
associato:
4LC − R
i
2LC
2
(i,
in
formula, rappresenta l’unità immaginaria, non l’intensità di corrente!); quindi α = −
questa
R
e
2LC
4LC − R 2
.
2LC
Soluzione
dell’equazione
differenziale
omogenea:
αt
αt
i(t ) = K 1 cos(β t )e + K 2 sen(β t )e .
Poiché α<0, lim e αt = e −∞ = 0 ; nonostante non esistano lim sen(βt ) e lim cos(βt ) , le
β=
t → +∞
t → +∞
t → +∞
funzioni sen(βt ) e cos(βt ) sono limitate, essendo − 1 ≤ sen(βt ) ≤ 1 e − 1 ≤ cos(βt ) ≤ 1 (una
funzione y=f(x) si dice limitata se esiste un numero reale positivo M tale che, qualunque
sia il numero reale x appartenente al campo di esistenza della funzione, sia
− M ≤ f ( x ) ≤ M ).
~7~
Ora, si può dimostrare (a partire dal primo teorema del confronto) che il prodotto tra una
funzione che tende a 0 ed una limitata dà una funzione che tende a 0. Quindi
lim K 1 cos(βt )e αt + K 2 sen(βt )e αt = K 1 ⋅ 0 + K 2 ⋅ 0 = 0 .
t → +∞
Soluzione
dell’equazione
differenziale
non
omogenea:
αt
αt
i(t ) = i 0 sen(ωt + ϕ) + K 1 cos(β t)e + K 2 sen(β t)e . Anche in questo caso, se t tende a
+∞, i(t ) ≅ i 0 sen(ωt + ϕ)
Quindi, qualunque sia il segno di ∆, la corrente che circola nel circuito RLC in
serie può essere considerata la somma di due contributi:
K 1e x1t + K 2 e x 2 t se ∆ > 0
i 1 (t ) = K 1e x1t + K 2 te x 1t se ∆ = 0
(soluzione
generale
dell’equazione
K 1 cos(β t )e αt + K 2 sen(β t )e αt se ∆ < 0
differenziale omogenea)2;
i 2 = i 0 sen(ωt + ϕ) (soluzione particolare dell’equazione differenziale non
omogenea).
L’apporto di i 1 (t) alla corrente effettiva può essere importante all’inizio, quando t
è piccolo, ma man mano che t, tendendo a +∞, assume valori sempre più grandi,
diventa prevalente i 2 (t) , mentre i 1 (t) può essere trascurata. La soluzione particolare
che abbiamo trovato descrive perciò, in ogni caso, l’andamento a regime del
circuito RLC in serie (vedi le figure alla pagina successiva).
2
I valori che assumono le costanti K 1 e K 2 dipendono, come nel caso delle
extracorrenti di apertura e di chiusura, dalle condizioni iniziali.
~8~
Caso delta>0
i
Corrente a
regime
Soluzione
equazione
omogenea
Corrente effettiva
t
Caso delta=0
i
Corrente a
regime
Soluzione
equazione
omogenea
Corrente effettiva
t
Caso delta<0
i
Corrente a
regime
Soluzione
equazione
omogenea
Corrente effettiva
t